2022-2023学年广东省阳江市第三中学高二下学期5月月考数学试题含答案

2022-2023学年广东省阳江市第三中学高二下学期5月月考数学试题

一、单选题

1．已知等差数列，若，，则公差为（    ）

A． B．4 C．1 D．2

【答案】D

【分析】根据等差数列通项公式计算可得.

【详解】设公差为，由，，

所以.

故选：D

2．在等比数列中，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设等比数列的公比为，求出的值，可得出，代值计算即可得解.

【详解】设等比数列的公比为，则，所以，.

故选：D.

3．函数在上的最大值与最小值分别是        （    ）

A．23 ， 5 B．5 ， 4 C． D．

【答案】A

【分析】利用导数和函数单调性之间的联系即可.

【详解】，

，

所以在上，，函数单调递增，

，

故选：A.

4．在的展开式中第4项的二项式系数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】直接根据二项式定理可知第项的二项式系数为计算可得；

【详解】解：的展开式中第4项的二项式系数为

故选：A

5．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件“第一次取到的是奇数”，“第二次取到的是奇数”，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意分别求得，，结合条件概率的计算公式，即可求解.

【详解】由题意，事件“第一次取到的是奇数”，“第二次取到的是奇数”，

可得，，

根据条件概率的计算公式，可得.

故选：D.

6．函数的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据奇偶性，结合特殊点，即可求解.

【详解】函数的定义域为，

，

函数是奇函数，排除AC；

当时，，

此时图像在轴的上方，排除B.

故选：D

7．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有

A．12种 B．18种 C．24种 D．48种

【答案】C

【详解】试题分析：先将甲、乙两机看成一个整体，与另外一机进行全排列，共有种排列方法，且留有三个空；再从三个位置中将丙、丁两机进行排列，有种方法；由分步乘法计数原理，得不同的着舰方法有种.

【解析】排列组合.

8．在数列中，设其前n项和为，若，，，则等于（    ）

A．25 B．20 C．15 D．10

【答案】B

【分析】根据递推公式的特点，可得奇数项和偶数项的特点，根据分组求和即可求解．

【详解】由可知：当为奇数时，，当为偶数时，，

所以奇数项成常数列，偶数项成等差数列，且公差为2

故

故选：B

二、多选题

9．下列式子正确的有（    ）

A． B．

C． D．，

【答案】CD

【分析】利用基本初等函数的导数和导数的运算法则，逐一对各选项进行求导判断即可得出结论.

【详解】对于选项A，，所以选项A错误；

对于选项B，，所以选项B错误.

对于选项C，，所以选项C正确；

对于选项D，，所以选项D正确；

故选：CD.

10．（多选题）若，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】根据赋值法，分别令，，可判断AC；令，根据二项展开式的通项公式，判断对应项的系数及对应项系数的正负，即可判断BD选项.

【详解】因为，

令，则，故A错误；

令代入，

得，故C正确；

令代入，

得，

因为二项式的展开式的第项为，

所以所以,故B错误；

所以当为奇数时，为负数；即（其中为奇数），

所以；故D正确.

故选：CD.

【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，熟记二项式定理，灵活运用赋值法求解即可，属于常考题型.

11．设随机变量的分布列为，则

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】由题意结合离散型随机变量分布列的性质可得，即可判断A、D；由即可判断B；由即可判断C；即可得解.

【详解】随机变量的分布列为,

， 解得，

故A正确；

，故B正确；

，故C正确；

，故D错误.

故答案为：A、B、C.

【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列的性质与应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

12．设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件a1＞1，a2019a2020＞1，＜0，下列结论正确的是（    ）

A．S2019＜S2020

B．a2019a2021﹣1＜0

C．T2020是数列{Tn}中的最大值

D．数列{Tn}无最大值

【答案】AB

【分析】根据题意，由等比数列的通项公式可得（a1q2018）（a1q2019）＝（a1）2（q4037）＞1，分析可得q＞0，可得数列{an}各项均为正值，又由＜0可得或，由等比数列的性质分析可得q的范围，据此分析4个选项，综合即可得答案.

【详解】根据题意，等比数列{an}的公比为q，若a2019a2020＞1，则（a1q2018）（a1q2019）＝（a1）2（q4037）＞1，

又由a1＞1，必有q＞0，则数列{an}各项均为正值，

又由＜0，即（a2019﹣1）（a2020﹣1）＜0，则有或，

又由a1＞1，必有0＜q＜1，则有，

对于A，有S2020﹣S2019＝a2020＞0，即S2019＜S2020，则A正确；

对于B，有a2020＜1，则a2019a2021＝（a2020）2＜1，则B正确；

对于C，，则T2019是数列{Tn}中的最大值，C错误，同理D错误；

故选：AB

三、填空题

13．已知随机变量，若，则       

【答案】/

【分析】根据二项分布的期望公式可求出概率，进而根据方差公式即可求解.

【详解】，故，所以，

故答案为：

14．的展开式中的系数为               .

【答案】40

【分析】利用的展开式的通项，令的指数等于3和1，即得展开式中的系数.

【详解】因为的展开式的通项，

令和，可得的系数为.

故答案为：40.

15．设为非负实数，随机变量的概率分布为：

则的最大值为  .

【答案】/

【分析】由已知可得，，即可得出结果.

【详解】由已知可得，所以.

因为，所以，所以的最大值是．

故答案为:.

16．若函数在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范围是           .

【答案】(4，5)

【分析】由已知得在上存在变号零点，参变分离后利用导数讨论新函数的单调性后可得实数的取值范围.

【详解】解：函数，，

若函数在区间上不单调，则在上存在变号零点，

由得，

令，，，

在递减，在递增，而，，，

所以.

故答案为：.

四、解答题

17．（1）已知的二项式系数之和为64，求展开式中的系数；

（2）解不等式.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由二项式系数和的性质，求得，求得展开式的通项，进而求得的系数；

（2）根据组合数的性质和计算公式，即可求解.

【详解】（1）解：由题意知，二项式展开式的二项式系数之和为，

可得，解得，

则二项式展开式的通项为，

令，可得，

所求的系数为.

（2）解：由不等式，则满足且，，

可得，，

原不等式可化为，

即，解得，所以或.

所以不等式的解集为.

18．已知函数.

(1)求函数在处的切线方程；

(2)若函数在上严格递减，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程进行求解即可；

（2）根据导数的性质，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可.

【详解】（1）

函数在处的切线方程为；

（2）对任意恒成立

故，解得，

故的取值范围为.

19．国产科幻电影《流浪地球2》在给观众带来视觉震撼的同时，也引领观众对天文，航天、数字科技等领域展开了无限遐想，某校为激发学生对天文、航天、数字科技三类相关知识的兴趣，举行了一次知识竞赛（竞赛试题中天文、航天、数字科技三类相关知识题量占比分别为40%，40%，20%）.某同学回答天文、航天、数字科技这三类问题中每个题的正确率分别为，，.

(1)若该同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率；

(2)若该同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得2分，回答错误不得分，设该同学回答三题后的总得分为X分，求X的分布列及数学期望.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，3

【分析】（1）根据题意，利用独立事件的概率计算即可求解；

（2）由题意可得X的可能取值为0，2，4，6，利用独立事件的概率计算求出对应的概率，列出X的分布列，求出即可.

【详解】（1）设所选的题目为天文、航天、数字科技相关知识的题目分别为事件，，，

所选的题目回答正确为事件B，

则

，

所以该同学在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为；

（2）X的可能取值为0，2，4，6，

，

，

，

，

则X的分布列为

所以.

20．已知等差数列前项和为，，，数列前项的积为.

(1)求数列，的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据等差数列的性质，求得，得到，得出数列的的通项公式，再由前项的积为，求得，即可求解；

（2）由（1）可得，利用乘公比错位相减法求和，即可求解.

【详解】（1）解：因为数列是等差数列，且，可得，

即，所以，

又因为，可得 ，

所以，

又由数列前项的积为，可得，

当时，，符合上式，所以.

所以数列，的通项公式分别为，.

（2）解：由（1）可得，

则，

可得，

两式相减得

，

所以

21．已知一个袋内有4只不同的红球，6只不同的白球．

(1)若取一只红球记2分，取一只白球记1分，从中任取5只球，使总分不小于7分的取法有多少种？

(2)在（1）条件下，当总分为8时，将抽出的球排成一排，仅有两个红球相邻的排法种数是多少？

【答案】(1)186

(2)4320

【分析】（1）设出取到白球和红球的个数，根据两个未知数的和是5，列出方程，根据分数不少于7，列出不等式，根据这是两个整数，列举出结果．

（2）总分为8分，则抽取的个数为红球3个，白球2个，将抽出的球排成一排，仅有两个红球相邻，分两步，第一步先取球，第二步，再排，根据分步计数原理可得．

【详解】（1）设x个红球y个白球，，因为，所以或或．

∴符合题意的取法种数有种．

（2）总分为8分，则抽取的个数为红球3个，白球2个，将抽出的球排成一排，仅有两个红球相邻，第一步先取球，共有种，

第二步，再排，先把两个白球全排列，再选2个红球捆绑在一起，和另外一个红球插空，共有，

根据分步计数原理可得，种．

22．已知函数（）．

(1)当，求f（x）的极值．

(2)当时，设，若存在，，求实数的取值范围．（为自然对数的底数，）

【答案】(1)极小值为3；极大值为4ln7－3

(2)

【分析】（1）利用导数判断单调性，求出极值即可；

（2）存在，使，转化为在区间上,即可求解.

【详解】（1）的定义域为，

当时，，

∴，

令 ，可得1＜x＜7，令f＇（x）＜0，可得0＜x＜1或x＞7，

∴函数的单调减区间为（0，1），（7，＋∞），单调增区间为（1，7）

∴x＝1时，函数取得极小值为3；x＝7时，函数确定极大值为4ln7－3；

（2），令，

若，则，

∴f（x）在区间（0，＋∞）上单调递减，

∴当时，f（x）在上单调递减，

∴f（x）在上的最大值为，

，令，得，

当时，，∴单调递减，

当时，，∴g（x）单调递增，

∴在上的最小值为，

由题意可知，解得，

又∵，

∴实数a的取值范围为[1，4）．