2022-2023学年江苏省扬州市邗江区第一中学高二下学期5月月考数学试题含答案

2022-2023学年江苏省扬州市邗江区第一中学高二下学期5月月考数学试题

一、单选题

1．已知直线l的方向向量，平面α的一个法向量为，则直线l与平面α所成的角为（　　）

A．120° B．60° C．30° D．150°

【答案】C

【分析】利用空间向量的夹角公式即可求解.

【详解】因为直线l的方向向量，平面α的一个法向量为，

设直线与平面α所成的角为，则，

所以直线l与平面α所成的角为，

故选：C.

2．被9除所得的余数为（    ）

A．1 B．3 C．5 D．7

【答案】D

【分析】由题意可得：，结合二项展开式分析求解.

【详解】由题意可得：，

可知的展开式为，

当时，均可被9整除；

当时，被9除所得的余数为7；

综上所述：被9除所得的余数为7.

故选：D.

3．函数 的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数符号，单调性即可判断.

【详解】对于 ，当 时， ，故A，B错误；

，显然在定义域内 ，

即在 和 都是增函数，C正确，D错误；

故选：D.

4．为了改善生活环境，今年3月份某学校开展了植树活动，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程后，由于某种原因其中一个数据被损坏（表格中？？处数据），请你推断出该数据的值（    ）

A．81 B．81.7 C．81.6 D．82

【答案】A

【分析】分别求出和，根据样本点的中心在回归直线上，代入计算即可.

【详解】设表中所对的y值为t，

，

，

所以样本点的中心为，

因为样本点的中心在回归直线上，

所以，

解得，

故选：A．

5．函数在时有极值0，那么的值为（    ）

A．14 B．40 C．48 D．14或40

【答案】B

【解析】由导数与函数的关系得出的值，再检验，或，是否成立.

【详解】函数，

若在时有极值0，可得

则，解得：，或，

当，时，，满足题意函数在时有极值0．

当，时，，不满足题意：函数在时有极值0．

．

故选：B

6．某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为（    ）

A．0.625 B．0.75 C．0.5 D．0

【答案】A

【分析】他答对题目的概率等于知道正确答案时答对和不知道正确答案时猜对的概率和，依题意求解即可．

【详解】用A表示事件“考生答对了”，用B表示“考生知道正确答案”，

用表示“考生不知道正确答案”，

则，，，

，则

故选：A

7．用五种不同颜色给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】D

【分析】对所选颜色的种数进行分类讨论，先涂、、三点，再确定、、三点颜色的选择方法种数，结合分步乘法和分类加法计数原理可得结果.

【详解】分以下几种情况讨论：

①若种颜色全用上，先涂、、三点，有种，

然后在、、三点中选择两点涂另外两种颜色，有种，最后一个点有种选择，

此时共有种；

②若用种颜色染色，由种选择方法，先涂、、三点，有种，

然后在、、三点中需选择一点涂最后一种颜色，有种，不妨设涂最后一种颜色的为点，

若点与点同色，则点只有一种颜色可选，

若点与点同色，则点有两种颜色可选，

此时共有种；

③若用种颜色染色，则有种选择方法，先涂、、三点，有种，

点有种颜色可选，则、的颜色只有一种选择，

此时共有.

由分类加法计数原理可知，共有种涂色方法.

故选：D.

8．已知，则的最大值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意转化为，令，求得，得到单调递增，得到，即，得到，令，求得，结合函数的单调性和最大值，即可求解.

【详解】由，可得，

令，可得，所以单调递增，

因为，可得，即，

则，令，可得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以当时，可得，

所以的最大值为.

故选：B.

二、多选题

9．下列说法中正确的有（    ）

A．.

B．已知函数在上可导，且，则.

C．一质点的运动方程为，则该质点在时的瞬时速度是4.

D．已知函数，则函数的图象关于原点对称.

【答案】BCD

【分析】求出每个函数的导数，再结合导数的定义和物理意义即可得到答案.

【详解】对A，，则A错误；

对B，根据题意，，则B正确；

对C，，则C正确；

对D，，导函数为奇函数，则函数的图象关于原点对称，即D正确.

故选：BCD.

10．从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有（   ）

A．如果4人全部为男生，那么有30种不同的选法

B．如果4人中男生女生各有2人，那么有30种不同的选法

C．如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法

D．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法

【答案】CD

【分析】按照排列组合的要求依次判断选项即可.

【详解】A：如果4人中全部为男生，选法有种，故A错误；

B：如果4人中男生女生各有2人，男生的选法有种，女生的选法有种，则4人中男生女生各有2人选法有种，B错误；

C：如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，在剩下的8人中再选2人即可，有种，故C正确；

D：在10人中任选4人，有种，甲乙都不在其中的选法有，

故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内的选法有种，故D正确.

故选：CD.

11．已知正方体的边长为2，M为的中点，P为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（    ）

A． B．平面

C．与所成角的余弦值为 D．动点P的轨迹长为

【答案】BCD

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间夹角公式、空间向量数量积的运算性质逐一判断即可.

【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，

则，

所以，

由平面，得，即，

化简可得：，

所以动点P在直线上，

对于选项A：，所以与不垂直，所以A选项错误；

对于选项B：平面平面，所以平面，B选项正确；

对于选项C：，C选项正确；

对于选项D：动点P在直线上，且P为侧面上的动点，则P在线段上，，所以，D选项正确；

故选：BCD.

12．下列说法正确的是（    ）

A．若随机变量，其中，则

B．若事件与互斥，且，则

C．若事件发生，则事件一定发生，且则

D．甲、乙两个箱子里各装有5个大小形状都相同的球，其中甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球的概率为

【答案】BD

【分析】由正态分布的对称性可判断A；由互斥事件的定义和条件概率的公式可判断B；由事件的包含关系和条件概率的公式可判断C；根据全概率公式可判断D.

【详解】对于A，若随机变量，其中，

则或，故A不正确；

对于B，若事件与互斥，则，

，

所以，因为，

，故B正确；

对于C，若事件发生，则事件一定发生，则，

，，故C不正确；

对于D，设事件表示从甲箱中随机取出一红球放入乙箱中，事件表示从甲箱中随机取出一白球放入乙箱中，

设事件表示从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球，

则有,

所以，故D正确.

故选：BD.

三、填空题

13．已知随机变量，，则      .

【答案】0.16/

【分析】由正态分布的对称性求解即可.

【详解】随机变量，，

由正态分布的对称性知：，

所以.

故答案为：0.16.

14．已知点，平面a经过原点O，且垂直于向量，则点A到平面a的距离为      .

【答案】

【分析】利用点到平面的距离为，即可求得结论.

【详解】由题意，，，

，

所以点到平面的距离为.

故答案为：.

15．若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数“十全十美数”，如208，136都是“十全十美数”，现从所有三位数中任取一个数，则这个数恰为“十全十美数”的概率是           

【答案】

【分析】通过列举法求出满足题意的三位数十全十美数个数，再运用概率公式计算即可.

【详解】所有三位数个数为900个.

“十全十美数”有54个列举如下：①有一位数字是的，共有个，分别为；

②含有两个相同数字的，共有个，分别为；

③不含0且没有相同数字的，共有个，分别为,

从所有三位数中任取一个数，则这个数恰为“十全十美数”的概率.

故答案为:

四、双空题

16．对于三次函数，定义：设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现视为条件，若函数，则它的对称中心为       ；并计算      ．

【答案】         

【分析】求出，由可求得函数的“拐点”坐标，可得出，再利用倒序相加法可求得的值.

【详解】因为，则，，

由可得，且

所以，函数的对称中心为，所以，对任意的，.

因此，

，

因此，.

故答案为：；.

五、解答题

17．已知的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992．

(1)求展开式中的有理项；

(2)求展开式中系数最大的项．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出展开式中各项的系数和，二项式系数和，再建立方程求出n，最后根据二项式系数的性质即可得解；

（2）求出二项展开式的通项，根据系数最大列出不等式组求解即可.

【详解】（1）令，则展开式中各项系数和为，展开式中的二项式系数和为，

依题意，，即，

整理得，所以，解得，

所以展开式通项为，

所以，时，

展开式中的有理项分别为，.

（2）由（1）知，展开式通项为，

令项的系数最大，则有，即，

整理得，解得，而，所以，

所以展开式中系数最大项为.

18．如图，四边形是正方形，平面，，，，为的中点．

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用空间向量共线的坐标表示以及线面平行的判定定理证明；

（2）利用空间向量的坐标运算计算平面与平面所成角的余弦值.

【详解】（1）证明：依题意，平面．

如图，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向，

建立空间直角坐标系．

依题意，可得，，，

，，，．

取的中点，连接．

因为，，，

所以，所以．

又因为平面，平面，

所以平面．

（2）因为,所以，

又因为平面，平面，

所以，且,,

所以平面，

又因为平面，所以，

且平面,

所以平面,平面,

所以，，，平面，

所以平面，故为平面的一个法向量．

设平面的法向量为，

因为

所以即，

令，得，，故．

所以，

所以平面与平面夹角的余弦值为.

19．某地举行象棋比赛，淘汰赛阶段的比赛规则是：两人一组，先胜一局者进入复赛，败者淘汰.比赛双方首先进行一局慢棋比赛，若和棋，则加赛快棋；若连续两局快棋都是和棋，则再加赛一局超快棋，超快棋只有胜与负两种结果.在甲与乙的比赛中，甲慢棋比赛胜与和的概率分别为，，快棋比赛胜与和的概率均为，超快棋比赛胜的概率为，且各局比赛相互独立.

(1)求甲恰好经过三局进入复赛的概率；

(2)记淘汰赛阶段甲与乙比赛的局数为X，求X的概率分布列和数学期望.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）前两局和棋最后一局甲胜，按照乘法公式计算概率即可；

（2）的所有可能取值为，依次计算出概率，列出分布列，再计算期望即可.

【详解】（1）前两局和棋最后一局甲胜，.

（2）的所有可能取值为，乙慢棋比赛胜概率，乙快棋比赛胜概率，

乙超快棋比赛胜概率.

，

的分布列为

.

20．某市为了更好地了解全体中小学生感染某种病毒后的情况，以便及时补充医疗资源，从全市中小学生中随机抽取了100名该病毒抗原检测为阳性的中小学生监测其健康状况，100名中小学生感染某种病毒后的疼痛指数为X，并以此为样本得到了如下图所示的表格：

(1)统计学中常用表示在事件A发生的条件下事件B发生的似然比．现从样本中随机抽取1名学生，记事件A为“该名学生为有症状感染者（轻症感染者和重症感染者统称为有状感染者）”，事件B为“该名学生为重症感染者”，求事件A发生的条件下事件B发生的似然比；

(2)若该市所有该病毒抗原检测为阳性的中小学生的疼痛指数X近似服从正态分布，且．若从该市众多抗原检测为阳性的中小学生中随机地抽取3名，设这3名学生中轻症感染者人数为Y，求Y的概率分布列及数学期望．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）应用条件概率公式计算求解即可；

（2）应用，由二项分布分别写出求分布列及计算数学期望.

【详解】（1）由题意得：，

，

，

.

（2），

，则，

可能的取值为，

的分布列为：

数学期望.

21．网上购物就是通过互联网检索商品信息，并通过电子订购单发出购物请求，厂商通过邮购的方式发货或通过快递公司送货上门，货到后通过银行转账､微信或支付宝支付等方式在线汇款，根据年中国消费者信息研究，超过的消费者更加频繁地使用网上购物，使得网上购物和送货上门的需求量激增，越来越多的消费者也首次通过第三方､品牌官方网站和微信社群等平台进行购物，某天猫专营店统计了年月日至日这天到该专营店购物的人数和时间第天间的数据，列表如下：

（1）由表中给出的数据是否可用线性回归模型拟合人数与时间之间的关系？若可用，估计月日到该专营店购物的人数(人数用四舍五入法取整数；若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合，计算时精确到).

参考数据：.附：相关系数，回归直线方程的斜率，截距.

（2）运用分层抽样的方法从第天和第天到该专营店购物的人中随机抽取人，再从这人中任取人进行奖励，求这人取自不同天的概率.

（3）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满元可减元；方案二，一次性购物金额超过元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打折，中奖两次打折，中奖三次打折.某顾客计划在此专营店购买元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠.

【答案】（1）可用线性回归模型拟合人数与天数之间的关系，月日到该专营店购物的人数约为；（2）；（3）选择方案二更划算.

【分析】（1）利用题中所给数据和公式，求出相关系数的值，由此判断变量与具有很强的线性相关性，再求出和，得线性回归方程，令代入即可求解；

（2）先利用分层抽样得到第1天和第5天取的人数分别为3人和4人，然后由古典概型概率计算公式即可求解；

（3）分别求出方案一和方案二所需付款数，比较即可求解.

【详解】解：（1）由表中数据可得，，，

，，

所以，

所以可用线性回归模型拟合人数与天数之间的关系.

而，

则，

所以，

令，可得.

答：月日到该专营店购物的人数约为.

（2）因为，所以从第天和第天取的人数分别为和，从而人取自不同天的种数为，

所以概率.

答：这人取自不同天的概率为.

（3）若选方案一，需付款元.

若选方案二，设需付款元，则的取值可能为，，，，

则，

，

，

，

所以，

因此选择方案二更划算.

22．已知函数在点处的切线为.

（1）求函数的解析式；

（2）是否存在，对任意，使得成立，若存在，求的最大值；若不存在，说明理由.（参考数据：，）

【答案】（1）；（2）存在，的最大值为8

【分析】（1）对函数求导，结合导数的几何意义，可得出，进而可求出，即可得出函数的解析式；

（2）由，不等式可转化为，

令，进而通过求导，判断函数的单调性，使得，进而可求出的最大值.

【详解】（1）将代入切线方程，可得，即，

又，

所以，解得，

所以.

（2）存在，理由如下：

由，不等式可转化为，

令，则，，

令，则，

所以在上单调递增，且，，

故存在唯一的，使得，即，

当时，，即，此时单调递减；

当时，，即，此时单调递增.

所以，即，

又因为，所以，

因为，所以的最大值为8.

所以存在满足题意的，的最大值为8.

【点睛】本题考查导数几何意义的应用，考查利用导数解决不等式恒成立问题，注意利用参变分离的方法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.