2022-2023学年吉林省辉南县第六中学高二下学期第一次半月考数学试题含答案

2022-2023学年吉林省辉南县第六中学高二下学期第一次半月考数学试题

一、单选题

1．若随机变量服从两点分布，其中，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由题知，进而得，，再根据期望、方差的性质求解即可.

【详解】解：因为随机变量服从两点分布，其中，

所以，

所以，，

，.

故D错误，ABC正确.

故选：D

2．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由题意可得函数不是偶函数，图象不关于轴对称，然后再根据特殊值进行判断可得结果．

【详解】解：，所以的图象不关于轴对称，排除选项B，C，

又因为，排除A.

故选：D.

【点睛】本题考查根据函数的解析式判断函数的大体图象，考查分析判断能力和应用意识，结合函数奇偶性的判断，属于基础题.

3．已知是的导函数，且，，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意构造函数，借助函数的单调性解不等式即可.

【详解】令，则，

∴在R上为增函数，∴可化为，∴．

故选C

【点睛】本题考查函数的导数与单调性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键.

4．2020年初，新型冠状肺炎在欧洲爆发后，我国第一时间内向相关国家捐助医疗物资，并派出由医疗专家组成的医疗小组奔赴相关国家.现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A=“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B=“小组甲独自去一个国家”，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据古典概型的计算公式求，再结合条件概率公式运算求解.

【详解】事件A=“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B=“小组甲独自去一个国家”，

则，，，

故选：A.

5．在的展开式中，记项的系数为，则（    ）

A．45 B．60 C．72 D．96

【答案】D

【分析】利用二项式展开式的通项公式求得正确答案.

【详解】由于的展开式为，且的展开式，

记项的系数为，所以，，

故.

故选：D

6．甲箱子里装有3个白球和2个红球，乙箱子里装有3个白球和3个红球，从这两个箱子里分别随机摸出一个球，设摸出白球的个数X的均值和方差分别为，，摸出红球个数Y的均值和方差分别为，，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】分别求出随机变量和的所有可能取值及其对应的概率，由数学期望和方差的计算公式即可求解．

【详解】解：由题意，甲箱中摸到白球的概率为，红球的概率为，

乙箱中摸到白球的概率为，红球的概率为，

由题意可知的可能取值为0，1，2，

所以，，，

所以，

；

由题意可知的可能取值为0，1，2，

所以，，，

所以，

；

所以，．

故选：C．

7．老张每天下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有A，B两条线路可以选择.乘坐线路A所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要5分钟；乘坐线路B所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要12分钟.下列说法从统计角度认为不合理的是（    ）

A．若乘坐线路B，前一定能到家

B．乘坐线路A和乘坐线路B在前到家的可能性一样

C．乘坐线路B比乘坐线路A在前到家的可能性更大

D．若乘坐线路A，则在前到家的可能性不超过1%

【答案】A

【分析】根据正态分布的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】对于A，因为，

所以乘坐线路B，前不一定能到家，选项A错误：

对于B，，

，所以选项B正确；

对于C，，

，选项C正确；

对于D，，选项D正确.

故选：A

8．今有个人组成的旅游团,包括4个大人，2个小孩，去庐山旅游，准备同时乘缆车观光，现有三辆不同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘3人，为了安全起见，小孩乘缆车必须要大人陪同，则不同的乘车方式有种

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分两类，分别讨论两个小孩坐在一块和两个小孩不坐在一块所包含的情况，最后求和即可.

【详解】第一类：只用两辆缆车，

若两个小孩坐在一块，则有种乘车方式；

若两个小孩不坐在一块，则有种乘车方式；

第二类：用三辆缆车，

若两个小孩坐在一块，则有种乘车方式；

若两个小孩不坐在一块，则有种乘车方式；

综上不同的乘车方式有种.

故选C

【点睛】本题主要考查两个计数原理，熟记分类加法与分类乘法计算原理，即可分情况讨论，写出结果，属于常考题型.

二、多选题

9．下列计算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据导数的运算法则对选项逐一判断即可．

【详解】A选项，，故A选项正确；

B选项，，故B选项错误；

C选项，，故C选项正确；

D选项，，故D选项错误；

故选：AC

10．已知（），则下列结论正确的是（    ）

A． B．当时，n=5

C．若（）的展开式中第7项的二项式系数最大，则n等于12或13 D．当n=4时，

【答案】ABD

【分析】对于A，由二项式展开式的系数的性质判断即可，对于B，由题意可得，从而可求出的值，对于C，利用二项式展开式的系数的性质判断即可，对于D，当时，将代入结合可求得的值

【详解】，A正确；

的系数，则，所以，B正确；

若的展开式中第7项的二项式系数最大，当n为偶数，则n等于12，当n为奇数，则n等于11或13，C错误；

当时，，

令，则，又，

所以，D正确.

故选：ABD

11．已知离散型随机变量X的分布列如下，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】根据分布列中概率的性质、数学期望、方差等知识确定正确答案.

【详解】由题意可知，，解得或．

当时，，故，A不正确，B正确.

，C正确．

，

则．D正确．

故选：BCD

12．已知函数，，若方程有两个不相等的实根，则实数的取值可以是（    ）

A．0.6 B．0.7 C．0.85 D．0.75

【答案】ABCD

【分析】根据的图象有两个交点来求得的取值范围，进而求得正确答案.

【详解】画出的图象如下图所示，

直线过坐标原点，

当时，不满足方程有两个不相等的实根，

当时，直线与射线所在直线平行，，

要使方程有两个不相等的实根，由图可知，

ABCD四个选项都符合题意.

故选：ABCD

【点睛】求解方程的根的个数问题，可以转化为两个函数交点个数问题来进行研究.具体解题过程中，根据题目所给方程的形式进行转化，转化为两个可以画出图象的函数，画出两个函数的图象，根据图象来求得参数的取值范围.

三、双空题

13．某同学高考后参加国内3所名牌大学，，的“强基计划”招生考试，已知该同学能通过这3所大学，，招生考试的概率分别为，，，该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率为，则该同学至少通过1所大学招生考试的概率为           ；该同学恰好通过，两所大学招生考试的概率最大值为           .

【答案】         

【分析】利用独立事件的概率乘法公式可求出该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率，从而求出该同学至少通过1所大学招生考试的概率，再结合基本不等式即可得的最小值，进而求出该同学恰好通过，两所大学招生考试的概率最大值．

【详解】该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，

该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率，

该同学至少通过1所大学招生考试的概率为，

由得，，

，即，

解得或，

又，，

，

，

该同学恰好通过，两所大学招生考试的概率为，最大值为．

故答案为：，．

四、填空题

14．随机变量服从正态分布，，，则的最小值为     ．

【答案】

【分析】根据正态分布的对称性，得到，再利用均值不等式计算的最小值.

【详解】随机变量服从正态分布，∴，

由，得，

又，

∴，且，，

则．

当且仅当，即，时等号成立．

∴的最小值为．

故答案为．

【点睛】本题考查了正态分布的计算，均值不等式的运用，综合性较强，需要同学们熟练掌握各个知识点.

15．设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y≥1)＝     ．

【答案】

【详解】 ，， , ,

所以==．

16．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件，下列说法正确的序号是          .

①事件，相互独立；②；③；④；⑤．

【答案】③④⑤

【分析】首先判断出，和是两两互斥事件，再判断与是否相等，可确定①；求出可判断②；利用全概率判断③；再利用条件概率判断④⑤.

【详解】依题意，，和是两两互斥事件，

，，

又，①②错误；

又，，

，③④正确；

，⑤正确；

故答案为：③④⑤.

五、解答题

17．甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记下国徽面朝上的次数为；乙用一枚硬币掷2次，记下国徽面朝上的次数为.

(1)计算甲掷硬币国徽面朝上不同次数的概率；

(2)现规定：若，则甲胜；若，则乙胜.你认为这种规定合理吗？为什么？

【答案】(1)答案见解析

(2)合理，理由见解析

【分析】（1）根据古典概型概率计算公式以及组合数的计算求得正确答案.

（2）分别计算出甲胜或乙胜的概率，由此作出判断.

【详解】（1）根据相互独立事件概率乘法公式得：

（2）这种规定是合理的.

这是因为甲获胜，则，

当时，，其概率为；

当时，，其概率为；

当时，，其概率为；

∴甲获胜的概率为.

若乙获胜，则，

当时，，其概率为；

当时，，其概率为；

当时，，其概率为；

∴乙获胜的概率为.

甲和乙获胜的概率相等，即获胜机会相等，所以这种规定是合理的.

18．作为家长都希望自己的孩子能升上比较理想的高中，于是就催生了“名校热”，这样择校的结果就导致了学生在路上耽误的时间增加了.若某生由于种种原因，每天只能骑车从家出发到学校，途经5个路口，这5个路口将家到学校分成了6个路段，每个路段的骑车时间是10分钟（通过路口的时间忽略不计），假定他在每个路口遇见红灯的概率均为，且该生只在遇到红灯或到达学校才停车，对每个路口遇见红灯情况统计如下：

(1)设学校规定后（含）到校即为迟到，求这名学生迟到的概率；

(2)设X表示该学生上学途中遇到的红灯数，求的值；

(3)设Y表示该学生第一次停车时已经通过路口数，求随机变量Y的分布列和数学期望.

【答案】(1)

(2)

(3)分布列见解析，期望为

【分析】（1）分类，根据独立事件的概率乘法公式可得；

（2）利用二项分布概率公式可得；

（3）先确定Y的取值，然后根据独立事件的概率乘法公式求得相应概率，再由期望公式可得.

【详解】（1）由题意知，不管路口4是否遇到红灯，只要1，2，3，5路口同时遇到红灯，该同学就会迟到，

∴这名学生迟到的概率：.

（2）由题意知.

∴.

（3）由题意知Y=0，1，2，3，4，5.

，，

，，

，，

∴随机变量Y的分布列：

∴.