2022-2023学年湖北省十堰市丹江口市第二中学高二下学期5月月考数学试题含答案

2022-2023学年湖北省十堰市丹江口市第二中学高二下学期5月月考数学试题

一、单选题

1．记为等比数列的前n项和.若，，则（    ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】A

【分析】根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案.

【详解】∵为等比数列的前n项和，

∴，，成等比数列

∴，

∴，

∴.

故选：A.

2．设，数列的前n项和，则（   ）

A．是等比数列 B．是等差数列

C．当时，是等比数列 D．当时，是等比数列

【答案】D

【解析】根据与的关系求出，然后判断各选项．

【详解】由题意时，，，

，

若，即，则是等比数列，否则不是等比数列，也不是等差数列，

故选：D．

【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的定义．在由求通项时，必须牢记，它与的求法不相同，因此会影响的性质．对等比数列来讲，不仅要求，还必须满足．

3．若等比数列的各项均为正数，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用等比数列的性质结合对数的运算性质可得结果.

【详解】，

故选：B.

4．函数在上的最小值为　　

A． B． C． D．2e

【答案】A

【分析】求函数的导数，由此得到函数在区间上的单调性，并求出极值和最值.

【详解】依题意，故函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故函数在处取得极小值也即是最小值，且最小值为.故选A.

【点睛】本小题考查函数最小值的求法，考查利用导数求函数的最值的方法.属于基础题.求函数的最值可以考虑以下几个方面：如果函数是二次函数，则可利用配方法求得函数的最值.如果函数是单调的函数，可利用单调性求得最值.如果函数符合基本不等式应用的条件，则可利用基本不等式来求得最值.还有一种方法就是利用函数的导数来求得函数的单调区间、极值进而求最值.

5．已知函数的图象如图所示，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先利用函数的零点，计算b、c的值，确定函数解析式，再利用函数的极值点为x，xz，利用导数和一元二次方程根与系数的关系计算所求值即可

【详解】由图可知，的3个根为0,1,2，

，

解得，

又由图可知，为函数f (x)的两个极值点，

的两个根为，

，

，

故选：C

【点睛】本题主要考查了导数在函数极值中的应用，一元二次方程根与系数的关系，整体代入求值的思想方法.

6．某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上有3人发言则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为 

A．15 B．30 C．35 D．42

【答案】B

【分析】本题是一个分类计数问题，由于甲有两个人参加会议需要分两类，含有甲的选法有C21C52种；不含有甲的选法有C53种，根据分类计数原理得到结果．

【详解】由题意知本题是一个分类计数问题，由于甲有两个人参加会议需要分两类：

含有甲的选法有C21C52种，

不含有甲的选法有C53种，

共有C21C52+C53=30（种），

故选B．

【点睛】本题考查分类计数问题，在排列的过程中出现有特殊情况的元素，需要分类来解，不然不能保证发言的3人来自3家不同企业，属于基础题.

7．展开式中的系数为

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】化简已知代数式，利用二项式展开式的通项公式可以求出展开式中的系数．

【详解】因为，则展开式中含的项为；展开式中含的项为，故的系数为，

故选：C．

8．从装有除颜色外没有区别的3个黄球、3个红球、3个蓝球的袋中摸3个球，设摸出的3个球的颜色种数为随机变量X，则P(X＝2)＝(　　)

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】X=2，即摸出的3个球有2种颜色，其中一种颜色的球有2个，另一种颜色的球有1个，故，故选D.

二、多选题

9．（多选）已知数列中，，，，则下列说法正确的是（    ）

A． B．是等比数列

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据给定的递推公式，探讨数列的特性，再逐项计算判断作答.

【详解】，，，即，则，A正确；

显然有，于是得，

因此数列，分别是以1，2为首项，2为公比的等比数列，B正确；

于是得，，

则，，C正确，D不正确.

故选：ABC

10．函数的导函数的图像如图所示，则（    ）

A．是函数的极值点

B．是函数的极小值点

C．在区间上单调递增

D．是函数的极大值点

【答案】AC

【详解】由图像可得，当时，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，

故是函数的极值点， 、不是函数的极值点，

故选：AC

11．对任意实数x，有则下列结论成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】由二项式定理，采用赋值法判断选项ACD，转化法求指定项的系数判断选项B.

【详解】由，

当时，，，A选项错误；

当时，，即，C选项正确；

当时，，即，D选项正确；

，由二项式定理，，B选项正确.

故选：BCD

12．已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．函数存在两个不同的零点

B．函数既存在极大值又存在极小值

C．当时，方程有且只有两个实根

D．若时，，则t的最小值为2

【答案】ABC

【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项．

【详解】对于A，由，得，∴，故A正确；

对于B，，

当时，，当时，，

∴在，上单调递减，在上单调递增，

∴是函数的极小值，是函数的极大值，故B正确；

对于C，当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；

对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确．

故选：ABC.

【点睛】本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是是函数的单调递减区间，但当时，，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了．

三、填空题

13．已知，则      .

【答案】

【分析】利用二项式定理可得出，令，求出的值，利用赋值法可得出，代值计算即可得解.

【详解】因为

，

所以，，

令，

则，易知，，

.

故答案为：.

14．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有      种（用数字作答）.

【答案】

【分析】根据题意，用表示个区域，分4步依次分析区域、、、、的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案．

【详解】如图，用表示个区域，

分4步进行分析：

①，对于区域，有5种颜色可选；

②，对于区域，与区域相邻，有4种颜色可选；

③，对于区域，与、区域相邻，有3种颜色可选；

④，对于区域、，若与颜色相同，区域有3种颜色可选，

若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有2种颜色可选，

则区域、有种选择，

则不同的涂色方案有种.

故答案为：.

15．若在上单调递增，则的取值范围是      .（用区间表示）

【答案】

【分析】分析可知，对任意的，，利用参变量分离法结合可求得实数的取值范围.

【详解】因为，则，

因为函数在上单调递增，

则对任意的，恒成立，可得，

又因为，解得，

当时，对任意的，，当且仅当时，等号成立，合乎题意.

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

16．一个盒子里装有种颜色，大小形状质地都一样的个球，其中黄球个，蓝球个，绿球个，现从盒子中随机取出两个球，记事件“取出的两个球颜色不同”，事件“取出一个黄球，一个蓝球”，则      .

【答案】

【分析】求出、的值，利用条件概率公式可求得的值.

【详解】由题意可得，

事件“取出一个黄球，一个蓝球”，则，

由条件概率公式可得.

故答案为：.

四、解答题

17．已知的展开式中，第6项为常数项.

(1)求含项的系数；

(2)求展开式中所有的有理项.

【答案】(1)

(2)，，.

【分析】将的值代入通项，令的指数为，即可求出结果；

 令通项中的指数为整数，求出结果即可.

【详解】（1）通项公式为.    

因为第项为常数项，所以时，有，解得.

令，解得.

所以含项的系数为.

（2）由题意可知，，

则可能的取值为，，.

所以第项，第项，第项为有理项，分别为，，.

18．甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品有4个正品和3个次品.

（1）从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；

（2）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率.

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）甲箱的8件产品，任取2件的取法为，而2个都是次品的取法是为3件次品中取2件，取法数为，再利用古典概型的概率公式求解；

（2）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，所取2件产品对乙箱中的正品次品数有影响，因此需分三类，即2件都是正品，一正品一次品，2件都是次品，然后利用条件概率公式和互斥事件的概率公式求解即可．

【详解】（1）从甲箱中任取2个产品的事件为，这2个产品都是次品的事件数为.

所以这2 个产品都是次品的概率为.

（2）设事件为“从乙箱中取一个正品”，事件为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件为“从甲箱中取2个产品都是次品”，则事件、事件、事件彼此互斥.

，

，，

所以.

19．设数列满足，.

（1）求数列的通项公式;

（2）令，求数列的前项和.

【答案】（1），；（2），.

【分析】（1）利用累加法求通项公式；

（2）利用错位相减法以及等比数列求和公式即可得出.

【详解】（1）由已知，当时，

，

当时，符合上式，

，.

（2）由（1）知，

①

②

①-②得

所以，，.

【点睛】数列求和的方法技巧

(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．

(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．

(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．

20．袋中装有黑球和白球共个，从中任取个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止所需要的取球次数.

(1)求袋中所有的白球的个数；

(2)求随机变量的分布列；

(3)求乙取到白球的概率.

【答案】(1)

(2)分布列答案见解析

(3)

【分析】（1）设袋中的白球个数为，由组合计数原理结合古典概型的概率公式可得出关于的等式，结合的取值范围可求得的值；

（2）分析可知，随机变量的可能取值有、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列；

（3）记事件乙取到白球，可得出，结合（2）中的分布列可求得结果.

【详解】（1）解：设袋中的白球个数为，由题意可得，

整理可得，又因为且，解得，

因此，袋中白球的个数为.

（2）解：由题意可知，随机变量的可能取值有、、、、，

则，，，

，，

所以，随机变量的分布列如下表所示：

（3）解：由题意可知，记事件乙取到白球，则事件即为“第二次或第四次取到白球”，

所以，.

21．已知函数.

(1)当时，求的图像在处的切线方程；

(2)若函数在上有两个零点，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将代入，得到切点坐标，求导得到切线斜率，然后根据直线的点斜式方程，即可得到切线方程.

（2）根据导数求得函数的极值，求出端点值，，然后根据在上有两个零点，列出不等式求解即可得到的范围.

【详解】（1）当时，，则，切点坐标为，

则切线的斜率，则函数的图像在处的切线方程为

即.

（2），

则，

，∴由，得.

当，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

故当时，函数取得极大值，

又，，

且，

∴在上有两个零点需满足条件，

解得

故实数的取值范围是.

22．设是正数组成的数列，其前项和为，并且对于所有的正整数，与2的等差中项等于与2的等比中项.

(1)求数列的通项公式；

(2)令，求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）利用已知与2的等差中项等于与2的等比中项，推出 并由此得出，进而得的递推关系，从而推得数列的通项公式；

（2）要证，即证，将看作每项都减去1，故令，利用的通项公式求得，并利用裂项相消法求和，进而得证.

【详解】（1）由题意，有 ，整理得，

则，所以，

, ,

整理得 ，

由题意知 ，∴,

∴数列为等差数列，其中，公差,

∴，

即通项公式为；

（2）要证，

即证，

，令,

则，

故

，

∴.

【点睛】关键点点睛：令，并利用裂项相消法求和，是解决第二问的关键.