中考数学二轮复习培优专题09 全等三角线中的辅助线做法及常见题型之斜边上的中线 (含解析)

专题09：第三章 全等三角形中的辅助线的做法及常见题型之斜边上的中线

一、填空题

1．如图，在中，∠B=60°，CD 为AB 边上的高，E 为AC 边的中点，点 F 在BC 边上，∠EDF=60°，若 BF=3，CF=5，则AC边的长为     ．

二、解答题

2．如图，在中，，，点D为斜边的中点，，的顶点E，F分别在边，上，求的长．

3．如图，在中，是的中点，点E在上，点F在上，且．求证：．

4．如图，在中，，O为的中点，D，E分别在上，且．求证：．

5．如图,在矩形ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F.

（1）若AB=2,AD=3,求EF的长；

（2）若G是EF的中点,连接BG和DG,求证：DG=BG.

6．如图所示，中，，于，于，求证：.

7．如图所示，中，，延长到，使，点是的中点，求证：.

8．如图所示，在中，于，于，点，分别是，的中点，求证：.

9．如图所示，中，为的中点，为上一点，于点，连结．求证：．

10．如图，正方形ABCD中，对角线AC上有一点P，连接BP、DP，过点P作PE⊥PB交CD于点E，连接BE．

（1）求证：BP=EP；

（2）若CE=3，BE=6，求∠CPE的度数；

（3）探究AP、PC、BE之间的数量关系，并给予证明．

参考答案

1．

【解析】

【分析】

如图（见解析），先根据直角三角形的性质、勾股定理得出，再根据等边三角形的判定与性质得出，然后根据三角形的中位线定理、平行线的性质得出，从而可得，，最后根据三角形全等的判定定理与性质得出，据此根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得．

【详解】

如图，过点D作于点G

在中，，

在中，，

，

取BC的中点H，连接DH、EH

是等边三角形

点E是AC边的中点

EH是的中位线

又，

在和中，

则在中，，即

故答案为：．

【点评】

本题考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、三角形的中位线定理等知识点，通过作辅助线，构造等边三角形和全等三角形是解题关键．

2．6

【解析】

【分析】

连接，由，得，由点D是斜边的中点，得到，且，，等量代换得到，在和中由AAS证得， 故，即可得解.

【详解】

连接，

∵，，

∴，

∵点D是斜边的中点，

∴，，

∵，

∴，

在和中，

∴，

∴，

∴.

【点评】

此题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质.正确作出辅助线是解决此题的关键.

3．详见解析

【解析】

【分析】

首先可判断△ABC是等腰直角三角形，连接CD，根据全等三角形的判定易得到△ADE≌△CDF，再利用全等三角形的性质即可证明结论成立．

【详解】

证明：如图，连接．

，

是等腰直角三角形，

．

为的中点，

平分．

，

．

在和中，

，

，

．

，

，即．

【点评】

本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是利用等腰直角三角形的性质得出证明全等需要的条件，难度一般．

4．证明见解析．

【解析】

【分析】

如图（见解析），先根据等腰三角形的三线合一可得，，从而可得，再根据等腰三角形的定义可得，然后根据角的和差、等量代换可得，最后根据三角形全等的判定定理与性质可得，据此根据线段的和差即可得证．

【详解】

如图，连接，

∵，O为的中点，

∴，（等腰三角形的三线合一），

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

又∵，

，

∴，

在和中，，

∴，

∴，

∵，

∴．

【点评】

本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．

5．（1）EF＝；（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）由AE平分∠BAD，可得∠DAF＝45°，从而∠F＝45°，可证△ADF，△ECF都是等腰直角三角形，求出CF的长，最后根据勾股定理即可求出EF的长；

（2）连结CG，易证∠BEG＝∠DCG＝135°，根据“SAS”可证△BEG≌△DCG，从而可得DG＝BG.

【详解】

解：（1）在矩形ABCD中

∵AE平分∠BAD,

∴∠DAF＝45°,

∴∠F＝45°，

∴△ADF，△ECF都是等腰直角三角形，

∴DF＝AD＝3, CF＝DF－CD= 1.

在Rt△CEF中,

∴EF＝.

（2）连结CG,

∵G是EF中点,

∴CG⊥EF,

∠ECG＝∠CEF＝45°.

∴∠BEG＝∠DCG＝135°.

∴EG＝EF＝CG.

∵AB＝BE＝CD,

∴BE＝CD.

∴△BEG≌△DCG,

∴DG＝BG.

【点评】

本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，以及全等三角形的判定与性质，证明△ADF，△ECF都是等腰直角三角形是解（1）的关键，证明△BEG≌△DCG是解（2）的关键.

6．见解析

【解析】

【分析】

取CE的中点F，连接AF、BF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AF=EF=BF=CF，根据三角形的内角和等于180°求出∠ACE+∠BEC=45°，然后求出∠AEC+∠BCE=135°，再根据等腰三角形两底角相等求出∠BFC+∠AFE=90°，然后求出∠AFB=90°，从而判断出△ABF是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的可得AF=AB，然后证明即可．

【详解】

证明：如图，取CE的中点F，连接AF、BF，

∵CB⊥DE，EA⊥CD，
∴AF=EF=BF=CF=CE，
在△CDE中，∵∠CDE=135°，
∴∠ACE+∠BEC=180°-135°=45°，
∴∠AEC+∠BCE=（90°-∠ACE）+（90°-∠BEC）=180°-45°=135°，
∴∠BFC+∠AFE=（180°-2∠BCE）+（180°-2∠AEC）=360°-2（∠AEC+∠BCE）=360°-2×135°=90°，
∴∠AFB=180°-（∠BCF+∠AFE）=180°-90°=90°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF=AB，
∴CE=2AF=2×AB=AB，
即CE=AB．

【点评】

本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键，作出图形更形象直观．

7．见解析

【解析】

【分析】

可知EF是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质，可得EF∥AB，EF=AB，又由AD=AB，即可得AD=EF，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形AEFD是平行四边形．DE=AF，由在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E边BC的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可求得AF=BC．所以DE=2BC.

【详解】

证明：取的中点F，连EF，AF，

∵点E、F分别为边BC，AC的中点，即EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB，EF=AB，
即EF∥AD，
∵AD=AB，
∴EF=AD，
∴四边形AEFD是平行四边形；

∴AF=DE.
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E边BC的中点，
∴AF=BC，
∵四边形AFED是平行四边形，
∴BC=2DE.

【点评】

此题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线的性质、直角三角形斜边上的中线的性质.灵活运用中点的有关性质解题是解题关键.

8．见解析

【解析】

【分析】

连接ME、MD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD=ME=BC，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可；

【详解】

证明：连结，，

点分别是和斜边的中点，

= ，又是的中点，

.

【点评】

本题主要考查直角三角形和等腰三角形的性质，遇到直角三角形斜边上的中点时，往往连结斜边上的中线.利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得DM=EM是解题的关键．

9．详见解析

【解析】

【分析】

连结AD，过点D作交BG于点F，由等腰直角三角形的性质可得，AD⊥BC，由等角的余角相等得，，根据ASA可证出 ，由全等三角形的对应边相等得AE=BF，DE=DF，则△EDF为等腰直角三角形，即可得 .

【详解】

证明：连结AD，过点D作交BG于点F，

∵为的中点，

∴，AD⊥BC，

∵，∠BAC=90°，

∴，，

∴（ASA）

∴AE=BF，DE=DF，

∵

∴

∴ .

【点评】

本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，本题中求证是解题的关键．

10．（1）证明见解析；（2）∠EBC=30°；（3）BE2＝AP2+PC2，理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）利用正方形的性质得出△CBP≌△CDP，得出BP＝DP，利用四边形的内角和，得出EP＝DP，从而得出结论；

（2）取BE的中点F，得出△CEF是等边三角形，利用撒尿行内角和定理，得出∠EPC＝30°；

（3）过点P作PC/⊥AC，得出△BPC≌△EPC/, 近而得出四边形ABEC/为平行四边形，在Rt△APC/中，利用勾股定理得出结论即可.

【详解】

（1）∵ 四边形ABCD是正方形，∴CB＝CD，AC平分∠BCD， 即 ∠BCP＝∠DCP，

又CP是公共边 所以△CBP≌△CDP ∴ BP＝DP, ∠PBC＝∠PDC

∵ ∠BPE+∠BCE＝180°，∠BPE+∠BCE+∠PBC+∠PEC＝360°∴∠PBC+∠PEC＝180°

∵ ∠PED+∠PEC＝180°∴∠PED＝∠PBC∴∠PED＝∠PDC∴EP＝DP,

∴ BP＝DP ．                                        

（2）取BE的中点F，连CF，则CE＝CF－EF＝3, ∴△CEF是等边三角形，则∠BEC＝60°，

∵∠BCE＝90°，∴∠EBC+∠BEC＝90°, ∴∠EBC ＝30°, ∵∠EBC+∠BCP＝∠PEB+∠EPC,

∠PEB＝∠BCP＝45°∴∠EBC ＝∠EPC＝30°﹒    

（3）过点P作PC/⊥AC，交CD的延长线于C/,得△BPC≌△EPC/, CP＝C/P,BC＝EC/,

∵AB＝BC，∴AB＝EC/∵AB∥EC/∴四边形ABEC/为平行四边形，∴AC/＝BE,

∵在Rt△APC/中，C/A2＝AP2+C/P2∴BE2＝AP2+PC2﹒