中考数学二轮复习培优专题08全等三角线中的辅助线做法及常见题型之倍长中线 (含答案)

专题08：第三章 全等三角形中的辅助线的做法及常见题型之倍长中线

一、选择题

1．在△ABC中，AC＝6，中线AD＝5，则边AB的取值范围是（　　）

A．1＜AB＜11 B．4＜AB＜13 C．4＜AB＜16 D．11＜AB＜16

2．在中，，于点，点为的中点，若，则的度数是（    ）

A． B． C． D．

3．如图，在平行四边形中，，为上一点，为的中点，则下列结论中正确的是（    ）

A． B． C． D．

4．如图，在△ABC    中，AB=8，AC=5，AD是△ABC的中线，则AD的取值范围是（      ）

A．3<AD<13 B．1.5<AD<6.5 C．2.5<AD<7.5 D．10<AD<16

5．如图，在等腰直角三角形中，，F为边的中点，点D，E分别在边上运动，且保持，连接．在此运动变化的过程中，下列结论：①是等腰直角三角形；②四边形的面积保持不变；③．其中正确的是（    ）

A．①②③ B．① C．② D．①②

二、填空题

6．如图，平行四边形中，于，点为边中点，，，则_________

7．如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于，，且，，那么的长度为__．

8．如图，为AD上的中点，则BE＝______．

9．如图，△ABC中，D是AB的中点，CD：AC：BC＝1：2：2，则∠BCD＝_____．

10．如图，△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AB＝10，AD＝7，∠CAD＝45°，则BC＝_____.

三、解答题

11．如图，已知AD是的中线，过点B作BE⊥AD，垂足为E．若BE=6，求点C到AD的距离．

12．在ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点，E为直线AC上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．

（1）如图1，当点E是线段AC的中点时，AE＝2，BF＝1，求EF的长；

（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图形2，用等式表示AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．

13．阅读材料，解答下列问题．

如图1，已知△ABC中，AD 为中线．延长AD至点E，使 DE=AD．在△ADC和△EDB中，AD=DE，∠ADC=∠EDB，BD=CD，所以，△ACD≌△EBD，进一步可得到AC=BE，AC//BE等结论．

在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题．

解决问题：如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，点F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF．

14．如图1，在中，，，，是边的中点，交于点.将直角绕顶点旋转，使得边与线段交于点，边与线段交于点.

（1）求证：与相似；

（2）设的长为，的面积为，求与的函数关系式，并写出的取值范围；

（3）探究、、三者之间的数量关系，并说明理由.

15．如图1，已知正方形和等腰，，，是线段上一点，取中点，连接、．

（1）探究与的数量与位置关系，并说明理由；

（2）如图2，将图1中的等腰绕点顺时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；

（3）在（2）的条件下，若，求的最小值．

参考答案

1．C

【解析】

【分析】

作出图形，延长AD至E，使DE＝AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB＝CE，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围．

【详解】

如图，延长AD至E，使DE＝AD，

∵AD是△ABC的中线，

∴BD＝CD，

在△ABD和△ECD中，

BD＝CD，∠ADB＝∠EDC，AD＝DE，

∴△ABD≌△ECD（SAS），

∴AB＝CE，

∵AD＝5，

∴AE＝5＋5＝10，

∵10＋6＝16，10−6＝4，

∴4＜CE＜16，

即4＜AB＜16．

故选：C．

【点评】

本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键．

2．D

【解析】

【分析】

连结CE，并延长CE，交BA的延长线于点N，根据已知条件和平行四边形的性质可证明△NAE≌△CFE，所以NE＝CE，NA＝CF，再由已知条件CD⊥AB于D，∠ADE＝50°，即可求出∠B的度数．

【详解】

解：连结CE，并延长CE，交BA的延长线于点N，

∵四边形ABCF是平行四边形，

∴AB∥CF，AB＝CF，

∴∠NAE＝∠F，

∵点E是的AF中点，

∴AE＝FE，

在△NAE和△CFE中，

，

∴△NAE≌△CFE（ASA），

∴NE＝CE，NA＝CF，

∵AB＝CF，

∴NA＝AB，即BN＝2AB，

∵BC＝2AB，

∴BC＝BN，∠N＝∠NCB，

∵CD⊥AB于D，即∠NDC＝90°且NE＝CE，

∴DE＝NC＝NE，

∴∠N＝∠NDE＝50°＝∠NCB，

∴∠B＝80°．

故选：D．

【点评】

本题考查了平行四边形的性质，综合性较强，难度较大，解答本题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，在利用等腰三角形的性质解答．

3．D

【解析】

【分析】

根据平行四边形的性质可以得到，且为的中点，所以,由此可判断选项；再结合平行线的性质可以得到，由此可判断选项；同时延长和交于点， 可以证得，所以,由此可以判断选项；由于，所以，由此可以判断选项；

【详解】

四边形是平行四边形

由于条件不足，所以无法证明,故选项错误；

故选项错误；

同时延长和交于点

在和 中：

由于条件不足，并不能证明，故选项错误；

为的中点

故选项正确；

故选：D.

【点评】

本题主要考查平行四边形的性质，以及全等三角形的判定，根据题意作出相应的辅助线是求解本题的关键.

4．B

【解析】

【分析】

延长AD到E，使AD=DE，连结BE，证明△ADC≌△EDB就可以得出BE=AC，根据三角形的三边关系就可以得出结论．

【详解】

解：延长AD到E，使AD=DE，连结BE．

∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD．
在△ADC和△EDB中，

∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC=BE．
∵AB-BE＜AE＜AB+BE，
∴AB-AC＜2AD＜AB+AC．
∵AB=8，AC=5，
∴1.5＜AD＜6.5．

故选：B

【点评】

本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，三角形的中线的性质的运用，三角形三边关系的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．

5．A

【解析】

【分析】

连接，利用SAS可证，从而得出，从而求出，即可判断①；根据全等三角形的性质可得，从而得出四边形的面积为，从而判断②；延长到G使，连接，证出和，最后根据三角形的三边关系即可判断③．

【详解】

解：如图，连接．

∵，F为的中点，

∴，．

∵，

∴，

∴．

又∵，

∴．

∴，

∵，

∴，

∴，

∴是等腰直角三角形．①正确．

∵，

∴，

∴四边形的面积为．

∵，

∴四边形的面积为16，为定值．②正确．

延长到G使，连接．

∵，，，

∴，

∴．

∵，

∴，

∴．

在中，

∵，

∴．③正确．

①②③均正确，

故选A．

【点评】

此题考查的是全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定和三角形的三边关系，掌握构造全等三角形的方法是解决的关键．

6．

【解析】

【分析】

延长、交于点，连接FC，先依据全等的判定和性质得到，依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，依据平行四边形的对边相等及等量代换得到，依据三角形等边对等角得到、，依据三角形内角和得到，通过作差即得所求.

【详解】

解：延长、交于点，连接FC，

∵平行四边形中，

∴，,,

∴，，,

又∵点为边中点，得,

∴≌(ASA)，，

∴，

∴，

∴,

∴,

∵,,,,

∴,

∴,

∴,

∴,

故答案为：.

【点评】

本题考查了平行四边形的性质、全等的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形等边对等角、三角形内角和，解题的关键是构造直角三角形.

7．；

【解析】

【分析】

延长至使，连接，得出,得出，所以得出是等腰三角形，根据已知线段长度建立等量关系计算．

【详解】

如图：延长至使，连接

在和中：

∴

∴

∵

∴

∴

∵

∴

∴

∴

即

∴

【点评】

倍长中线是常见的辅助线、全等中相关的角的代换是解决本题的关键．

8．

【解析】

【分析】

延长BE交CD于点F，证，则BE=EF=BF，故再在直角三角形BCF中运用勾股定理求出BF长即可.

【详解】

解：延长BE交CD于点F,

∵AB平行CD，则∠A=∠EDC，∠ABE=∠DFE，

又E为AD上的中点，∴BE=EF,

所以.

∴

∴

在直角三角形BCF中，BF==.

∴.

【点评】

本题的关键是作辅助线，构造三角形全等，找到线段的关系，然后运用勾股定理求解.

9．30°

【解析】

【分析】

利用“中线倍长法”构造全等三角形，进而得出等腰三角形，再通过作等腰三角形的高，依据锐角三角函数可求出答案．

【详解】

解：延长CD到E，使DE＝CD，连接BE，过E点作EF⊥BC，垂足为F，

∵D是AB的中点，

∴AD＝BD，

又∵∠ADC＝∠BDE，DE＝DC，

∴△ADC≌△BDE（SAS），

∴AC＝BE，

∵CD：AC：BC＝1：2：2，

设CD＝m，则AC＝2m＝BE＝CE，

∴FC＝FB＝BC＝m，

在Rt△CEF中，cos∠FCE＝＝＝，

∴∠FCE＝30°，即∠BCD＝30°，

故答案为：30°．

【点评】

本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质以及锐角三角函数等知识，理解直角三角形的边角关系是正确计算的前提．

10．

【解析】

【分析】

延长AD到E使DE=AD=7，连接CE，作EF⊥AC于F，作CH⊥AD于H，如图，先证明△ADB≌△EDC得到EC=AB=10，再利用△AEF为等腰直角三角形计算出AF=EF=7，则根据勾股定理可计算出CF，从而得到AC=6，接着利用△ACH为等腰直角三角形得到AH=CH=6，然后利用勾股定理计算出CD，从而得到BC的长．

【详解】

延长AD到E使DE=AD=7，连接CE，作EF⊥AC于F，作CH⊥AD于H，如图，∵AD是中线，∴BD=CD．

在△ADB和△EDC中，∵，∴△ADB≌△EDC（SAS），∴EC=AB=10．

在Rt△AEF中，∵∠DAC=45°，AE=14，∴AF=EFAE=7．

在Rt△CEF中，CF，∴AC=AF﹣CF=6．

在Rt△ACH中，∵∠HAC=45°，∴AH=CHAC=6，∴DH=AD﹣AH=1．

在Rt△CDH中，CD，∴BC=2CD=．

故答案为．

【点评】

本题考查了三角形的角平分线、中线和高：熟练掌握三角形高、中线的定义；构造等腰直角三角形是解答此题的关键．

11．6

【解析】

【分析】

延长AD，过点C作于点F，证明，再根据全等三角形的性质得到．

【详解】

解：如图，延长AD，过点C作于点F，

∵AD是的中线，

∴，

∵，，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，即点C到AD的距离是6．

【点评】

本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是利用倍长中线的方法做辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质求解．

12．（1）；（2）AE2+BF2＝EF2，证明见解析

【解析】

【分析】

（1）由三角形的中位线定理得DE∥BC，DE＝BC，进而证明四边形CEDF是矩形得DE＝CF，得出CF，再根据勾股定理得结果；

（2）过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，证明△ADE≌△BDM得AE＝BM，DE＝DM，由垂直平分线的判定定理得EF＝MF，进而根据勾股定理得结论．

【详解】

解：（1）∵D是AB的中点，E是线段AC的中点，

∴DE∥BC，DE＝BC，

∵∠ACB＝90°，

∴∠DEC＝90°，

∵DF⊥DE，

∴∠EDF＝90°，

∴四边形CEDF是矩形，

∴DE＝CF＝BC，

∴CF＝BF＝1，

∵CE＝AE＝2，

∴EF＝；

（2）AE2+BF2＝EF2．

证明：过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，

则∠AED＝∠BMD，∠CBM＝∠ACB＝90°，

∵D点是AB的中点，

∴AD＝BD，

在△ADE和△BDM中，，

∴△ADE≌△BDM（AAS），

∴AE＝BM，DE＝DM，

∵DF⊥DE，

∴EF＝MF，

∵BM2+BF2＝MF2，

∴AE2+BF2＝EF2．

【点评】

本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂直平分线的判定，关键在于构造全等三角形．

13．详见解析

【解析】

【分析】

延长AD到M，使DM=AD，连接BM，根据SAS推出△BDM≌△CDA，根据全等三角形的性质得出BM=AC，∠CAD=∠M，根据BF=AC可得BF=BM，推出∠BFM=∠M，求出∠AFE=∠EAF即可．

【详解】

如图，延长至点，使得，并连结，

∵是三角形的中线，

∴，

在和中，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，即．

【点评】

本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的运用性质进行推理的能力，关键是能根据“倍长中线”法作出辅助线来构造全等三角形．

14．（1）；（2）（3）

【解析】

【分析】

（1）由同角的余角相等证得及即可得出结论；（2）先由特殊角的三角函数值求出、，再由相似比求出，并进一步得出，最后由面积公式得出与的函数关系式；（3）利用是边的中点构造三角形全等，再由勾股定理探究、、三者之间的数量关系.

【详解】

（1）.

证明：∵，，∴，，∴.∵，，∴，∴.

（2）在中，，，，∴，，.∵是边的中点，∴.在中，，，，∴，，∴.又∵，∴.由（1）得；∴，即，∴，∴，∴.

（3）.理由如下：如图2，延长，使.∴是的中点，∴.∵，∴，∴，.∵，∴，∴，则.∵，，∴，∴.

【点评】

本题以直角三角形为载体，以旋转变换为切入点考查相似三角形的判定与性质、三角形全等的判断与性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质等核心知识，渗透数形结合、运动变化、函数方程等数学思想，检测探究、推理、运算等能力.

15．（1）且．理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）

【解析】

【分析】

（1）首先根据正方形和等腰直角三角形的性质得出、、三点共线，然后利用直角三角形斜边中线的性质即可证明，然后利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得出，从而证明；

（2）延长至，使，连接交于，连接、，首先通过SAS证明，从而利用全等三角形的性质及平行线的判定证明，进而可利用正方形和等腰直角三角形的性质证明，从而可证明结论仍然成立；

（3）连接，首先根据题意确定当、、，在同一直线上时，有最小值，此时在上，然后根据平行四边形的判定及性质得出有最小值就是的长，最后利用勾股定理求解即可．

【详解】

解：（1）且．

理由如下：如图1，连接．

∵正方形和等腰，

∴，

∴、、三点共线．

∵，为的中点，，

∴．

∴，．

∴，

即，

∴．

（2）仍然成立．

理由如下：如图2，延长至，使，连接交于，连接、．

∵，，，

∴，

∴，，

∴．

∵是正方形，

∴，．

∵是等腰直角三角形，

∴，，

∴，

∴，，

∴，

∴为等腰直角三角形．

又∵，

∴且．

（3）如下图，连接，

当、、，在同一直线上时，有最小值，此时在上，

∵，，

∴四边形是平行四边形，

∴，由（2）知，

∴，

即有最小值，就是的长，

由勾股定理得．

【点评】

本题主要考查四边形综合，掌握平行四边形的判定及性质，等腰三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键．