中考数学二轮专项复习——解直角三角形(含解析)

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备战2020中考数学二轮专项复习——解直角三角形1．（资阳中考 第22题11分）如图，南海某海域有两艘外国渔船A、B在小岛C的正南方向同一处捕鱼．一段时间后，渔船B沿北偏东30°的方向航行至小岛C的正东方向20海里处．（1）求渔船B航行的距离；（2）此时，在D处巡逻的中国渔政船同时发现了这两艘渔船，其中B渔船在点D的南偏西60°方向，A渔船在点D的西南方向，我渔政船要求这两艘渔船迅速离开中国海域．请分别求出中国渔政船此时到这两艘外国渔船的距离．（注：结果保留根号） 2．（宜宾 第21题 8分）如图，为了测得某建筑物的高度AB，在C处用高为1米的测角仪CF，测得该建筑物顶端A的仰角为45°，再向建筑物方向前进40米，又测得该建筑物顶端A的仰角为60°．求该建筑物的高度AB．（结果保留根号）   3．（眉山 第22题8分）如图，在岷江的右岸边有一高楼AB，左岸边有一坡度i=1∶2的山坡CF，点C与点B在同一水平面上，CF与AB在同一平面内.某数学兴趣小组为了测量楼AB的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为450，然后沿坡面CF上行了20米到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为300，求楼AB的高度.          4．（遂宁中考 第21题 9分）汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm，斜坡AB的坡度i＝1：1；加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡EF的坡度i＝1：，问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号）     5．在某校组织的“交通安全宣传教育月”活动中，八年级数学兴趣小组的同学进行了如下的课外实践活动．具体内容如下：在一段笔直的公路上选取两点A、B，在公路另一侧的开阔地带选取一观测点C，在C处测得点A位于C点的南偏西45°方向，且距离为100米，又测得点B位于C点的南偏东60°方向．已知该路段为乡村公路，限速为60千米/时，兴趣小组在观察中测得一辆小轿车经过该路段用时13秒，请你帮助他们算一算，这辆小车是否超速？(参考数据：≈1.41，≈1.73，计算结果保留两位小数)         6．小宇想测量位于池塘两端的A、B两点间的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF＝45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF＝60°.若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．             7．为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260 mm～300 mm含(300 mm)，高度的范围是120 mm～150 mm(含150 mm)．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB＝CD，AC＝900 mm，∠ACD＝65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．(结果精确到1 mm，参考数据：sin 65°≈0.906，cos 65°≈0.423)，      8.某挖掘机的底座高米，动臂米，米，与的固定夹角∠=140°．初始位置如图 1,斗杆顶点 与铲斗顶点 所在直线 垂直地面于点，测得∠=70°(示意图 2)．工作时如图 3，动臂 会绕点 转动，当点 ，，在同一直线时，斗杆顶点 升至最高点(示意图 4)．
    (1)求挖掘机在初始位置时动臂与的夹角∠ 的度数．
    (2)问斗杆顶点 的最高点比初始位置高了多少米(精确到 0.1米)?
   （考数据：，，，，）
                        参考答案1．（资阳中考 第22题11分）如图，南海某海域有两艘外国渔船A、B在小岛C的正南方向同一处捕鱼．一段时间后，渔船B沿北偏东30°的方向航行至小岛C的正东方向20海里处．（1）求渔船B航行的距离；（2）此时，在D处巡逻的中国渔政船同时发现了这两艘渔船，其中B渔船在点D的南偏西60°方向，A渔船在点D的西南方向，我渔政船要求这两艘渔船迅速离开中国海域．请分别求出中国渔政船此时到这两艘外国渔船的距离．（注：结果保留根号）【解析】（1）由题意得，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，BC＝20，∴AB＝2BC＝40海里，答：渔船B航行的距离是40海里；（2）过B作BE⊥AE于E，过D作DH⊥AE于H，延长CB交DH于G，则四边形AEBC和四边形BEHG是矩形，∴BE＝GH＝AC＝20，AE＝BC＝20，设BG＝EH＝x，∴AH＝x+20，由题意得，∠BDG＝60°，∠ADH＝45°，∴x，DH＝AH，∴20+x＝x+20，解得：x＝20，∴BG＝20，AH＝20+20，∴BD＝＝40，AD＝AH＝20+20，答：中国渔政船此时到外国渔船B的距离是40海里，到外国渔船A的距离是（20+20）海里．2．（宜宾 第21题 8分）如图，为了测得某建筑物的高度AB，在C处用高为1米的测角仪CF，测得该建筑物顶端A的仰角为45°，再向建筑物方向前进40米，又测得该建筑物顶端A的仰角为60°．求该建筑物的高度AB．（结果保留根号）【解析】设AM＝x米，在Rt△AFM中，∠AFM＝45°，∴FM＝AM＝x，在Rt△AEM中，tan∠AEM＝，则EM＝＝x，由题意得，FM﹣EM＝EF，即x﹣x＝40，解得，x＝60+20，∴AB＝AM+MB＝61+20，答：该建筑物的高度AB为（61+20）米．3．（眉山 第22题8分）如图，在岷江的右岸边有一高楼AB，左岸边有一坡度i=1∶2的山坡CF，点C与点B在同一水平面上，CF与AB在同一平面内.某数学兴趣小组为了测量楼AB的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为450，然后沿坡面CF上行了20米到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为300，求楼AB的高度.          【解析】在Rt△DEC中，∵i＝DE∶EC＝1∶2, 且DE2+EC2＝DC2，       ∴  DE2+（2 DE）2＝（20）2，   解得：DE＝20m，EC＝40m , ………………2分 过点D作DG⊥AB于点G，过点C作CH⊥DG于点H,   ………………………………………3分则四边形DEBG、DECH、BCHG都是矩形∵∠ACB＝450,  AB⊥BC,  ∴AB＝BC,   ……………………………………………………4分设AB＝BC＝xm，则AG＝(x－20)m，DG＝(x+40)m，在Rt△ADG中， ∵＝tan∠ADG,∴＝,     解得：x＝50+30.……………………………………………………7分答：楼AB的高度为（50+30）米       ……………………………………………………8分 4．（遂宁中考 第21题 9分）汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm，斜坡AB的坡度i＝1：1；加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡EF的坡度i＝1：，问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号）【解答】解：过A 作AH⊥BC于H，过E作EH⊥BC于G，则四边形EGHA是矩形，∴EG＝AH，GH＝AE＝2，∵AB＝30×30＝900cm＝9米，∵斜坡AB的坡度i＝1：1，∴AH＝BH＝，∴BG＝BH﹣HG＝，∵斜坡EF的坡度i＝1：，∴FG＝，∴BF＝FG﹣BG＝﹣，∴S梯形ABFE＝（2+﹣）×＝，∴共需土石为×200＝50（81﹣81+36）立方米． 5．在某校组织的“交通安全宣传教育月”活动中，八年级数学兴趣小组的同学进行了如下的课外实践活动．具体内容如下：在一段笔直的公路上选取两点A、B，在公路另一侧的开阔地带选取一观测点C，在C处测得点A位于C点的南偏西45°方向，且距离为100米，又测得点B位于C点的南偏东60°方向．已知该路段为乡村公路，限速为60千米/时，兴趣小组在观察中测得一辆小轿车经过该路段用时13秒，请你帮助他们算一算，这辆小车是否超速？(参考数据：≈1.41，≈1.73，计算结果保留两位小数)【解析】 如图，作CD⊥AB于点D．∵在Rt△ADC中，∠ACD＝45°，AC＝100，∴CD＝AC·cos ∠ACD＝AC＝100，∴AD＝CD＝100.∵在Rt△CDB中，∠BCD＝60°，∴∠CBD＝30°，∴BD＝CD＝100.∴AB＝AD＋BD＝100＋100＝100(＋1)≈273.又∵小轿车经过AB路段用时13秒，∴小轿车的速度为＝21米/秒．而该路段限速为60千米/时≈16.67米/秒，∵21＞16.67，∴这辆小轿车超速了． 6．小宇想测量位于池塘两端的A、B两点间的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF＝45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF＝60°.若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．【解析】 作AM⊥EF于点M，作BN⊥EF于点N，如图所示，由题意可得，AM＝BN＝60米，CD＝100米，∠ACF＝45°，∠BDF＝60°，∴CM＝＝＝60米，DN＝＝＝20米，∴AB＝CD＋DN－CM＝100＋20－60＝(40＋20)米，即A、B两点间的距离是(40＋20)米． 7．为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260 mm～300 mm含(300 mm)，高度的范围是120 mm～150 mm(含150 mm)．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB＝CD，AC＝900 mm，∠ACD＝65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．(结果精确到1 mm，参考数据：sin 65°≈0.906，cos 65°≈0.423)，【解析】 连接BD，作DM⊥AB于点M，∵AB＝CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，∴AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠C＝∠ABD，AC＝BD，∵∠C＝65°，AC＝900，∴∠ABD＝65°，BD＝900，∴BM＝BD·cos 65°≈900×0.423≈381，DM＝BD·sin 65°≈900×0.906≈815，∵381÷3＝127,120<127<150，∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，∵815÷3≈272,260<272<300，∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定． 8.某挖掘机的底座高米，动臂米，米，与的固定夹角∠=140°．初始位置如图 1,斗杆顶点 与铲斗顶点 所在直线 垂直地面于点，测得∠=70°(示意图 2)．工作时如图 3，动臂 会绕点 转动，当点 ，，在同一直线时，斗杆顶点 升至最高点(示意图 4)．
    (1)求挖掘机在初始位置时动臂与的夹角∠ 的度数．
    (2)问斗杆顶点 的最高点比初始位置高了多少米(精确到 0.1米)?
   （考数据：，，，，）
           8.