广东省云浮市罗定中学城东学校2022-2023学年高一下学期6月月考数学试题及答案

罗定中学城东学校2022-2023学年高一下学期6月考试题

数学科

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1． 已知，则在复平面内，复数对应的点位于（    ）

A. 第一象限  B. 第二象限      C. 第三象限 D. 第四象限

2．已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

3．在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则的形状（    ）

A. 锐角三角形  B. 直角三角形   C. 钝角三角形     D. 不能确定

4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（    ）

A 若，，则 B. 若，，则

C. 若，，则 D. 若，，则

5．端午节是我国传统节日，甲，乙，丙3人端午节来广州旅游的概率分别是，，，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人来广州旅游的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

6．某校高一年级1000名学生在一次考试中成绩的频率分布直方图如图所示，现用分层抽样的方法从成绩40~70分的同学中共抽取80名同学，则抽取成绩50~60分的人数是（    ）

1. 20 B. 30

C. 40 D. 50

7．在△中，，E是上一点．若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

8．在三棱锥中，平面，且，若球在三棱锥的内部且与四个面都相切（称球为三棱锥的内切球），则球的表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列有关复数的说法正确的是（    ）

A. 若复数，则 B. 若，则是纯虚数

C. 若是复数，则一定有 D. 若，则

10．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，下列结论中正确的是（    ）

A. 该试验样本空间共有个样本点 B.

C. 与为互斥事件 D. 与为相互独立事件

11．下列命题中是真命题的是（    ）

A. 在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD是菱形

B. 若点G为的外心，则

C. 向量，能作为平面内的一组基底

D. 若O为△所在平面内任一点，且满足，则△为等腰三角形

12．在正方体中，点是线段上一动点，则下列各选项正确的是（    ）

A.

B. 平面

C. 直线与平面所成角随长度变化先变小再变大

D. 存在点使得过有条直线分别与和所成角大小为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.从2，3，4，5四个数中任取两个数，则两个数相差为2的概率是______.

14.甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的12场比赛中的得分情况如下：

甲：12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49；

乙：8， 13，14，16，23，26，28，29，31，38，39，51．

则运动员甲得分的25百分位数与运动员乙得分的80百分位数的和为______．

15. 设平面向量、满足，，，则在方向上的投影向量为_______

16. 已知中，，若，则周长的最大值为__________.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知向量，满足，，且

（1）求

（2）记向量与向量的夹角为，求

18．农科院的专家为了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况，从种植有甲、乙两种麦苗的两块试验田中分别抽取了6株麦田测量株高，得到数据如下（单位：cm）：

（1）假定株高不低于12.0cm为长势良好，利用频率估计概率，估计甲、乙两种麦苗至少有一种长势良好的概率；

（2）试从平均数和方差的角度，分析甲、乙两种麦苗的长势情况．

19.在锐角中，，，分别是角，，的对边，满足．

（1）求角的值；

（2）若，求的取值范围．

20．新课标设置后，特别强调了要增加对数学文化的考查，某市高二年级期末考试特命制了一套与数学文化有关的期末模拟试卷，试卷满分150分，并对整个高二年级的学生进行了测试．现从这些学生中随机抽取了100名学生的成绩，技照成绩为，，…，分成了6组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于90分）．

（1）求频率分布直方图中的x的值，并估计所抽取的100名学生成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

（2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩位于的两组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加这次考试的考情分析会，试求这组中至少有1人被抽到的概率．

21.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，平面平面，，，为的中点．

(1)求证：；

(2)求二面角的正切值．

22．已知，，与的夹角为，函数．

（1）求函数最小正周期；

（2）若锐角中，角，，的对边分别为，，，且（A），求的取值范围．

罗定中学城东学校2022-2023学年高一下学期6月考试题

数学科

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1． 已知，则在复平面内，复数对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限       D. 第四象限

【答案】C

【解析】，所以复数对应的点坐标为，位于第三象限.

故选：C

2．已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为，

由 ，则，

则圆锥的体积为 .

故选：A

3．在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则的形状（    ）

A. 锐角三角形  B. 直角三角形   C. 钝角三角形 D. 不能确定

【答案】B

【解析】因为，，

所以，整理得，

所以三角形的形状是直角三角形.

故选：B

4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（    ）

A 若，，则 B. 若，，则

C. 若，，则 D. 若，，则

【答案】B

【解析】对于A选项，若，，则或异面，故A选项错误；

对于B选项，若，，则，故B选项正确；

对于C选项，若，，则或或相交，故C选项错误；

对于D选项，若，，则或，故D选项错误；

故选：B

5．端午节是我国传统节日，甲，乙，丙3人端午节来徐州旅游的概率分别是，，，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】由题意可得3人中没有人来徐州旅游的概率为，

所以这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为：.

故选：D.

6．某校高一年级1000名学生在一次考试中成绩的频率分布直方图如图所示，现用分层抽样的方法从成绩40~70分的同学中共抽取80名同学，则抽取成绩50~60分的人数是（    ）

A. 20 B. 30 C. 40 D. 50

【答案】B

【解析】从频率分布直方图可以看出三个分数段的的同学的频率之比为，

所以抽取成绩50~60分的人数为，

故选：B

7．在△中，，E是上一点．若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】如图所示，设，

则，

又∵，∴，∴，

故选：．

8．在三棱锥中，平面，且，若球在三棱锥的内部且与四个面都相切（称球为三棱锥的内切球），则球的表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】因为平面，平面，平面，平面，

所以，，，

又，

所以平面，所以，

所以均为直角三角形，

设球的半径为r，则，

而，，

所以，解得，

所以球的表面积为，

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列有关复数的说法正确的是（    ）

A. 若复数，则 B. 若，则是纯虚数

C. 若是复数，则一定有 D. 若，则

【答案】AD

【解析】A：令，则，若，即有，故，正确；

B：当时，，而不是纯虚数，错误；

C：当，则，而，显然不成立，错误；

D：令，，则，故，

又，，则，

所以，正确.

故选：AD

10．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，下列结论中正确的是（    ）

A. 该试验样本空间共有个样本点 B.

C. 与为互斥事件 D. 与为相互独立事件

【答案】ABD

【解析】对于A：试验的样本空间为：正，正，正，反，反，正，反，反，共个样本点，故A正确

对于B：由题可知正，正，正，反，正，反，反，反，

显然事件，事件都含有“正，反这一结果，故，故B正确；

对于C：事件，事件能同时发生，因此事件不互斥，故C不正确；

对于D：，，，所以，故D正确．

故选：ABD.

11．下列命题中是真命题的是（    ）

A. 在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD是菱形

B. 若点G为的外心，则

C. 向量，能作为平面内的一组基底

D. 若O为△所在平面内任一点，且满足，则△为等腰三角形

【答案】AD

【解析】A：四边形ABCD中，由知：线段、平行且相等，由知：对角线相互垂直，即ABCD是菱形，真命题；

B：以钝角△外心为例，显然若点G为外心时，，假命题；

C：由已知有，显然共线，所以不能作为平面内的一组基底，假命题；

D： ，，若为中点，则，由有，所以垂直平分，即，故△为等腰三角形.

故选：AD.

12．在正方体中，点是线段上一动点，则下列各选项正确的是（    ）

A.

B. 平面

C. 直线与平面所成角随长度变化先变小再变大

D. 存在点使得过有条直线分别与和所成角大小为

【答案】AB

【解析】对于A：连接，

由正方体的性质可得：

，平面

平面，，故A正确；

对于B：连接

易证：

平面

平面

平面平面

平面，平面，故B正确；

对于C：连接，平面

即为直线与平面所成角，

当从移动至的过程中，增大，先变小再变大，即先变大再变小，故C错误；

对于：，

与成角直线与也成，

当在或时，，

故过点的直线中，有条分别与和所成角大小为，即过有条直线分别与和所成角大小为，故D错误．

故选：AB.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.从2，3，4，5四个数中任取两个数，则两个数相差为2的概率是______.

【答案】

【解析】从2，3，4，5四个数中任取两个数，所有可能结果有、、、、、共个结果；

满足两个数相差为2的有、共个结果；

所以两个数相差为2的概率；

故答案为：

14.甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的12场比赛中的得分情况如下：

甲：12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49；

乙：8，13，14，16，23，26，28，29，31，38，39，51．

则运动员甲得分的25百分位数与运动员乙得分的80百分位数的和为______．

【答案】60.5

【解析】因为，故运动员甲得分的25百分位数为从小到大排列的第3和4个数的平均数，为；

又，所以运动员乙得分的80百分位数为从小到大排列的第10个数，为，所以

故答案为：60.5

15.设平面向量、满足，，，则在方向上的投影向量为_______

【答案】

【解析】因为，，，则，

所以，，

所以，在方向上的投影向量为，

故答案为：

16．已知中，，若，则周长的最大值为__________.

【答案】

【解析】由正弦定理可得：，

∴，

∵，

∴.

由余弦定理得：，

即.

∵（当且仅当时取等号），

∴，

解得：（当且仅当时取等号），

∴周长，

∴周长的最大值为.

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知向量，满足，，且

（1）求

（2）记向量与向量的夹角为，求

【答案】（1）；    （2）.

【解析】（1），

解得，

则，

故.

（2）因为，

所以.

18．农科院的专家为了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况，从种植有甲、乙两种麦苗的两块试验田中分别抽取了6株麦田测量株高，得到数据如下（单位：cm）：

（1）假定株高不低于12.0cm为长势良好，利用频率估计概率，估计甲、乙两种麦苗至少有一种长势良好的概率；

（2）试从平均数和方差的角度，分析甲、乙两种麦苗的长势情况．

【答案】（1）   

（2）甲、乙的平均株高相等，甲种麦苗的长势更加均衡．

【解析】（1）由题知，甲、乙两种麦苗长势良好的频率分别为，，

设“甲、乙两种麦苗至少有一种长势良好“为事件A，

则．

（2）甲的平均数为，乙的平均数为．

所以甲、乙的平均株高相等．

甲的方差为．

乙方差为．

因为，

所以甲种麦苗的长势更加均衡．

19．新课标设置后，特别强调了要增加对数学文化的考查，某市高二年级期末考试特命制了一套与数学文化有关的期末模拟试卷，试卷满分150分，并对整个高二年级的学生进行了测试．现从这些学生中随机抽取了100名学生的成绩，技照成绩为，，…，分成了6组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于90分）．

（1）求频率分布直方图中的x的值，并估计所抽取的100名学生成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

（2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩位于的两组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加这次考试的考情分析会，试求这组中至少有1人被抽到的概率．

【答案】（1），平均分为；    （2）

【解析】（1）

由频率分布直方图，，，

平均分为；

（2）由频率分布直方图得出成绩位于和上的人数比为，

抽取的6人中成绩位于上的有4人，编号为1，2，3，4，位于上的有2人，编号为，

从这6人中任取2人的基本事件有：共15个，其中这组中至少有1人被抽到的基本事件有共9个，所以所求概率为．

20．（12分）在锐角中，，，分别是角，，的对边，满足．

（1）求角的值；

（2）若，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）因为，所以，化简得，

所以，所以；

（2）由（1）知角，，由正弦定理得：，所以，，

所以

，

锐角中，，，

所以，

所以，

所以，

所以，

即的取值范围为．

21.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，平面平面，，，为的中点．

(1)求证：；

(2)求二面角的正切值．

【答案】(1)证明见解析；(2).

(1)证明：过在平面内作，垂足为点，

平面平面，平面平面，平面，

平面，

平面，则，

平面，平面，，

，平面，平面，.

(2)解：过点在平面内作，垂足为点，连接，

由（1）知平面，平面，，

，，所以，平面，

因为平面，所以，，

所以，为二面角的平面角，

平面，平面，，

，，则，

为的中点，所以，，

由，

，因此，二面角的正切值为.

22．（12分）已知，，与的夹角为，函数．

（1）求函数最小正周期；

（2）若锐角中，角，，的对边分别为，，，且（A），求的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）由于，，

所以，

函数；

所以函数的最小正周期为．

（2）由于（A），即；

由于该三角形为锐角三角形，

所以，

所以；

故，

由于，所以，

故，

所以；

故，

故．