2024届江苏省南通市高三上学期百校联考开学定位数学试题含答案

2024届江苏省南通市高三上学期百校联考开学定位数学试题

一、单选题

1．若集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据分式不等式和二次不等式求解方法求得再求即可

【详解】由题，即且，解得或，又即，解得或，故，故

故选：C

2．已知某扇形的面积为3，则该扇形的周长最小值为（    ）

A．2 B．4 C． D．

【答案】D

【分析】设扇形的弧长为，半径为，由题意可知，再利用基本不等式，即可求出扇形的周长最小值.

【详解】设扇形的弧长为，半径为，

所以扇形的面积为，所以，

又扇形的周长为，所以，当且仅当，即时，取等号.

故选：D.

3．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分必要条件的定义判断，对中､情况进行分析即可.

【详解】解：若满足，

若，不一定满足，例如，.

∴“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

4．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由三角恒等变换相关公式，进行变换判断充分性和必要性.

【详解】充分性：若，则，即，

所以，所以，故，充分性不成立；

必要性：若，则，解得，

所以，必要性成立；

故“”是“”的必要不充分条件．

故选：B.

5．已知，，则（    ）

A． B． C．2 D．－2

【答案】B

【分析】根据同角关系可得，由正切的二倍角公式以及诱导公式即可求解.

【详解】因为所以由得，因此，

由二倍角公式可得

，

故选：B

6．已知实系数一元二次方程，在下列各结论中正确的是（    ）

①是这个方程有实根的充分条件；

②是这个方程有实根的必要条件；

③是这个方程有实根的充要条件；

④是这个方程有实根的充分条件．

A．③ B．①② C．①②③ D．①②③④

【答案】D

【分析】根据充分条件、必要条件以及充要条件的定理逐个判断可得答案.

【详解】等价于，

由可以推出有实根，故①正确；

由有实根可以推出，故②正确；

由①和②都正确，说明③正确；

由可以推出有实根，故④正确.

故选：D

7．若函数的值域为，则的取值范围是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题意，根据复合函数的值域得函数的最小值要小于等于，进而结合二次函数性质求解即可．

【详解】解：由题意：函数是一个复合函数，要使值域为，

则函数的值域要包括，即最小值要小于等于．

当时，显然不成立，

所以，当时，则有，解得，

所以的取值范围是.

故选：B．

8．若某线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解的个数为（    ）

A．0个 B．1个 C．无数个 D．不确定

【答案】C

【解析】将线性方程组转化为方程，即可判断解的个数.

【详解】该线性方程组可化为方程，故有无数组解，

故选：C.

二、多选题

9．（多选题）下面结论错误的是（   ）

A．不等式与成立的条件是相同的.

B．函数的最小值是2

C．函数，的最小值是4

D．“且”是“”的充分条件

【答案】ABC

【分析】在应用基本不等式的时候要注意基本不等式的成立条件.

【详解】不等式成立的条件是；成立的条件是，A错；

由于，故函数无最小值，B错；

由于时无解，故的最小值不为4，C错；

当且时，，，

由基本不等式可得，当且仅当时等号成立；

而“”的充要条件是“”，

因为且推不出且，所以D正确.

故答案为：ABC

10．已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为、，图象在轴上的截距为．则下列结论正确的是（    ）

A．的最小正周期为

B．的最大值为2

C．在区间上单调递增

D．为偶函数

【答案】BC

【解析】由周期求，由五点法作图求出的值，由特殊点的坐标求出A，再利用三角函数的图象和性质，得出结论．

【详解】由图知，的最小正周期，则.

由，得.由，得，则，所以.

当时，，则单调递增.

因为，则不是偶函数，

故选：BC．

【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，解题的关键是会根据图象求解析式.

11．已知，则下列说法中正确的有（    ）

A．的零点个数为4 B．的极值点个数为3

C．轴为曲线的切线 D．若则

【答案】BCD

【分析】利用导函数研究函数的大致图像判断ABC，利用对称性判断D即可.

【详解】由题意，

令，得到．

分别画出和的图像，如图所示：

由图知：有三个解，即有三个解，分别为．

所以为增函数，

为减函数，

为增函数，

为减函数．

所以当时，取得极大值为0，当时，取得极小值为，

当时，取得极大值为0，

所以函数有两个零点，三个极值点，A错误，B正确．

因为函数的极大值为0，所以轴为曲线的切线，故C正确；

因为，

所以若则，D正确；

故选：BCD

12．下列计算或化简结果正确的是（    ）

A．

B．若，则

C．若，则

D．若为第一象限角，则

【答案】ABD

【分析】对于A、B选项：将代入化简求值即可，验证是否正确；

对于C选项：将分子分母同除以，再将代入化简，验证是否正确；

对于D选项：先判断的正负，然后化简，验证是否正确；

【详解】对于A选项：，故A选项正确；

对于B选项：，，故B选项正确；

对于C选项：，则,故C选项不正确；

对于D选项：为第一象限角，,,故D选项正确；

故选:ABD

三、填空题

13．设，若，则的取值范围是  ．

【答案】

【分析】根据同角同角三角函数的基本关系和正余弦函数图象的性质即可求解.

【详解】因为，

所以，又因为，所以的取值范围是．

故答案为: .

14．已知数列满足，，则的值为      ．

【答案】96

【分析】根据给定条件，求出数列的通项公式即可计算作答.

【详解】依题意，是首项，公差为1的等差数列，则有，

当时，，显然不满足上式，

所以.

故答案为：96

15．已知函数，满足对恒成立的的最小值为，且对任意x均有恒成立.则下列结论正确的有           .

①函数的图像关于点对称：

②函数在区间上单调递减；

③函数在上的值域为

④表达式可改写为：

⑤若x1，x2为函数的两个零点，则为的整数倍.

【答案】②④

【分析】本题通过的最小值求得三角函数的最小正周期，求出，根据求出即可得到函数的解析式，即可得到函数关于点的对称，单调递减区间，求导后的值域，根据三角恒等变换后的改写式子，以及两个零点横坐标差的绝对值.

【详解】解：由题意，

在中，

恒成立的的最小值为，

得，

解得：，

∴最小正周期，

∴，

解得：，

∴，

∵对任意x均有恒成立，

∴函数关于直线对称，

∴，

解得：，

∵，

∴，

∴，

∴当时，，不关于点对称，故①错误.

在中，函数在上单调递减，

∴在中，

当即时，函数单调递减，

∴函数在区间上单调递减，故②正确.

在中，，

当时，，此时，故③错误.

在中，最小正周期，

，

∴，

故④正确.

在中，恒成立的的最小值为，且对任意x均有恒成立

∴函数关于直线对称

∵最小正周期，

∴不为的整数倍，故⑤错误.

故答案为：②④.

四、双空题

16．已知函数，则的零点为           ，若，且，则的取值范围是          ．

【答案】         

【分析】根据分段函数以及零点的定义，令即可解得函数的零点；由可知在1的左右两侧，分别代入计算得出的关系式，将消元之后构造函数即可求得其取值范围.

【详解】令，

即，解得不合题意，舍去；

或，解得，符合题意；

所以，函数的零点为.

由，且可知，

当时，,不合题意；

当时，，不合题意；

所以，分别属于两个区间，不妨取，

则，即；

所以，

则，

令，所以

令，得，

当时，，即函数在上为单调递减；

当时，，即函数在上为单调递增；

所以函数在时取最小值，

即，即

所以的取值范围是.

故答案为： ；

【点睛】方法点睛：本题在求解的取值范围时首先应确定两个变量的取值范围，根据等量关系将双变量问题消元，转换成单变量问题后构造函数，利用自变量取值范围即可求得结果.

五、解答题

17．已知数列为等差数列，且；设数列的前项和为，且.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若为数列的前项和，求

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【分析】（Ⅰ）由已知等式可推出的首项和公比，从而可得到通项公式；

（Ⅱ）写出数列的通项公式及前n项的和的公式，可用倍乘相减法求出数列前n项的和.

【详解】解:（Ⅰ）由又则又所以

当时，由可得即，所以是以为首项，为公比的等比数列，于是

（Ⅱ）由题易知数列为等差数列，公差，可得，

从而，

∴，

∴，

=.

从而.

18．已知函数，记函数的最小正周期为，向量，，，且．

(1)求在区间上的最值；

(2)求的值．

【答案】(1)最大值是4，最小值是2

(2)

【分析】（1）把函数化为一个角的一个三角函数形式，再利用正弦函数性质得最值；

（2）由三角函数周期求出，再由平面向量数量积的坐标运算公式求出，化简待求式得，最后由同角关系式可得结论．

【详解】（1），

∵，∴，

∴当，即时，取最大值4；当，即时，取最小值2．

（2）∵，故，

∴，

∴，又.

∴

19．已知正项数列的前项和为，且．数列满足，为数列的前项和．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和；

（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；

【答案】（1）；（2）；（3）．

【分析】（1）利用与的关系作差可知数列为等差数列与公差，即可求得通项公式；

（2）由（1）表示数列的通项公式，由裂项相消法求和即可；

（3）分类讨论为偶数与奇数时转化不等式，再由基本不等式与函数的单调性求最值，最后由不等式恒成立问题转化求参数取值范围即可．

【详解】解：（1）当时，；

当时，因为，，所以，

两式相减得，

所以，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，

所以．

（2）由题意和（1）得：，

所以数列前项和．

（3）①当为偶数时，要使不等式恒成立，即不等式恒成立，即需不等式恒成立．

∵，等号在时取得．

此时需满足．

②当为奇数时，要使不等式恒成立，即不等式恒成立，即需不等式恒成立．

∵是随的增大而增大，

∴时，取得最小值．

此时需满足．

综合①、②可得的取值范围是．

【点睛】本题考查由与的关系求等差数列的通项公式，由裂项相消法求前n项和，还考查了数列中由不等式恒成立求参数取值范围，属于较难题.

20．已知两地的距离是100 km．根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在 km/h，油价为8元/L．假设汽车以x km/h的速度行驶时，耗油率为 L/h，司机的人工费为40元/h．

(1)请将总费用表示为车速x的函数；

(2)试确定x的值，使总费用最小．

【答案】(1)（）

(2)

【分析】（1）根据题中给出的车速和油耗之间的关系式，结合已知条件，即可表示出汽车的总费用；

（2）对求导，讨论与的大小，即可得出的单调性，进而得出答案.

【详解】（1）汽车的运行时间为 h．

汽车的油耗费用为元．

汽车的总费用为元（）．

（2）函数的导函数为，

令，解得．

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增．

故当时，总费用最小．

21．某种型号轮船每小时的运输成本（单位：元）由可变部分和固定部分组成．其中，可变部分成本与航行速度的立方成正比，且当速度为时，其可变部分成本为每小时8元；固定部分成本为每小时128元．

(1)设该轮船航行速度为，试将其每小时的运输成本表示为的函数；

(2)当该轮船的航行速度为多少时，其每千米的运输成本（单位：元）最低？

【答案】(1)，其中；

(2).

【分析】（1）设每小时的可变成本为，根据可变部分成本与航行速度的立方成正比可求，从而可求每小时的运输成本；

（2）该轮船每千米的运输成本，利用导数求其单调性即可.

【详解】（1）设该轮船航行速度为时，其每小时的可变成本为（单位：元），

则，其中．          

由题意，得，解得，故．          

所以每小时的运输成本，其中．

（2）该轮船每千米的运输成本，          

求导，得，其中．          

令，解得．          

由，解得；故在区间上单调递增；

由，解得；故在区间上单调递减．          

所以当时，取得最小值．

故当该轮船的航行速度为时，其每千米的运输成本最低，且为9.6元．

22．已知函数，.

（1）若，其中是函数的导函数，试讨论的单调性；

（2）证明：当时，.

【答案】（1）当时，在上单调递增；当时在单调递增，在单调递减，（2）证明见解析；

【分析】（1）先计算可得表达式，再计算，分别讨论和解不等式和即可求解；

（2）当时，，设，利用导数研究的单调性和最小值，证明即可.

【详解】（1）的定义域为，，

，，

当时，恒成立，此时在上单调递增；

当时，即可得，所以，

由即可得，所以，

所以当时在单调递增，在单调递减，

综上所述：当时，在上单调递增；

当时在单调递增，在单调递减，

（2）当时，，

设，则，

令，则，

所以在上单调递增；且，

所以时，即，此时单调递减，

当时，即，此时单调递增，

所以在上单调递减，在单调递增，

所以，

所以对于恒成立，

所以.

【点睛】方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法：

（1）确定函数的定义域；求导函数，由（或）解出相应的的范围，对应的区间为的增区间（或减区间）；

（2）确定函数的定义域；求导函数，解方程，利用的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论的正负，由符号确定在子区间上的单调性.