2024届江苏省南通市徐州市高三2月大联考模拟预测数学试题及答案

这是一份2024届江苏省南通市徐州市高三2月大联考模拟预测数学试题及答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知集合，，则下列关系一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知数列是公差为d的等差数列，对正整数m，n，p，若，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件D．充要条件
3．已知复数z满足（其中i为虚数单位），且z的虚部为，则（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，高速服务区停车场某片区有A至H共8个停车位每个车位只停一辆车，有2辆黑色车和2辆白色车要在该停车场停车，则两辆黑色车停在同一列的条件下，两辆白色车也停在同一列的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，已知二面角的平面角为，棱上有不同两点，，，，．若，则过四点的球的表面积为（ ）

A．B．C．D．
6．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知为椭圆与双曲线公共的焦点，且在第一象限内的交点为P，若的离心率满足，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知定义在上的函数，对任意正数x，y满足，且当时，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．在方向上的投影向量为
C．若，则
D．若，则
10．已知随机变量服从正态分布，定义函数为取值不小于的概率，即，则（ ）
A．B．
C．为减函数D．为偶函数
三、单选题
11．已知点在曲线上运动，过作以为圆心，1为半径的圆的两条切线，则的值可能是（ ）
A．B．C．4D．5
四、填空题
12．已知展开式中常数项为280，则 .
13．已知函数的部分图象如图中实线所示，圆C与图象交于M，N两点，且M在y轴上，则圆C的半径为 .

14．已知有两个极值点，则实数的取值范围为 ．
五、解答题
15．已知正项数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
16．如图，在三棱柱中，在底面ABC上的射影为线段BC的中点，M为线段的中点，且，.
(1)求三棱锥的体积；
(2)求MC与平面所成角的正弦值.
17．某学校有甲，乙两个餐厅，经统计发现，前一天选择餐厅甲就餐第二天仍选择餐厅甲就餐的概率为，第二天选择餐厅乙就餐的概率为；前一天选择餐厅乙就餐第二天仍选择餐厅乙就餐的概率为，第二天选择餐厅甲就餐的概率为．若学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是，选择餐厅乙就餐的概率是，记某同学第天选择餐厅甲就餐的概率为．
(1)记某班3位同学第二天选择餐厅甲的人数为，求随机变量的分布列及期望；
(2)学校为缓解就餐压力，决定每天从各年级抽调21人到甲乙两个餐厅参加志愿服务，请求出的通项公式，根据以上数据合理分配甲，乙两个餐厅志愿者人数，并说明理由．
18．已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且垂直于轴．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线斜率存在，交椭圆于两点，三点不共线，且直线和直线关于对称．
（ⅰ）证明：直线过定点；
（ⅱ）求面积的最大值．
19．已知函数，其中，为自然对数的底数．
(1)函数，求的最小值；
(2)若为函数的两个零点，证明：．
A
B
C
D
E
F
G
H
参考答案：
1．C
【分析】由并集运算和集合的包含关系，分析集合B中的元素，结合选项即可判断.
【详解】因为集合，，
则集合B一定含有2，3，可能含有0，1，
对比选项可知，只有C正确.
故选：C.
2．D
【分析】利用等差数列的性质和通项公式，结合充分、必要条件的定义即可判断.
【详解】因为数列是公差为d的等差数列，若，等价于，
等价于，等价于，
所以是的充要条件.
故选：D.
3．B
【分析】利用复数的模的运算法则、求得，由复数的模计算公式，即可计算答案.
【详解】由，有，即，
由的虚部为，设，则有，
解得，则.
故选：B
4．A
【分析】设事件“两辆黑色车停在同一列”，事件“两辆白色车停在同一列”，根据条件概率公式，即可求解.
【详解】设事件“两辆黑色车停在同一列”，事件“两辆白色车停在同一列”，
则所求概率为，
因为，，
所以，
故选：A
5．B
【分析】根据垂直关系可得是二面角的一个平面角，过作平面的垂线和平面的垂线，得交点为外接球球心，利用勾股定理即可求出,由表面积公式即可求解.
【详解】因为二面角的大小为，
如图，所以平面与平面所成角的大小为，
取的中点，的中点，，为，的外心，
取的中点，连接，，则，，
所以是二面角的一个平面角，则，
过作平面的垂线和过作平面的垂线，交于点，即为外接球球心，
所以平面，平面，连接，，
所以易证得：△与△全等，所以，
所以在直角三角形，
，
则过、、、四点的球的表面积为，故B正确．
故选：B．

6．A
【分析】利用已知结合同角的三角函数关系化简求得，再由同角三角函数基本关系即可求解.
【详解】因为，
，且，则或，
由，得，
即，解得，
则，则，
又，，故，
解得，
故选：A
7．C
【分析】根据椭圆和双曲线的定义，余弦定理可以得到，利用离心率的定义化简条件，可得，故可得，解此方程即可求出结果．
【详解】不妨设椭圆的方程为：，
双曲线方程为，
因为，为椭圆与双曲线公共的焦点，
所以；
由椭圆的定义知：，
两边平方得：，
中，设，由余弦定理得：
，
所以，即；
由双曲线的定义知：，
两边平方得：，
在中，由余弦定理得：，
所以，即；
所以，即；
因为，所以，即，
所以，所以，解得，
由于，所以．
故选：C．

8．D
【分析】先根据变形得到，即，然后任取，从而可证明为增函数，可得到，再利用参数分离可得，再构造函数，利用导数求出的最大值，从而可求解.
【详解】由题意得对于任意正数，都有，
又因为，所以，
即，则得，
任意，则，因为，所以，
当时，，所以，则，所以，
所以函数在上单调递增，所以，且，
所以在时恒成立，即等价于在时恒成立，
令，则，
当时，，当时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以当时，取到极大值也是最大值，
所以，故D正确.
故选：D.
9．AB
【分析】由题意可得，根据可判断A；根据在方向上的投影向量为可判断B；根据可判断C；根据数量积的运算律可判断D.
【详解】因为，都是单位向量，所以，
所以，即，故A正确；
在方向上的投影向量为，故B正确；
若，则，即，即，
因为，所以，故C错误；
若，则，
所以，即，故D错误.
故选：AB
10．AC
【分析】利用正态分布的对称性，利用概率进行转化，即可结合选项逐一求解．
【详解】因为随机变量服从正态分布，
所以，所以，选项A正确；
时，，时，，选项B错误；
当增大时，随着减小，所以是减函数，选项C正确；
，选项D错误．
故选：AC．
11．BCD
【分析】依据题意对目标式进行转化，利用导数确定最值即可.
【详解】
由题意得，由勾股定理得，
则，令，
而，故在上单调递增，
设，由两点间距离公式得，
由二次函数性质得当时，取得最小值，此时，
故的最小值为，即，显然B，C，D正确.
故选：BCD
12．7
【分析】根据二项式定理 展开式的通项公式，， 再对n分奇数和偶数进行讨论，可解得n的值.
【详解】展开式的通项公式为，，，
①当n为偶数时，则为偶数，
所以当时，此时的展开式中常数项为，此时方程无解；
②当n为奇数时，则为奇数，
所以当时，此时的展开式中常数项为，解得，；
所以.
故答案为：.
13．/
【分析】由点的对称性求出点C的横坐标为，可得函数的周期以及值，由五点作图求出，可得函数的解析式，从而求得N点坐标，由两点间距离求出圆的半径.
【详解】根据函数的部分图象，
由图可知，M，N关于点C对称，易得点C的横坐标为，
的周期，所以，
函数，
结合五点法作图，可得，
，，
故，，即，
所以圆的半径为，
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用圆的对称性，结合正弦型函数的对称性进行求解.
14．
【分析】经求导转化可知，函数有两个极值点，等价于函数与的图象有两个交点.，故只需研究函数的图象即可求得参数范围.
【详解】由求导，，由可得：，
因不满足此式，故可得：，
则函数有两个极值点，即函数与的图象有两个交点.
由求导，，则当时，，当时，，当时，
则函数在和上是减函数，在上是增函数，故时，取得极小值.
且当时，，当从0的左边趋近于0时，，当从0的右边趋近于0时，，当时，.
故可作出函数的图象如图.

由图可知：函数与的图象有两个交点等价于.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得，再因式分解为，即可得到，根据等差数列的定义，可知为等差数列，易得其通项公式；
（2）由题意用分组求和法和错位相减法对数列求和.
【详解】（1）因为，
所以当时，，
所以，
整理，得，
因为，
所以，
所以数列是公差为2的等差数列.
当时，，
解得，
所以数列的通项公式为；
（2）由（1）得，
记，，则
，
因为，，
所以，
所以，
所以.
16．(1)
(2)
【分析】（1）首先利用平行关系和垂直关系的转化，证明面，再根据条件中的数值，代入体积公式，即可求解；
（2）首先利用等体积公式转化为求得点到平面的距离，再根据线面角的定义,利用即可.
【详解】（1）取BC的中点O，连接OA，，
因为在底面ABC上的射影为O，
所以面ABC，
在三棱柱中，面面，
所以面因为面，
所以，
在中，M为线段的中点，，
因为，
所以，
因为面，面，，
所以面，
中，，，所以，，
所以
；
（2）设C到平面的距离为d，则
在中，，，
所以，
所以，
设MC与平面所成角为，则
，
所以MC与平面所成角的正弦值为.
17．(1)分布列见解析，；
(2)，分配到甲，乙两个餐厅志愿者人数分别为和.
【分析】（1）先求某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率，然后根据二项分布的概率公式求出概率，可得分布列，利用二项分布期望公式可得期望；
（2）根据题意先求与的关系，然后利用构适法可得通项，由确定两餐厅志愿者人数分配.
【详解】（1）某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率
某同学第二天选择餐厅乙就餐的概率
所以3位同学第二天选择餐厅甲就餐的人数为
记某班3位同学第二天选择餐厅甲的人数为，所有可能的取值为，
则
的分布列为：
.
（2）依题意，，即，
则有，当时，可得，
数列是首项为公比为的等比数列，则，
时，，
所以，各年级抽调的21人中，分配到餐厅甲的志愿者人数为，分配到餐厅乙的志愿者人数为.
18．(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【分析】（1）由焦点坐标和椭圆上的点，求椭圆的方程；
（2）设直线方程，与椭圆方程联立，由，结合韦达定理得系数间的关系，可得直线所过定点，利用面积公式表示出的面积，由基本不等式求最大值.
【详解】（1）点在椭圆上，且垂直于轴，则有
设椭圆的焦距为，则，
点代入椭圆方程，有，
解得，则，
所以椭圆的方程为.
（2）（ⅰ）设直线l的方程为，由，
消去y，整理得，
因为l交椭圆C于两点，所以，
设，所以，
因为直线和直线关于对称，
所以
所以
所以
解得.
所以直线l的方程为，
所以直线l过定点.
（ⅱ）设直线l的方程为，由，
消去，整理得，
因为l交椭圆C于两点，所以，
解得，
，
所以，
所以
令
则，当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为.
【点睛】方法点睛：
解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
19．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求导确定函数的单调性即可求解最值，
（2）根据，故，进而构造函数，由导数求解单调性，结合零点存在定理与不等式的性质即可求.
【详解】（1）由可得，
则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以的最小值为，故.
（2）由于为函数的两个零点，所以也是的两个零点，
故，故，，
,
令，
令，则，
当时, ,故单调递增，
故，则，
所以由零点存在定理可知，，
设，
则当时，单调递减，
当时，单调递增，故当，
故故，
故
，
所以由零点存在定理可知，，
所以.
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
X
0
1
2
3
P