精品解析：江苏省百校大联考2024届高三上学期第五次考试数学试题

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考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分．考试时间120分钟．
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4.本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数及其应用、三角函数及解三角形（含三角恒等变换）、平面向量、复数、数列、立体几何（含空间向量）（约），直线与圆、圆锥曲线（约）．
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据并集的定义计算可得.
【详解】由，即，即，解得，
所以，
又，所以.
故选：C
2. 已知，，且，则（ ）
A. B. 2C. D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数代数形式的乘法运算及复数相等得到方程组，求出、的值，从而求模.
【详解】因为，即，即，
因为，，所以，解得，
所以.
故选：A
3. 已知直线与直线平行，则的值为（ ）
A. 4B. C. 2或D. 或4
【答案】B
【解析】
【分析】根据两直线平行得到，求出的值，再检验即可.
【详解】因为直线与直线平行，
所以，解得或，
当时直线与直线重合，不符合题意；
当时直线与直线平行.
故选：B
4. 在中，点满足，点满足，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用、作为一组基底表示出、，再根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可.
【详解】因为点满足，所以为的中点，
所以，又，
所以，
所以，又，
因为，所以，
即，
所以，解得，所以.
故选：C
5. 设，是椭圆C：的两个焦点，点P是C上的一点，且，则的面积为（ ）
A. 3B. C. 9D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题设可得，应用余弦定理、椭圆定义求得，最后应用三角形面积公式求面积.
【详解】由题设，，可得，
，
由，，则，即，
所以的面积.
故选：B
6. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用诱导公式求出，再由及两角和的正切公式计算可得.
【详解】因为，所以，
所以，
所以，
所以.
故选：D
7. 圆锥曲线具有光学性质，如双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，其反向延长线会经过双曲线的另一个焦点，如图，一个镜面的轴截面图是一条双曲线的部分，是它的一条对称轴，是它的一个焦点，一光线从焦点发出，射到镜面上点，反射光线是，若，，则该双曲线的离心率等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点，由题中条件可得，，在直角三角形中，，，由双曲线的定义可得，再求出离心率即可.
【详解】在平面直角坐标系中，如图，

反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点，
由，，可得，.
则，
，
记双曲线的焦距为，长轴长为，
在直角三角形中，，，
由双曲线定义，可得，所以，
即，
所以离心率.
故选：A
8. 若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由对数函数的性质可得，构造函数，利用导数可得，则答案可求.
【详解】因为，所以，所以，
令，所以，则，
，
所以，
即恒为递增函数，
则，即，所以，
综上：，
故选：A.
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】当直线的斜率不存在时不满足题意，当直线的斜率存在时，设出直线方程，利用距离相等列方程求解即可.
【详解】当直线的斜率不存在时，显然不满足题意.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即.
由已知得，
所以或，
所以直线的方程为或.
故选：AC.
10. 已知圆O：与圆C：交于A，B两点，则下列说法正确的是（ ）
A. 线段AB的垂直平分线所在的直线方程为
B. 直线AB的方程为
C.
D. 若点P是圆O上的一点，则△PAB面积的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据相交圆的公共弦与两圆心连线垂直平分判断A，再由两圆方程作差得公共弦所在直线判断B，根据弦心距、半径、半弦长关系求弦长判断C，再由圆上点到直线的最大距离为圆心到直线距离加半径长判断D.
【详解】由圆C：知圆心为，
所以直线OC的方程为，即，
所以线段AB的垂直平分线所在的直线方程为，故A正确；
因为圆O：与圆C：，两圆方程作差，
可得直线AB的方程为，故B正确；
点O到直线AB的距离，所以，故C错误；
点到直线的距离的最大值为，则面积的最大值为，故D正确．
故选：ABD．
11. 如图，抛物线：的焦点为，过的直线交于两点，过分别作的准线的垂线，垂足分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则直线的方程为或
B.
C. 以线段为直径的圆与轴相切
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A：设出直线方程，与抛物线联立，利用韦达定理及焦半径公式计算；对于B：通过计算来判断；对于C：通过计算线段的中点到轴的距离来判断；对于D：利用韦达定理分别计算即可判断.
【详解】对于A：由题意知，，显然直线的斜率不为0，
设直线的方程为，，，
所以，，由得，
所以，.
若，
则，
解得或，
所以直线的方程为或，故A错误；
对于B：因为，，
所以，所以，故B正确；
对于C：由抛物线定义知，，线段中点的横坐标，
即线段的中点到轴的距离是，
所以以线段为直径的圆与轴相切，故C正确；
对于D：，
，
所以，故D正确.
故选：BCD.
12. 已知函数的定义域为，对任意的，恒有，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 为偶函数
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A：令，后计算可判断；对于B：令后计算可判断；对于C：令后计算可判断；对于D：先通过变形确定函数的周期，然后利用周期来求解.
【详解】对于A：令，，则，
又，所以，故A错误；
对于B：令，则，
所以，所以为偶函数，故B正确；
对于C：令，则，
所以，由于，令，，即，
即，故C正确；
对于D：令，则，
所以，所以，
所以，所以，
所以是周期为6的周期函数.
令，则，即，所以，
所以，，，，所以，
故，
故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题．
13. 过点且与圆：相切的直线方程为________
【答案】或
【解析】
【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出切线方程.
【详解】圆：即，圆心为，半径，
当切线的斜率不存在时，直线恰好与圆相切；
当切线的斜率存在时，设切线为，即，则，
解得，所求切线方程为，
综上可得过点与圆相切的直线方程为或.
故答案为：或
14. 若点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据双曲线方程求出、、，设右焦点为，再由双曲线的定义计算可得.
【详解】双曲线，则，，所以，设右焦点为，
圆，圆心为，半径，
圆，圆心为，半径，
且恰为双曲线的左焦点，，
又点是双曲线右支上的一点，则，
所以，
当且仅当、、三点共线（在之间）时取等号.
故答案为：
15. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知点，圆：，若圆上存在点，使得，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】先根据求出点的轨迹是一个圆，再根据该圆与已知圆有交点列不等式求出的取值范围.
【详解】设，因为，
所以，整理得，
所以点在以为圆心，2为半径的圆上，
所以圆与圆有公共点，
所以，
又，
所以，解得，
即的取值范围是.
16. 已知，，是椭圆上不同的三点，直线，直线交于点，直线交于点，记，的面积分别为，，若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形面积公式及或得，再应用相交弦长公式列方程，即可求.
【详解】由，即，则，
由图知：当位置变化时，或，
故，
所以，而直线、斜率存在且不，
故，
，
所以，即或，
当，化简得.
当时，，显然，无解.
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题解答的关键是由面积公式得到，再由弦长公式得到.
四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在中，内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用乘法公式及余弦定理得到，再由正弦定理将边化角，即可得到，最后由辅助角公式计算可得；
（2）由正弦定理可得，由余弦定理求出、，最后由面积公式计算可得.
【小问1详解】
因为，
所以，
又，
所以，
所以，
由正弦定理可得，
又，所以，所以，即，
又，所以，所以，则.
【小问2详解】
因为，由正弦定理可得，又，由，
所以，解得或（舍去），
所以，所以.
18. 已知数列的前n项和为，且．
（1）求通项公式；
（2）记，求数列的前n项和．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用关系，构造数列及等比数列定义写出的通项公式；
（2）由（1）得，讨论、求前n项和．
【小问1详解】
当，则；
当，则，
所以，而，则是首项、公比为2的等比数列，
所以，且也满足，
综上，.
【小问2详解】
由（1）得，
当时，，
当时，
.
所以.
19. 已知，是双曲线：上的两点，点是线段的中点.
（1）求直线的方程；
（2）若线段的垂直平分线与相交于，两点，证明：，，，四点共圆.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）通过作差法求解直线的斜率，然后求解直线方程；
（2）首先求解出线段中垂线的方程为：，然后求解中点，最后证明验证即可证明；
【小问1详解】
依题意，直线的斜率必定存在，设其斜率为，，，
所以，，所以，
又，，所以，
故直线的方程为，即，经检验，符合题意，
所以直线的方程为.
【小问2详解】
证明：由得，
解得或，所以，.
线段中垂线方程为：，
设，
由得，
所以，
故的中点，所以，
，
所以，，，在以为圆心，为半径的圆上，
所以，，，四点共圆.
20. 如图，在四棱柱中，底面是边长为2的菱形，且，．
（1）求证：平面平面ABCD；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接交于点，连接，即可得到，再由勾股定理逆定理证明，即可得到平面，从而得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【小问1详解】
连接交于点，连接，
因为底面是边长为的菱形，所以为、的中点且，
又，，所以，，
，同理可得，
所以，
所以，所以，即，
又，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面.
【小问2详解】
由（1）可知，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，取，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
21. 已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，其离心率为，点P是C上的一点（不同于A，B两点），且面积的最大值为．
（1）求C的方程；
（2）若点O为坐标原点，直线AP交直线于点G，过点O且与直线BG垂直的直线记为l，直线BP交y轴于点E，直线BP交直线l于点F，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）是定值，.
【解析】
【分析】（1）根据离心率及焦点三角形性质、椭圆参数关系求参数，即可得方程；
（2）设，且，求得，再根据已知可得直线，而直线，进而求出坐标，过作轴，利用等比例关系求即可得结论.
【小问1详解】
由题意，故.
【小问2详解】
由（1）及题设知：，直线的斜率存在且不为0，
设，则，即，
所以，又过点O且与直线BG垂直的直线记为l，则，
故直线，而直线，则，
联立，而，可得，
所以，故，过作轴，如图，
所以为定值.
22. 已知函数．
（1）若，求函数的图象在处的切线方程；
（2）若函数在区间上存在极大值点，求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程；
（2）首先求出的取值范围，构造函数，则，由此可得出函数的单调区间，利用零点存在性定理可得函数的零点所在区间：和，则可得函数的单调性，从而得到极大值，结合条件和基本不等式即可证明结论.
【小问1详解】
当时，则，，所以，
所以在处的切线方程为.
【小问2详解】
函数，则，
若在区间内恒成立，
即在区间内恒成立，
令，，则.
当时，，在区间内单调递减；
当时，，在区间内单调递增，故，
所以，
又，所以当时恒成立，则在上单调递增，则不存在极大值点，
当时，，.
由，令，，则，
显然在上单调递增，
令，则，
所以当时，当时，
即函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
又，，，
其中的证明如下：
令，则，所以在上单调递增，
则，
故存在，使得，存在，使得，
则当时，；当时；当时，，
故在区间内单调递增，在区间内单调递减，在区间内单调递增，
所以当时，取得极大值，即，则.
由，得，，
由，得，
故，所以
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．