2024届河北省秦皇岛市青龙满族自治县实验中学等两校联考高三上学期开学考试数学试题含答案

2024届河北省秦皇岛市青龙满族自治县实验中学等两校联考高三上学期开学考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出集合，再进行交集运算即可求解.

【详解】因为，所以，

因此，

故选：B．

2．若复数满足，其中是虚数单位，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【详解】

故选：A

3．设函数在处的切线方程为，则的值是(　 　)．

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用导数的几何意义求解即可.

【详解】因为，所以，

又函数在处的切线方程为，

所以当时，，则，

又当时，，故在上，

所以，则.

故选：C

4．新冠肺炎期间某商场开通三种平台销售商品，收集一月内的数据如图1；为了解消费者对各平台销售方式的满意程度，该商场用分层抽样的方法抽取4%的顾客进行满意度调查，得到的数据如图2．下列说法错误的是（    ）

A．样本容量为240

B．若样本中对平台三满意的人数为40，则

C．总体中对平台二满意的消费者人数约为300

D．样本中对平台一满意的人数为24人

【答案】B

【分析】对每一个选项逐一分析判断得解.求出样本容量为240判断选项A的正误；求出判断选项B的正误；计算出总体中对平台二满意的消费者人数约为300判断选项C的正误；计算出样本中对平台一满意的人数为24人判断选项D的正误.

【详解】选项A，样本容量为，该选项正确；

选项B，根据题意得平台三的满意率，，不是，该选项错误；

选项C，样本可以估计总体，但会有一定的误差，总体中对平台二满意人数约为，该选项正确；

选项D，总体中对平台一满意人数约为，该选项正确.

故选：B．

【点睛】本题主要考查分层抽样，考查用样本估计总体，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

5．若向量，，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据题意，先计算数量积以及两个向量的模长，然后利用向量的夹角计算公式求得角，从而代入三角形面积公式可得的面积.

【详解】因为，，所以，，，则，，所以.

故选：A.

6．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】解不等式确定集合，然后由补集定义计算．

【详解】由已知，所以．

故选：C．

7．下列命题错误的是　　

A．命题“若，则”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则”

B．若命题，则：，

C．中，是的充要条件

D．若向量，满足，则与的夹角为钝角

【答案】D

【分析】对A,由逆否命题判断即可；对B,由特称命题的否定判断即可；对C,由三角恒等变换和三角形内角的大小关系判断即可；对D，求出的充要条件，即可判断

【详解】依据命题“若p，则q”的逆否命题是“若，则”，可知：命题“若，则”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则”可判断出A正确．

B.依据命题的否定法则：“命题：，”的否定应是“，”，故B是真命题．

C. △ABC中，由正弦定理可得：，sinA＞sinB，可得a＞b是A＞B的充要条件，因此正确；

D.由向量，，的夹角，

向量与的夹角不一定是钝角，亦可以为平角，可以判断出D是错误的．

故选D．

【点睛】本题考题命题的真假判断，熟记四种命题，特称命题的否定，区分向量数量积与夹角的关系是关键，是易错题

8．把14个相同的球全部放入编号为1、2、3的三个盒内，要求盒内的球数不小于盒号数，则不同的放入方法种数为（    ）

A．36 B．45 C．72 D．165

【答案】B

【分析】根据题意，首先在13个球种取出1个球放到编号为2的盒子里，再取出2个球放在编号为3的盒子里，将原问题转化为“将剩下的10个球，分为3组，每组至少一个，分别放到三个盒子里”，用挡板法分析：将10个球排成一列，排好后，有9个空位，在9个空位中任取2个，插入挡板，由组合数公式计算可得答案．

【详解】解：根据题意，先在14个球种取出1个球放到编号为2的盒子里，再取出2个球放在编号为3的盒子里，

此时只需将剩下的11个球，分为3组，每组至少一个，分别放到三个盒子里即可；

将11个球排成一列，排好后，有10个空位，

在10个空位中任取2个，插入挡板，有种方法，即有45种将11个球分为3组的方法，

将分好的3组对应3个盒子，即可满足盒内的球数不小于盒号数，

则盒内的球数不小于盒号数的放入方法有45种，

故选：．

【点睛】本题考查排列、组合的运用，解答的关键在于将原问题转化为11个球的分组问题，用挡板法进行分析．

二、多选题

9．定义在上的偶函数满足，当时，.设函数，则下列说法正确的是（    ）

A．的图象关于直线对称

B．

C．的图象在处的切线方程为

D．和的图象所有交点的横坐标之和为10

【答案】ABD

【分析】选项A，转化为，分析即得解；

选项B，结合以及是偶函数可得的周期为2，分析即得解；

选项C，先求解时的函数解析式，利用导数求解切线斜率，分析即得解；

选项D，画出和的图象，数形结合即得解.

【详解】由的定义域为，可得，所以的图象关于直线对称，故A正确；

因为，所以，又是偶函数，所以，所以的周期为2，所以，故正确；

当时，所以，所以，所以，又，所以的图象在处的切线方程为，即，故C错误；

因为，所以的图象关于直线对称.画出和的图象如图所示：

由图可得和的图象有10个交点，且关于直线对称，则所有交点的横坐标之和等于，故D正确.

故选：.

10．已知双曲线，左、右焦点为，为双曲线上一点，则下列正确的是（    ）

A．离心率为 B．渐近线方程为

C．虚轴长为4 D．若，则

【答案】BCD

【分析】根据双曲线的定义及基本概念求解即可.

【详解】对于A，已知双曲线，则，A选项错误；

对于B，，所以渐近线方程为，B选项正确；

对于C，虚轴长，C选项正确；

对于D，由定义可知，若，

则或（舍），D选项正确；

故选：BCD.

11．等差数列中，，公差，且，则实数的可能取值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】根据等差数列的通项公式将已知条件转化为关于和的方程，分离结合即可求得的范围，进而可得正确选项.

【详解】因为等差数列中，，且，

所以，

整理得，

因为，所以，，

所以，

所以实数的可能取值为，．

故选：AB．

12．（多选）如图，正方体的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方形所得的截面记为S，则下列命题正确的是（　　）

A．异面直线与所成角为

B．当Q运动到某一点时，S可能是五边形

C．当时，S为等腰梯形

D．当CQ=1时，S为矩形

【答案】ABC

【分析】根据给定条件，结合正方体的结构特征，借助异面直线夹角、平面基本事实、面面平行的性质逐项分析判断作答.

【详解】对于A，在正方体中，连接，如图，

因，且，则四边形是平行四边形，有，

则异面直线与所成角为或其补角，而，因此，

所以异面直线与所成角为，A正确；

对于B，当时，过点A，P，Q的平面与直线交于点M，连AM，因平面平面，

则，而，且角与角方向相反，即有，

因此，，于是得点M在棱中点与点之间（不含端点），

平面平面，过点A，P，Q的平面与平面相交，交线必平行于直线AP，

令此交线与直线交于点N，而，且角与角方向相反，则，

，即有，则有N在棱上，连NQ，如图，

截面S与正方体的5个面相交，即S是五边形，B正确；

对于C，当时，即Q是中点，连，如图，则，

因，且，则四边形是平行四边形，有，

而，因此S为等腰梯形，C正确；

对于D，当CQ=1时，Q与重合，，，，如图，

则与不可能垂直，因此截面S不可能为矩形，D不正确.

故选：ABC

三、填空题

13．已知直线过圆的圆心且与直线垂直.则的方程是          ．

【答案】

【分析】根据题意，求出圆的圆心，由直线垂直与斜率的关系可得直线的斜率，由直线的点斜式方程即可得答案．

【详解】根据题意，因为，所以

所以圆的圆心为，

直线与直线垂直，则直线的斜率，

则直线的方程为，变形可得；

故答案为：．

【点睛】、本题考查直线的点斜式方程以及圆的一般方程，注意分析圆的圆心，属于基础题．

14．已知，.

①

②

③

④

其中正确的序号是      .

【答案】①③④

【解析】由二项展开式的通项求解判断①；分析各项系数的符号，取判断②；把等式两边求导数，取判断③；求得，再取求值判断④.

【详解】①由，

取，得，则，故①正确；

②令，可得，

令，可得，

则，故②错误；

③由，

两边求导数，可得，取可知③正确，

④由①可知，，

取，可得，故④正确

故答案为：①③④.

【点睛】本题主要考查了二项式定理，二项式系数，赋值法，考查了运算能力，属于中档题.

15．如图，在三棱锥D-AEF中，分别是DA，DE，DF的中点，B，C分别是AE，AF的中点，设三棱柱的体积为，三棱锥D-AEF的体积为，则           .

【答案】

【分析】设三棱柱的高为，则三棱锥的高为，则，，由此即可求出.

【详解】设三棱柱的高为，则三棱锥的高为，

由题意知：

，

，

故答案为：.

16．已知，关于的方程有两个不同的实数解，则实数的取值范围为      .

【答案】

【分析】在同一坐标中，做出函数，，的图象，利用数形结合根据交点个数即可求解

【详解】令，，，作出的图象如图所示.若

在上有两个不同的实数解，则与应有两个不同的交点，所以.

答案：

【点睛】本题主要考查了函数与方程，正弦型函数图象，数形结合的思想方法，属于中档题.

四、解答题

17．已知为的三个内角，其所对的边分别为,且.

(1)求角的值；

(2)若，求的面积．

【答案】（1）；（2）

【详解】试题分析：(1)因为，cosA=

所以，2cos2＋cos A＝0.可化为，2cosA+1=0

∴cosA=，；

(2)根据余弦定理得，

又因为b+c=4，所以12=16－bc，bc=4，．

【解析】本题主要考查三角函数的和差倍半公式，余弦定理的应用，三角形面积的计算．

点评：中档题，近些年，涉及三角函数、三角形的题目常常出现在高考题中，往往需要综合应用三角公式化简函数，以进一步解题．应用正弦定理、余弦定理求边长、角等，有时运用函数方程思想，问题的解决较为方便．

18．在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．已知数列的前项和为，，且满足________．

(1)求；

(2)若，求数列的前项和．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）若选①，利用与的关系即可求解；若选②，利用累加法结合等比数列前项和公式即可求解.

（2）利用错位相减法求解即可.

【详解】（1）若选①，因为，

当时，，两式相减得，

当时，，即，

又，所以，

故也满足，

所以是首项为，公比为的等比数列，故；

若选②，因为，

所以

，故.

（2）由（1）知，

则，①

，②

两式相减得

，

故.

19．某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况（评价结果仅有“好评”、“差评”），从平台所有参与评价的观众中随机抽取216人进行调查，部分数据如下表所示（单位：人）：

（1）请将列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”？

（2）若将频率视为概率，从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取3人，用随机变量X表示被抽到的男性观众的人数，求X的分布列；

（3）在抽出的216人中，从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人，从给出“差评”的观众中抽取人．现从这人中，随机抽出2人，用随机变量Y表示被抽到的给出“好评”的女性观众的人数．若随机变量Y的数学期望不小于1，求m的最大值．

参考公式：，其中．

参考数据：

【答案】（1）列联表见解析；有；（2）答案见解析；（3）2．

【分析】（1）根据数据完善列联表，求出，根据参考数据可判断.

(2)先求出随机抽取1人为男性的概率，由题意，由二项分布可得答案.

(3) Y的可能取值为0，1，2．求出概率，求出期望，建立不等式，可得答案.

【详解】解：（1）填写列联表如下：

所以

，

所以有99%的把握认为“观影评价与性别有关”．  

（2）从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取1人为男性的概率为，且各次抽取之间相互独立，

所以，

所以，，

，．

故X的分布列为

（3）从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人,则男性4人，女性6人.

则Y的可能取值为0，1，2．

所以，，．

所以，即，

即，解得，又，

所以m的最大值为2．

【点睛】关键点睛：本题考查对立性检验、二项分布和期望，解答本题的关键是将问题转化为二项分布问题，即根据条件得出，以及求出对应概率，属于中档题.

20．已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，，分别是，的中点，与平面所成的角的正切值是；

（1）求证：平面；

（2）求二面角的正切值．

【答案】(1)见证明；(2)

【分析】（1）取的中点，连接，通过证明四边形是平行四边形，证得，从而证得平面.（2）连接，证得为与平面所成角.根据的值求得的长，作出二面角的平面角并证明，解直角三角形求得二面角的正切值．

【详解】（1）证明：取的中点，连接.∵是中点   

∴

又是的中点,∴

∴，从而四边形是平行四边形， 故

又平面，平面，∴

（2）∵平面，∴是在平面内的射影

为与平面所成角，

四边形为矩形，

∵,∴,

∴

过点作交的延长线于，连接，

∵平面

据三垂线定理知.∴是二面角的平面角

易知道为等腰直角三角形，∴

∴=

∴二面角的正切值为

【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查线面角的定义和应用，考查面面角的正切值的求法，考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于中档题.

21．已知椭圆的离心率等于，椭圆与抛物线交于两点（在轴的上方），且经过的右焦点.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知点是椭圆上不同的两个动点，且满足直线与直线关于直线对称，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由.

【答案】（1）；（2）为定值.

【分析】（1）设椭圆的半焦距为，设点，把点的坐标分别代入椭圆和抛物线方程，结合椭圆的离心率即可求出，的值，进而得到椭圆的方程．

（2）先求出点的坐标，设，，，，由题意可设直线的斜率为，的斜率为，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理得到，同理可得，进而求出和的值，代入斜率公式化简，即可得到直线的斜率为定值．

【详解】（1)设椭圆的半焦距为，设点，

则，消去得，即①

因为椭圆的离心率为，

所以②

将②代入①，得.化简得

解得

所以

所以椭圆C的方程为

(2)将代入中，得 ，所以 (取正值），

则

当与关于直线对称时，的斜率之和为0，

设直线的斜为，则的斜率为，

设.

设直线的方程为，

由，消去y并整理，得，

所以

设的直线方程为，

同理得，

所以

则

所以AB的斜率为定值

22．已知函数．

(1)若，求实数m的取值范围并证明：；

(2)是否存在实数t，使得恒成立，且仅有唯一解？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)，证明见解析

(2)存在，

【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而得到函数的最值，即可求出参数的取值范围，依题意可得，令，利用导数说明函数的单调性，即可得证；

（2）设，可得，则，求出函数的导函数，即可求出的值，再利用导数研究函数的单调性，从而得证；

【详解】（1）解：因为，所以，

令，得，令，得，故在上单调递增，在上单调递减．

当时，且单调递增，当时，且先递增后递减，，

故要使成立，则．

由，得，即，所以．

设，则，所以在上单调递减，故．令，得，即，

得，从而，得

（2）解：设，易知，故要使且仅有唯一解，则．

，令，得，此时．

由（1）可知，所以，则，所以当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，满足，且只有唯一解，从而满足要求．

【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．