黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024届高三上学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024届高三上学期开学考试数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设全集,集合,,则( )
A.B.
C.D.
2．已知正实数m,n满足,则的最大值是( )
A.2B.C.D.
3．若p：实数a使得“，”为真命题，q：实数a使得“，"为真命题，则p是q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．函数的图象可能是( ).
A.B.
C.D.
5．若函数,在R上单调递增,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
6．设函数，若，则的最小值为( )
A.B.C.D.
7．已知是定义在R上的偶函数且在上为增函数，若，，，则( )
A.B.C.D.
8．定义表示两个数x,y中的较小者,表示两个数x,y中的较大者,设集合,,,,都是M的含有两个元素的子集,且满足：对任意的,都有,,则k的最大值是( )
A.2B.3C.4D.5
二、多项选择题
9．下列结论正确的是( )
A.“”是“”的充分不必要条件
B.“”是“”的必要不充分条件
C.“,有”的否定是“,使”
D.“是方程的实数根”的充要条件是“”
10．下列各式正确的是( )
A.设,则
B.已知,则
C.若,,则
D.
11．设函数的定义域为R,为奇函数,为偶函数,当时,.则下列结论正确的是( )
A.B.
C.D.
12．若,,,则( )
A.B.C.D.
三、填空题
13．已知幂函数满足,则______________.
14．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题,这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明,现有图形如图所示,C为线段上的点,且,,O为的中点,以为直径作半圆,过点C作的垂线交半圆于D,连结,,过点C作的垂线,垂足为E,若不添加辅助线,则该图形可以完成的所有无字证明为_______________.（填写序号）
①
②
③
④
15．已知函数,则不等式的解集为_________________.
16．已知,,,,则最小值为______________.
四、解答题
17．设函数,集合,.
(1)证明:.
(2)当时,求B.
18．在第24届冬季奥林匹克运动会,又称2022年北京冬季奥运会,是由中国举办的国际性奥林匹克赛事,于2022年2月4日开幕,2月20日闭幕,冬奥会的举办为冰雪设备生产企业带来了新的发展机遇.
某冰雪装备器材生产企业生产某种产品的年固定成本为2000万元,每生产x千件,需另投入成本（万元）.经计算,若年产量于件低于100千件,则这x千件产品的成本;若年产量x千件不低于100千件时,则这x千件产品的成本.每千件产品售价为100万元,为了简化运算,我们假设该企业生产的产品能全部售完.
(1)写出年利润（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式;
(2)当年产量为多少千件时,企业所获得利润最大？最大利润是多少？
19．已知的定义域为R,对任意都有,当时,,.
(1)求,;
(2)证明:在R上是减函数;
(3)解不等式:.
20．已知,,定义,设.
(1)若,画出函数的图象并直接写出函数的单调区间;
(2)定义区间的长度.若,,则.设关于x的不等式的解集为D.是否存在实数t,且,使得?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
21．如图,在四棱锥中,平面平面,,,,,.
(1)求证：;
(2)若点E为棱上不与端点重合的动点,且与平面所成角正弦值为,求E点到平面的距离.
22．已知函数
(1)求函数的单调区间;
(2)若,证明:在上恒成立;
(3)若方程有两个实数根,且,求证:.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意可得,,
,或,
对于A,或,故A错误,
对于B,,故B正确,
对于C,,故C错误,
对于D,,故D错误,
故选：B.
2．答案：B
解析：由于,
所以,
即,当且仅当时等号成立.
故选:B.
3．答案：B
解析：对于，，所以，即.
对于，，因为函数在上单调递增，
所以当时，，则，即.所以p是q的必要不充分条件.
4．答案：A
解析：因为定义域为,
且,
所以为奇函数,函数图象关于原点对称,故B,D都不正确;
对于C,时,,,
所以,所以,故C不正确;
对于选项A,符合函数图象关于原点对称,也符合时,,故A正确.
故选：A.
5．答案：B
解析：当时,函数单调递增
所以
当时,是单调递增函数,
所以,所以
当时,对勾函数取值要大于或等于指数式的值,
所以,
解之得：,
综上所述：实数a的取值范围是.
故选：B.
6．答案：A
解析：因为数，
若
所以，即，
所以，
当且仅当时取等号.
故选：A
7．答案：C
解析：是定义在R上的偶函数且在上为增函数，故在上单调递减，，
，，即，
故.
故选：C
8．答案：C
解析：根据题意,对于M,含2个元素的子集有个,
其中,、、、可以任选两个;
、符合题意;
、符合题意;
、符合题意;
即满足的任意的,最多有4个,
故k的最大值是4,
应选：C.
9．答案：ACD
解析：对于A,因为,所以或,所以“当”时,“”成立,反之不成立,
故“”是“”的充分不必要条件,正确;
对于B,“”一定有“”成立,反之不成立,
故“”是“”的充分不必要条件,错误;
对于C,命题“,有”是全称量词命题,
其否定是存在量词命题,即“,使”,正确;
对于D,当时,1为方程的一个根,故充分;
当方程有一个根为1时,代入得,故必要,正确;
故选:ACD
10．答案：BCD
解析：对于A,,故A错误,
对于B,,故B正确,
对于C,由,得,所以,故C正确,
对于D,,故D正确,
故选：BCD.
11．答案：BC
解析：因为为奇函数,所以,即函数关于对称,
即,即,
又因为为偶函数,所以,即函数关于对称,
则,所以,即,
所以,所以是周期为4的周期函数,
令 ,由,可得,可得,所以A错误;
因为时,,所以,可得,
即当时,,则,所以B正确;
因为,,
所以一个周期内的和为,
则,所以C正确;
由
,
所以D错误;
故选：BC.
12．答案：BD
解析：记,,则,所以在单调递增,
故,
记,则,
令,解得,故在上单调递减,
故,即,即,
故,
记,
则,
故当时,,故在上是增函数,
故,即,故,
故,
故选：BD.
13．答案：3
解析：因为函数为幂函数,
则m2-2m-2=1,解得或,
又因为,所以,
故答案为：3.
14．答案：①③
解析：由题意可知,,
由 可知 ,即,
所以;在中,,即
当时,O,C点重合,,此时,所以①正确;
在中,可得即,
所以,
由于,所以,
当时,,此时,所以③正确;
由于在该图中没有相应的线段与之对应,故②④中的不等式无法通过这种几何方法来证明,
故答案为：①③.
15．答案：
解析：设,则函数定义域为R,
因为,
故函数为奇函数,
因为函数、、、均为R上的增函数,
故函数为R上的增函数,
因为,
由可得,
可得,
所以,,即,解得.
因此,不等式的解集为.
故答案为：.
16．答案：10
解析：依题意,,即,则,又,,
因此,当且仅当时取等号,又,
从而,
当且仅当,即时取等号,
所以当,,时,取得最小值10.
故答案为：10.
17．答案：(1)证明见解析;
(2).
解析：(1)当时,方程无实根,即无实根,,
此时恒成立,又方程,即,
,显然,而,
因此方程无实根,,则,
当时,任取,则,于是,即有,因此,
所以.
(2)由,得-1,3是方程的二根,
由,解得,,
于是,方程,即,
整理得,解得,,,,
所以.
18．答案：(1)
(2)最大值为1000万元,此时年产量为105千件
解析：(1)当时
,
当时,
,
;
(2)当时
,
时,取得最大值,最大值为950,
当时,
当且仅当,即时取等号,
因为,所以的最大值为1000万元,此时年产量为105千件.
19．答案：(1),
(2)证明见解析
(3)
解析：(1)根据,
令,得,解得,
再令,,则有,解得.
(2)设,,,则,
所以,即,
因为所以,所以,
即,,都有,
所以在R上单调递减.
(3)由题可知,
所以,
所以由得,
即,即,
又因为,所以,
由(2)知在R上单调递减,所以,
即,即,解得.
所以,解集为.
20．答案：(1)图象见解析,递减区间是,,递增区间是,;
(2)存在,.
解析：(1)当时,,
当时,,函数在上递减,
而时,,因此当时,,
当时,,
则当或时,,当时,,
于是,函数的图象,如图,
观察图象知,函数的递减区间是,,递增区间是,.
(2)因为函数的最小值为1,函数的最小值为2,
函数的图象是函数和函数的图象左右平移后,再取下方图形而得,
因此函数的最小值为1,若不等式有解,则必有,又函数的最小值为2,
则当时,,即,解得,
于是,若,则,解得,矛盾,
当时,不等式的解集为,
由,即,解得,
于是不等式的解集为,
又,当且仅当时取等号,
即有,因此,
若,则,又,解得,
所以存在实数满足条件.
21．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)平面平面,平面平面,,平面,
平面且平面,故,
(2) 中,,
平面平面,平面平面,
平面,,平面, ,.
以B为原点如图所示建立空间直角坐标系,
,,,,,,
设,其中,则,
取平面法向量,,
设与平面所成角为,
,解得（舍）或,
则,,,,
设平面的法向量为.
,,解得,
故.
22．答案：(1)的递减区间为,递增区间为.
(2)证明见解析
(3)证明见解析
解析：(1)由,则时,,单调递减,
时,,单调递增,
所以的递减区间为,递增区间为.
(2)因为,,令
所以,
下证,
令,
则,
当时,,当,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以,
所以在上恒成立;
(3)证明：先证右半部分不等式：;
因为,,
所以,,,;
可求曲线在和处的切线分别为和;
设直线与直线,函数的图象和直线交点的横坐标分别为,,,,
则,
则;
因此.
再证左半部分不等式：.
设取曲线上两点,,
用割线,来限制,
设直线与直线,的交点的横坐标分别为,,
则,且,
所以.
综上可得成立.