2024届陕西省西安市部分学校高三上学期8月入学考试数学（文）试题含答案

2024届陕西省西安市部分学校高三上学期8月入学考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据并集的知识求得正确答案.

【详解】依题意，.

故选：C

2．设，则（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】B

【分析】先求得，然后求得的模.

【详解】，则.

故选：B

3．若，则＝（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用二倍角余弦公式，齐次式弦化切得解.

【详解】.

故选：B.

4．函数的图象在点处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据导数的几何意义进行求解即可.

【详解】∵，∴，∴，，

∴所求的切线方程为，即.

故选：D

5．已知抛物线C：的顶点为O，经过点，且F为抛物线C的焦点，若，则p＝（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】C

【分析】根据抛物线的定义结合可求得，然后将点的坐标代入抛物线方程可求出的值.

【详解】因为点在抛物线上，，

所以，所以，

所以，所以，解得.

故选：C

6．某公司统计了2023年1月至6月的月销售额（单位：万元），并与2022年比较，得到同比增长率数据，绘制了如图所示的统计图，则下列说法正确的是（    ）

注：同比增长率（今年月销售额去年同期月销售额）去年同期月销售额.

A．2023年1月至6月的月销售额的极差为6

B．2023年1月至6月的月销售额逐月递增

C．2023年1月至6月的月销售额的中位数为9.5

D．2022年5月的月销售额为8万元

【答案】C

【分析】根据图中数据分析求解即可.

【详解】对于A，2023年1月至6月的月销售额的极差为，故A不正确；

对于B，2023年1月的月销售额大于2月的销售额，故B不正确；

对于C，将2023年1月至6月的月销售额从小到大排列为：6，7，8，11，12，14，

则中位数为，故C正确；

对于D，设2022年5月的月销售额为万元，则，解得，故D不正确.

故选：C.

7．设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，由复合函数的单调性，列出不等式，代入计算，即可得到结果.

【详解】函数在上单调递增，而函数在区间上单调递增，因此，解得，所以的取值范围是.

故选：D

8．一个封闭的圆锥形容器内装水若干，如图①所示，锥体内的水面高度为，将锥顶倒置，如图②所示，水面高度为，已知该封闭的圆锥形容器的高为h，且，忽略容器的厚度，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设圆锥底面半径为，利用轴截面相似三角形，可求得水面所在圆的半径，又前后两个图中水的体积相等运算可得答案.

【详解】设圆锥底面半径为，当锥顶向上时，如图①

，由，可得，，

所以水的体积为，

当锥顶向下时，如图②

由，可得，，

所以水的体积为，

，又，

化简得，即，

.

故选：B.

9．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明代科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，如图2，将筒车抽象为一个半径为10的圆O，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，以筒车的中心O为原点，线段OA，OB所在的直线分别为x，y轴建立如图所示的直角坐标系（A，B为圆O上的点），分别用，表示t秒后A，B两点的纵坐标，则的最大值为（    ）

A．50 B．75 C． D．100

【答案】A

【分析】根据周期可得，即可根据三角函数的定义求解，，进而由二倍角公式化简即可求解.

【详解】由题意可知，且，解得，

所以，.

，故时，取最大值为50.

故选：A

10．在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，侧棱平面，且，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】应用补体法，将三棱锥外接球问题转化为三棱柱外接球问题，找到球心，求解半径即可.

【详解】由底面是边长为3的等边三角形，平面，

可得此三棱雉的外接球即以为底面，为高的正三棱柱的外接球.

设正三棱柱的上、下底面的中心分别为，，

则外接球的球心为的中点，

外接圆的半径，

球心到下底面的距离，

所以球的半径，

所以三棱锥外接球的表面积.

故选：A.

11．已知函数的定义域为，，，则下列说法不正确的是（    ）

A． B．

C．是奇函数 D．是偶函数

【答案】D

【分析】利用赋值法、构造函数法，结合函数的奇偶性确定正确答案.

【详解】令，可得，故A正确；

令，可得，令，，可得，

则，故B正确；

由，可得，

令，则，令，可得，

令，则，所以是奇函数，

即是奇函数，故C正确；

因为，所以不是偶函数，故D不正确.

故选：D

12．已知，分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线与交于，两点（点在第一象限），延长交于点，若，，则双曲线的离心率为（    ）

A． B．2 C． D．1

【答案】A

【分析】根据已知条件以及双曲线的定义求得，进而求得双曲线的离心率.

【详解】结合双曲线的对称性可知，，，

所以为等边三角形，则，则.

由双曲线的定义，得，所以，，

则.

故选：A

【点睛】求解双曲线的离心率，方向有三种，一个是求得和，从而求得双曲线的离心率；一种是求得的等量关系式，化简可求得双曲线的离心率；还有一种是求得的等量关系式，先求得，再求得双曲线的离心率.

二、填空题

13．已知向量，，若，则      .

【答案】/

【分析】首先由向量垂直转化为两向量数量积为，然后利用数量积的坐标形式解方程即可得解.

【详解】因为，，所以，

由，可得，则，解得.

故答案为：.

14．若满足约束条件则的最大值为        .

【答案】9

【分析】先画出可行域，由，得，作出直线，平行移动过点时，取得最大值，求出点的坐标代入目标函数中可得答案

【详解】不等式组表示的可行域如图所示，由，得，

其中，的几何意义为直线的截距，

当截距取最大值时，目标函数取最大值.

作出直线，平行移动过点时，取得最大值，

由，得，即，

故当过点时，直线截距最大，

即，

即的最大值为9.

故答案为：9.

15．甲、乙两位同学从三种课外读物中各自选读两种，则两人所选的课外读物不全相同的概率为        .

【答案】

【分析】应用列举法求甲乙各选两种读物方法数，应用古典概型的概率求法求概率即可.

【详解】甲从，，三种课外读物中各自选读两种，有，，三种情况，

乙从，，三种课外读物中各自选读两种，有，，三种情况，

则甲、乙两位同学从，，三种课外读物中各自选读两种，总共有9种情况，

其中两人所选的课外读物不全相同的有6种情况，则所求的概率为.

故答案为：

16．在锐角中，角的对边分别为，，，若，，则的取值范围是        .

【答案】

【分析】由半角公式得到，求出，结合正弦定理和得到，求出，从而求出的取值范围.

【详解】由，得，

因为为锐角三角形，在上单调递减，故，

所以，由正弦定理得，

又，所以，

由题意得，解得，

又，解得，

所以，

所以，，

则的取值范围是.

故答案为：

三、解答题

17．某校开展了航天知识竞赛活动，竞赛分为初赛和复赛两个阶段.全校共有1000名学生参加，将他们的初赛成绩（成绩都在内）分为，，，，5组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求的值并估计全校学生初赛成绩的平均数（同组数据以这组数据的中间值作为代表）；

(2)若规定初赛成绩前的学生进入复赛，试估计进入复赛的分数线.

【答案】(1)，75

(2)85

【分析】（1）先由各组的频率和为1求出，然后利用平均数的定义求解即可；

（2）根据频率分布直方图进行总体百分位数的估计即可.

【详解】（1）由，解得，

所以全校学生初赛成绩的平均数估计为.

（2）由直方图可知，成绩在内的频率为，成绩在内的频率为，

则分数线位于区间内，

故.

18．已知为正项等比数列，记为数列的前项和，，.

(1)求的通项公式；

(2)求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将已知条件，转化为等比数列的基本量表达，求解方程即可；

（2）先分组求和，再转化为等比数列求和，利用公式法求解.

【详解】（1）设等比数列的公比为，，即，

，

所以，且为正项等比数列，，

解得（舍去）或，

所以数列的通项公式是.

（2）

.

19．如图，在正四棱台中，.

(1)证明：.

(2)若正四棱台的高为3，求点到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接，，（，分别为正四棱台上、下底面的中心），根据面线垂直的判定定理证明平面即可；

（2）连接，，可求得侧面的斜高为，再由求解即可.

【详解】（1）证明：连接，，

设正四棱台上、下底面的中心分别为，，连接，

则，分别为，的中点，

因为是正四棱台，所以平面.

又平面，则，

因为为正方形，所以，

又，所以平面.

因为平面，

所以.

（2）解：连接，，

因为正四棱台的高为3，

所以，

且侧面的斜高为，

所以.

设点到平面的距离为，

因为，

所以，解得，

即点到平面的距离为.

20．已知椭圆的右顶点为，离心率为.

(1)求椭圆的方程；

(2)不经过点的直线与交于两点，且直线和的斜率之积为1，证明：直线过定点.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可得到结果；

（2）根据题意，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，即可得到结果.

【详解】（1）由题可知，

因为，所以.

又，所以，

所以椭圆的方程为.

（2）  

证明：当直线的斜率不存在时，显然不符合题意，

故设，，直线，

联立消去整理得，

方程的判别式，

则，

因为，所以，

所以，

所以，

整理得.

若，则，则直线过定点，与题意矛盾；

若，则，则直线过定点.

【点睛】关键点睛：本题主要考查了直线与椭圆相交中的定点问题，难度较难，解答本题的关键在于联立直线与椭圆方程，然后代入计算.

21．已知函数.

(1)当，求的极值；

(2)若恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)极大值为，无极小值

(2)

【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，进而确定函数的极值情况；

（2）将问题化为，构造并用导数研究单调性得到恒成立，再构造，利用导数求其最大值，即可得参数范围.

【详解】（1）当时，，

则，

所以在上，单调递增，在上，单调递减，

当时取得极大值，，故的极大值为，无极小值.

（2）由，可得，则，即.

令，则，

因为在上单调递增，所以，则.

令，则，

在上，单调递增，在上，单调递减，即，

所以，则的取值范围为.

22．在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

(1)求曲线与的直角坐标方程；

(2)已知直线l的极坐标方程为，直线l与曲线，分别交于A，B（异于点O）两点，若，求α.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用代入法进行消参，结合极坐标与直角坐标互化公式进行求解即可.

（2）利用代入法，结合距离公式进行求解即可.

【详解】（1）因为曲线的参数方程为（t为参数），

所以，所以的直角坐标方程为.

又曲线的极坐标方程为，所以，即，

所以的直角坐标方程为；

（2）的极坐标方程为，即，

把代入，的极坐标方程得，，

由题可知，解得，

因为，所以.

23．已知函数.

(1)当时，解不等式；

(2)若对任意的，存在，使得，求的取值范围.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）解含有绝对值不等式，分三种情况解不等式，取并集即可得出结果.

（2）分离变量，设，若对任意的，存在，使得，则.分别求解最小值，转化为求解关于参数的不等式即可.

【详解】（1）当时，.

当时，，所以；

当时，，无解；

当时，，所以.

综上，原不等式的解集为或.

（2）由，得，

设，

由，

则，

又，

则，

若对任意的，存在，使得，

.

所以，解得或.

故的取值范围为.