中职高教版（2021）第3章 圆锥曲线3.1 椭圆3.1.1 椭圆的标准方程教案

这是一份中职高教版（2021）第3章 圆锥曲线3.1 椭圆3.1.1 椭圆的标准方程教案，共10页。

授课题目
3.1椭圆
选用教材
高等教育出版社《数学》
（拓展模块一上册）
授课时长
4课时
授课类型
新授课
教学提示
本课以“中国国家大剧院”为背景创设情境，帮助学生形成椭圆形状的直观感受，然后通过一个实验展示画椭圆的这个过程，引导学生分析椭圆上的点所满足的几何条件，为建立椭圆的标准方程创造条件，之后再以“东方红一号”卫星为例创设第二个情境，扩充学生的视野，激发爱国情怀，最后数形结合分析椭圆的几何性质.
教学目标
知道椭圆的概念及形成过程，知道如何化简形成椭圆的标准方程，能区分不同焦点坐标对应的不同方程；会根据椭圆的方程描述椭圆的几何性质，能根据条件求出椭圆的标准方程；逐步提升直观想象、数学运算和数学建模等核心素养.
教学重点
根据条件求椭圆的标准方程，根据标准方程分析椭圆的几何性质．
教学难点
椭圆标准方程的推导与化简．
教学环节
教学内容
教师
活动
学生
活动
设计
意图
情境导入
中国国家大剧院是首都北京的地标性建筑之一,它位于人民大会堂的西侧.观察上图,国家大剧院及其倒影的轮廓线是什么图形？有什么特点？

提出
问题

引发
思考
思考

分析

回答
创设情境，帮助学生形成椭圆形状的直观感受
新知探索
可以看出，图中的轮廓线是一条优美的封闭曲线，,人们称之为椭圆.那么，如何画出一个椭圆呢？我们可以通过一个实验来完成.
(1) 准备一个画板、一条定长的细绳、两枚图钉和一支笔；
(2)将绳子的两端固定在画板上的F1和F2两点，并使绳长大 于下到下的距离；
(3)用笔尖将细绳拉紧，保持笔杆与画板垂直，笔尖在画板上慢 慢移动，就画出一个椭圆，如图所示.

显然，笔尖(即点M)移动时，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点F1和F2的距离之和始终等于绳长（常数）.
一般地，把平面内与两个定点F1、F2的距离之和为常数(大于|F1F2|)的点的轨迹称为椭圆.这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点间的距离称为椭圆的焦距.
讲解


说明





展示图形
引发思考





说明


理解


思考





结合
图形
思考
问题





领会


通过一个实验展示画椭圆的这个过程，为建立椭圆的标准方程创造条件
情境导入
3.1.1椭圆的标准方程
1970年4月24日,我国发射的第一颗人造地球卫星“东方红一号”顺利升空，开创了中国航天史的新纪元，使我国成为全球第五个独立研制并发射人造地球卫星的国家.如图所示，它的预定运行轨道是以半径约为6371km的地球的中心F1为一个焦点的椭圆，近地点A 距离地球441km，远地点B距离地球2368km.那么，如何求出这颗卫星预定运行轨道的椭圆方程呢？

我们知道，通过建立合适的平面直角坐标系，可以求出直线和圆的方程.那么，是否可以建立恰当的平面直角坐标系来求出椭圆的方程呢？
提出
问题



引发
思考
思考




分析
回答
创设情境，扩充学生视野，激发爱国情怀
探索新知
容易看出，椭圆既是轴对称图形也是中心对称图形.因此，以经过椭圆两焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示.

设椭圆焦距为2c(c>0)，则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0).又设椭圆上的点M与焦点的距离之和为2a (a>0)，即|MF1|+|MF2|=2a.设点M的坐标为(x,y)，则有

整理并移项得
两边平方得

整理得
两边再平方，整理得 ，
移项并整理得
由椭圆的定义可知2a＞2c＞0，即a＞c＞0，所以.
令，则上式可化为.
两边同除以得
.
方程称为椭圆的标准方程，此时椭圆的焦点F1和F2在x轴上，焦点坐标分别为(-c,0)和(c,0).
类似地，以经过椭圆两焦点F1、F2的直线为y轴,线段F1F2的垂直平分线为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，可以求得椭圆的标准方程为
.
此时椭圆的焦点F1和F2的坐标分别为(0,-c)和(0, c).

讲解


说明



展示




讲解






展示图形
引发思考











展示图形引发思考
理解


思考



领会




理解






结合
图形
思考
问题











数形
结合
讨论
问题









通过把几何问题转化为代数问题从而使几何问题可以通过代数运算来解决

















类比介绍焦点在y轴上的椭圆标准方程
典型例题
例1 根据条件，求椭圆的标准方程.
(1)焦点在x轴上，焦距为6，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10；
(2)焦点为F1(0,-2)和F2(0,2)，椭圆上一点M的坐标为.
解 (1)由于2c=6，2a=10，故c=3，a=5，从而b²=a²-c²=16.因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为

(2)由椭圆的定义知，|MF1|+|MF2|=2a，于是有


又因为c=2，所以b²=a²-c²=10-4=6.
由题意可知，椭圆的焦点在y轴上.因此，椭圆的标准方程为


例2 求“情境与问题”中“东方红一号”卫星预定运行轨道的标准方程.
解 如图所示，建立直角坐标系，设椭圆方程为，F1(-c,0)，A(-c,0)，B(c,0)，

则有
解得
故，卫星预定轨道的方程为

例3 已知椭圆的方程，求其焦点坐标和焦距.
(1) ；(2)4x²+3y²=12.
解 (1)因为5＞4，所以椭圆的焦点在x轴上，并且a²=6，
b²=4.于是有 c²= a²-b²=2.
从而 ．
因此椭圆的焦点为，焦距为．
(2)将椭圆方程化成标准方程．
因为4＞3，所以椭圆的焦点在y轴上，并且a²=4，
b²=3.
于是有 c²= a²-b²=4-3=1．
从而 c=1，2c=2.
因此椭圆的焦点为F1(0,-1)、F1(0,1)，焦距为2.


温馨提示
要判断椭圆的焦点在哪个坐标轴上，可将椭圆方程化为标准方程.然后，观察标准方程中含x项与含y项的分母，哪项的分母大，焦点就在哪个坐标轴上.

例4 若椭圆上一点P到焦点F1的距离等于6，求|PF2|.
解 由椭圆定义知|MF1|+|MF2|=2a，其中|PF1|=6.
又由椭圆的标准方程知，a²=100，a=10.则
6+|PF2|=2a=20，
即 |PF2|=14.
提问
引导

讲解
强调

指导
思考
分析

解决
交流

主动求解
例1让学生理解求椭圆标准方程的关键是求出a²和b²











例2
体现学以致用






















例3是求焦点和焦距的问题， 引导学生先将椭圆方程化为标准形式

例4巩固对椭圆定义的理解和标准方程的应用
巩固练习
练习3.1.1
1. 根据条件，求椭圆的标准方程.
 (1) a=4、b=1，焦点在x轴上；
 (2) b=，c=5，焦点在y轴上.
2. 己知椭圆的焦距为8，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为 10.求椭圆的标准方程.
3.已知椭圆的标准方程，求其焦点坐标和焦距.
 (1)x²+4y²=64； (2) .
4.设点F1、F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，求ΔPF1F2的周长.


提问


巡视




指导

思考


动手
求解



交流

及时掌握学生掌握情况查漏补缺
情境导入
3.1.2 椭圆的几何性质
在基础模块，我们利用直线和圆的标准方程得到了圆的性质，是否可以利用椭圆的标准方程来研究椭圆的性质呢？
提出
问题
引发
思考
思考
分析
回答
提示学生数形结合
探索新知
下面以为例，探究椭圆的几何性质．
1.范围
从椭圆的标准方程可知，，因此，从而可得，
-a≤x≤a.
同理可得，，于是有
-b≤x≤b.
这说明，椭圆位于四条直线所围成的矩形内，如图所示.

2.对称性
在椭圆的标准方程中，将y换成-y，方程不变. 这说明，当点P(x,y)在椭圆上时，其关于x轴的对称点 P1(x,-y)也在椭圆上. 因此，椭圆关于x轴对称.
同理，将x换成-x，方程不变.这说明，当点P(x,y)在椭圆上时，其关于y轴的对称点P2(-x,y)也在椭圆上. 因此，椭圆关于y轴对称. 
进一步，将x换成-x，同时y换成-y，方程不变. 这说明，当点P(x,y)在椭圆上时，其关于原点的对称点
P3(-x,-y)也在椭圆上. 因此，椭圆关于原点对称．
综上所述，椭圆既关于x轴对称，又关于y轴对称，也关于坐标原点对称. x轴与y轴都称为椭圆的对称轴，坐标原点称为椭圆的对称中心(简称中心).
3.顶点
在椭圆的标准方程中，令y = 0，得x = ±a，这说明椭圆与x轴有两个交点A1(-a,0)和A2(a,0). 同理，令x = 0，得y = ±b. 这说明椭圆与y轴有两个交点
B1(0,-b)和B2(0,b)，如图所示.

椭圆与它的对称轴的四个交点A1、A2、B1、B2 ,称为椭圆的顶点. 线段A1A2和B1B2 分别称为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b. a和b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长. 显然，椭圆的焦点在它的长轴上.
值得注意的是，由于a、b、c满足关系式b²+c²=a²，故长度分别为a、b、c的三条线段构成一个直角三角形. 观察上图，可知

故有 |OB2|²+|OF2|²=|B2F2|².
因此， RtΔF2OB2(或F1OB2)直观地反映了椭圆的标准方程中a、b、c三者之间的关系.
4.离心率
把椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，记作e.即
.
因为a＞c＞0，所以0＜e＜1．容易看出，e越接近于1，c越接近于a，从而越小，椭圆就越扁；反之，e越接近于0，c越接近于0，从而b越接近于a，椭圆就越接近于圆．因此，离心率e的大小反映了椭圆的扁平程度.
同样，可以得到椭圆的范围、对称性、顶点、长轴、短轴及离心率等基本性质.

探究与发现
为什么油罐车的储油罐、洒水车的储水箱一般设计为椭圆的形状？

讲解

说明


展示



讲解








讲解


说明


展示



讲解





































讲解


说明


展示



讲解




展示图片引发思考
理解

思考


领会



理解








理解


思考


领会



理解





































理解


思考


领会



理解




感受
图形
特征
讨论
交流
椭圆的范围和对称性易于直观判断，运用代数方法进行界定可以帮助学生习得几何问题代数化的思想方法，培养学生科学严谨的科学精神．

确定椭圆范围的目的是用描点法画椭圆时可以不取范围外的点，这为后续介绍画椭圆的大致曲线奠定基础

在介绍顶点、长轴、短轴的同时，要帮助学生理清a、b、c在椭圆图形中的具体呈现

体现数学知识的应用



典型例题
例5 求椭圆16x²+25y²=400的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点的坐标.
解 将原方程化为标准方程
.
容易看出，椭圆的焦点焦点在x轴上，并a=5，b=4. 所以 .
从而，椭圆的长轴长2a=10，短轴长2b=8，离心率，焦点坐标分别为(-3,0)、(3,0)，顶点坐标分别为(-5,0)、(5,0)、(0,-4)、(0,4).

例6 分别求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过点M(4,0)、N(0,-3)；
(2)短轴长为6，离心率为．
解 (1)因为椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，所以，点M、N就是椭圆的顶点，并且长半轴长a=4，短半轴长b=3.
由于椭圆的长轴在x轴上，故其焦点在x轴上.于是，所求椭圆的标准方程为
.
(2)因为2b=6，所以b=3. 由，可得a²=25.
若椭圆的焦点在x轴上，则所求椭圆的标准方程为
；
若椭圆的焦点在x轴上，则所求椭圆的标准方程为
.

温馨提示
求椭圆的标准方程时，如果椭圆的交点位置不明确，应分别就焦点在x轴和y 轴上两种情形进行讨论.

例7 用描点法画出椭圆的图形.
分析 由于椭圆具有对称性，一般只需先画出椭圆在第一象限内的图形，然后利用对称性，画出全部图形.
解 当y≥0时，椭圆的方程可以变形为
(-5≤x≤5).
在[0,5]内，选取几个整数作为x的值，计算出对应的y值，列表

以表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点(x,y)，用光滑的曲线顺次链接各点，得到椭圆在第一象限内的图形. 然后利用椭圆的对称性，画出全部图形.


温馨提示
我们可以利用椭圆的顶点和对称性画出大致图像.具体步骤如下：
(1)由a²=25，得a=5，则得到椭圆的两个顶点A1(-5,0)、A2(5,0)；
(2)由b²=9，得b=3，则得到椭圆的另外两个顶点B1(0,-3)，B2(0,3) ；
(3)依据椭圆的图形特征，用光滑的曲线连接四个点，则椭圆的大致图像就画好了.

提问
引导

讲解
强调







提问
引导

讲解
强调























提问
引导

讲解
强调

思考
分析

解决
交流







思考
分析

解决
交流























思考
分析

解决
交流
例5强调先将椭圆化为标准方程并要规范解题步骤

例6应强调先确定椭圆的焦点位置再求出相应的量
















强化学生动手作图的能力，特别要介绍椭圆大致图像的画法













巩固练习
练习3.1.2
1.求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率、焦点和顶点的坐标.
 (1) x²+9y²=81； (2) 9x²+4y²=36.
2.求满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1) ，焦点在x轴上；
(2) ，焦点在y轴上；
(3) 经过点P(-6,0)、Q(0,8)；
(4) 长轴长为18，离心率为.
3.求下列直线和椭圆的交点坐标.
(1) y+2=0与；
(2) x-4=0与.
4.如图所示，一个椭圆形溜冰场的长轴的两端到同一个焦点的距离分别为40m和10m，求这个椭圆的标准方程和两个焦点的坐标.



提问





巡视





指导

思考





动手
求解




交流

及时掌握学生掌握情况查漏补缺
归纳总结

引导

提问

回忆

反思

培养
学生
总结
学习
过程
能力
布置作业
1.书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》；
2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾;
3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.
说明
记录
继续探究
延伸学习