中职数学高教版（2021）拓展模块一 上册4.1.1 平面的特征和表示教学设计及反思

授课题目

4.1平面

选用教材

高等教育出版社《数学》

（拓展模块一上册）

授课时长

2课时

授课类型

新授课

教学提示

本章是初中平面几何和基础模块中简单几何体的延伸和拓展, 是进一步学习复杂几何知识的基础．

本课由茶卡盐湖和青海湖，引出平面的基本特征，进而帮助学生建立平面基本概念，培养学生抽象思维能力．用茶卡盐湖和青海湖引入，可以增强学生爱国情怀．在后续教学中还需逐步渗透平面的如“没有厚度”等特征，以进一步提升学生抽象思维能力．

教学目标

经历平面的概念、基本性质的抽象过程，能通过实物模型感知平面概念，描述平面的基本性质；知道点、线、面的符号及图形表示方法，学会使用自然语言、符号语言或图形语言描述空间点、线、面间的位置关系；通过实验观察，能分析得出平面的三个基本性质和三个推论；体会直线是构成平面图形的基本要素，平面是构成空间几何体的基本要素，初步实现由二维平面向三维空间的认知转变；感悟数学源于生活，增强学习兴趣；逐步培养和提升数学抽象、直观想象和逻辑推理等核心素养.

教学重点

平面概念及平面的符号与图形表示，平面基本性质．

教学难点

对性质3的理解．

教学环节

教学内容

教师

活动

学生

活动

设计

意图

情境导入

我们知道，构成空间的基本要素是点、线、面，在平面几何中，我 们学习的重点是点与直线，下面我们先重点学习平面.

4.1 平面的特征和表示

    茶卡盐湖被称为“中国的天空之镇”，当其湖面平静之时就像一面镜子，给人很“平”的印象.面对浩瀚的大海时，我们会感慨大海“一望无际”.茶卡盐湖湖面和海面都可以用“平面”来描述.类似地，课桌桌面、书本封面也可以用“平面”来描述.这些平面有什么共同特征呢？

提出

问题

引发

思考

思考

分析

回答

创设情境帮助学生直观感受平面的特征

新知探索

这些面都是平的，可以向各个方向无限延展.数学中的平面具有平和无限延展的特征.

怎样画出具有无限延展性的平面呢？

数学中，因直线具有无限延伸性，所以人们作直线时实际只画出直线的一部分来表示整条直线.

类似地，我们用平面的一部分来表示平面.通常我们用平行四边形三角形、圆等平面图形来表示平面.

观察右图粉笔盒的正面、顶面、侧面所在平面可以分别画成下图所示的三个图形.

 为叙述方便，常常把几何对象用字母表示.例如，点可以用大写英文字母A、B、⋯表示.直线可以用小写英文字母l、m 、⋯表示，也可以用直线上两点的字母AB、CD、…表示.

类似地，可以用小写希腊字母α、β、⋯表示平面，如平面α、平面β；也可以用多边形的顶点字母表示平面，对于平行四边形，可选用其中一组对角线的顶点字母表示平面.

平面可表示为平面 ABCD 或平面AC. 如图所示，ΔABC所在的平面可表示为面 ABC，⏥ABCD所在的平面可表示为平面 ABCD 或平面AC. 

考虑到直线和平面均可看作由无数个点组成的点集，当点P在直线l或平面α内时,可分别表示为P∈l，P∈α.当点P不在直线l或不在平面α内时，可分别表为P∉l， P∉α.

讲解

说明

展示实物

引发思考

说明

展示图形说明问题

理解

思考

观察

发现

思考

问题

领会

观察

图形

思考

问题

引导学生领悟平面是无限延展的

联系生活认识问题

说明自然语言、符号语言、图形语言三者之间的关系

典型例题

例1 用符号语言表示以下点与直线，平面的位置关系，并画出满足条件的一个图形.

   (1)点A在直线l上，且在平面α内.

(2)点C 不在平面β内，直线m经过点C且与平面β有一个公共点B.

解  (1)A∈l且 A∈α，如图所示.

画法：

①画平行四边形表示平面α；

②将点A画在平行四边形的内部；

③经过点A画直线l.

(2) C ∉ β，C∈m，B∈m，B∈β， 如图所示.

画法：

①画平行四边形表示平面β；

②将点C画在平行四边形的外部；

③将点B画在平行四边形内；

④连接点C与点B并向两个方向延长,将直线CB标注为直线m,并将直线被平面遮挡部分擦除或画为虚线.

温馨提示

画直线与平面相交时,直线被平面遮挡的部分画出虚线或不画.

提问

引导

讲解

强调

指导

思考

分析

解决

交流

主动

求解

例1帮助学生了解空间中点与线、和面关系的符号表示，初步体会自然语言、符号语言、图形语言三者之间的联系．

巩固练习

练习4.1.1

1. 判断下列说法是否正确.

(1)平整的课桌面是一个平面的一部分；

(2)不同平面的大小是不同的： 

(3)光滑的玻璃球的表面是一个平面； 

(4)长方体 ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1，所在平面可表示为平面AB1； 

(5)把一块长为3m、宽为1.5m 的黑板看作一个平面，这个平面的面积是 4.5 m.

    2.已知ABCD-A1B1C1D1，如图所示.试用符号“∈”或“∉”填空. 

A      直线 AD，A     直线 A1B1，A     平面BD，A      平面BC1.

    3. 请画出符合下列条件的一个图形. 

    (1) A ∉ l,  A∈α;    (2) B ∉ l, B ∉ β.

    4. 观察自己身边有哪些事物可以看作平面的一部分.

提问

巡视

指导

思考

动手

求解

交流

及时掌握学生掌握情况查漏补缺

情境导入

4.1.2平面的基本性质

如图所示，分别尝试用一个指尖、两个指尖、三个指尖顶起一块硬纸板，看看哪种方式能比较稳地将硬纸板顶起来？

  你有什么发现？

提出

问题

引发

思考

思考

分析

回答

纸板实验操作性强，方便学习公理1

探索新知

尝试后发现，当三个指尖不在同一条直线上时，能将硬纸板平稳地顶起来.

这个现象蕴含着平面的如下重要性质. 

公理1  经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. 

这个公理也可以说成“不共线的三点确定一个平面”.

如图所示，点A、B、C不共线．由公理 1可知，存在唯一的平面α，使得A∈α，B∈α，C∈α.

容易看出，经过一个点、两个点或共线的三个点有无数个平面，也可以说成“一个点，两个点或共线的三个点不能确定一个平面”.

讲解

说明

展示图像引发思考

分析讲解

理解

思考

观察

图像

分析

问题

理解

体会

学习公理

用图形再次强调三点不能共线

情境导入

将一根细线拉直,然后把它的两个端点固定在桌面上,如图所示,观察细线上其他的点与桌面的关系.如果抓住细线中的一点并拉离桌面,细线还是直线吗？

提出

问题

引发

思考

思考

分析

回答

绳子实验方便学生学习公理2

探索新知

容易看出，当把拉直的细线的两个端点放在桌面上时，细线上的所有点都在桌面上.

如果将细线抽象为直线，桌面抽象成平面，可以得出平面的如下性质. 

公理2  如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内.有且只有一个平面.

当一条直线上的所有点都在平面内时,称直线在平面内，或者说平面经过直线.

因为直线和平面都是由点组成的集合，所以直线m在平面α内可表示为m⊆α .当直线m不在平面α内时，表示为 m⊈α，此时直线与平面有一个公共点或没有公共点.

如图所示，由A∈α，B∈α，可知AB⊆α .

温馨提示

表示直线在平面内时，要把直线画在表示平面的图形的内部.

由公理1、2得到以下结论. 

推论1  经过一条直线和该直线外的一点有且只有一个平面. 

如图所示，A∈l，存在唯一的平面α，使得A∈α，l⊆α.

推论2  经过两条相交直线有且只有一个平面. 

如图所示，直线m与直线n相较于点A，存在唯一的平面α，使得m⊆α，n⊆α.

推论3  经过两条平行直线有且只有一个平面. 

如图所示，m∥n，存在唯一的平面α，使得m⊆α，n⊆α.

讲解

说明

展示图像帮助思考

理解

思考

观察

图像

理解

要点

分析

比较

总结和抽象，学习公理内容

学习数学语言的表达

学习图形语言的表达

学生利用公理进行讨论并完成对推论的证明，提升逻辑推理核心素养

情境导入

将一块薄的硬纸板平放到桌面上，可视作硬纸板和桌面所在的平面重合，如图所示.抬起硬纸板的一端，让另一端紧贴桌面，则硬纸板和桌面所在台面有一条公共直线.继续抬起硬纸板，将纸板的一角支在桌面上，则支点就是硬纸板和桌面所在平面的一个公共点.这时，它们所在的平面就只有这一个公共点么？

提出

问题

引发

思考

思考

分析

回答

折纸实验方便学生学习公理3

考虑到平面具有无限延展性，我们把硬纸板向下延展.容易看出，硬纸板所在的平面与桌面所在的平面有一条公共直线由此，得 到平面的性质：

公理3  如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过该点的公共直线. 

此时，称两个平面相交，并把公共直线称为两个平面的交线.当平面α与平面β相交于直线l 时，记作α⋂β=l.

如图所示，A∈α，A∈β，存在唯一的直线l，使得

A∈l, α⋂β=l.

温馨提示

画两个平面相交时，一定要画出它们的交线，平面被遮挡部分用虚线表示或者不画.

典型例题

例2试用符号语言表示下列语句,并画出相应的图形.

(1)点A、B在直线l上，直线l 在平面α内；

(2)平面α和平面β相交于直线l.

解  (1) A、B ∈l， l ⊆α，如图所示.

画法：

①画平行四边形表示平面α；

②在平行四边形内画点A、B ；

③连接A、B并延长，在直线AB上标出直线l.

(2) α⋂β=l，如左图所示.

画法：

①画线段 AB表示交线l，如右图所示；

②过点A画与l不同的两条相交线段CD、EF，再过点B画 C'D'与E'F'，使C'D'∥CD、E'F'∥EF，C'D'=CD，E'F'=EF；

③连接 CC' 、DD'、EE'、FF'，分别将平面 CD'和平面EF'标注为平面α和平面β，再将被遮挡部分改为虚线或不画，最后擦去字母A、B、C、D、A'、B'、C'、D'.

例3判断下列说法是否正确.

(1)经过三个点有且只有一个平面；

(2)如果直线l与平面α有三个公共点，那么l ⊆α；

(3)用三角板的一个顶点与桌面接触，只有一个公共点，故两 个平面可以只有一个公共点.

解  (1)错误.经过不共线的三点有且只有一个平面.当三点共线时，经过这三个点有无数个平面； 

(2)正确.当一条直线有两个点在平面内时，这条直线就在平面内；

(3)错误.当两个平面有一个公共点时，这两个平面就有一条经过该点的公共直线，因此它们一定有无数个公共点. 

例4 在正方体 ABCD-A1B1C1D1[图(1)]中，找出符合下列条件的平面.

(1)经过点A1、B、D的平面；

(2)经过直线BC和点D1的平面；

(3)经过直线BD和DD1的平面；

(4)经过直线AB和C1D1的平面.

解  (1)经过点A1、B、D的平面是平面A1BD，如图(2)所示；

(2)经过直线BC和点D1平面是平面BCD1，如图(3)所示；

(3)经过直线BD和DD1的平面是平面BDD1，如图(4)所示；

(4)经过直线AB和C1D1的平面是平面ABC1D1，如图(5)所示；

提问

引导

讲解

强调

指导

思考

分析

解决

交流

主动

求解

例2帮助学生进一步熟练使用自然语言、符号语言、图形语言表达数学对象，培养学生的作图能力

例3帮助学生进一步理解平面的三个性质（公理）

例4

帮助学生领悟确定平面的四种基本方法，明白作辅助面是解决立体几何问题的重要办法之一

巩固练习

练习4.1.2

1.判断下列说法是否正确. 

(1) 经过直线m和点A的平面有且只有一个；

(2) 两条相交直线可以确定一个平面； 

(3) 同时经过两条平行直线的平面不止一个； 

(4) 两个平面可以只有一条公共线段.

2. 根据平面的基本性质和推论证明平行四边形是平面图形(填空). 

已知：四边形 ABCD 是一个平行四边形.

求证：AB、BC、CD、DA 四条边共面. 

证明：因为 AB∥CD，所以 AB 和CD 确定平面α，如图所示. 

因为A∈AB，B∈AB，C∈CD，D∈CD,

所以A、B、C、D均在平面α内.

从而，有AD⊆           ，BC⊆           ， AB⊆           ， CD⊆           .

所以，AB、BC、CD、DA四条边共面.

3.试用12根长短相等的小木棍(或铁丝等)制作正方体模型 ABCD-A1B1C1D1，并指出由顶点A和棱CC1所确定的平面.

提问

巡视

指导

思考

动手

求解

交流

及时掌握学生掌握情况查漏补缺

归纳总结

引导

提问

回忆

反思

培养

学生

总结

学习

过程

能力

布置作业

1.书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》；

2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾;

3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.

说明

记录

继续探究

延伸学习