2023届河南省洛阳市普高联考高三上学期测评（三）数学（文）试题（解析版）

这是一份2023届河南省洛阳市普高联考高三上学期测评（三）数学（文）试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届河南省洛阳市普高联考高三上学期测评（三）数学（文）试题 一、单选题1．命题“，”的否定为（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】根据存在量词的命题的否定法则判断可得.【详解】“，”的否定为“，”故选：A．2．若全集，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先对集合解不等式化简，然后利用补集和交集的定义即可求得结果.【详解】由题意解得，因为则，又因为，所以．故选：C．3．已知向量，，，且，则实数m的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出，根据向量垂直，则点乘为0，得到关于的方程，解出即可.【详解】，由可得，解得．故选：A．4．已知F为抛物线C：的焦点，点A为抛物线C上一点，且点A到直线x＝－p的距离为5，则抛物线的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离和到准线的相等即可求得p，既而求得抛物线方程.【详解】由抛物线的定义知点A到直线的距离为3，所以，解得p＝4，所以抛物线的方程为．故选：C．5．定义在R上的偶函数在上单调递增，，，，则a，b，c的大小关系为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】先根据奇偶性把自变量全部转到 上，再比较 与 的大小关系，再根据单调性判断.【详解】，又，即，即，所以，因为为偶函数，所以，又在上单调递增，所以．即；故选：D．6．某正方形数阵如图所示，依据观察，位于第36行第8列的数为（    ）A．367 B．330 C．328 D．324【答案】B【分析】利用观察法找规律，得出第一列的通项公式，则第36行的第一列的数字即确定，再观察得出第36行的通项公式，就可求得第36行第8列的数. 【详解】观察可知，第n行和第n列均为相同的等差数列，第一列数列的通项公式为，则第36行第1列的数为．第36行也是等差数列，公差为37，则通项公式为，则．故选：B．7．如图，在长方体中，，在面中作以棱CD为直径的半圆，且点E在半圆上（不含点C，D），连接AE，BE，CE，DE，则下列说法错误的是（    ）A．平面平面 B．平面平面BCEC．平面ABE D．四棱锥E—ABCD的体积的最大值为【答案】D【分析】对于A，根据线面垂直判定定理，可得答案；对于B，根据圆的性质以及线面垂直的性质定理，结合线面垂直判定定理，可得答案；对于C，根据线面平行的性质定理，可得答案；对于D，利用四棱锥的体积公式以及圆的性质，可得答案.【详解】因为平面，平面ADE，所以平面平面，故A正确；线段CD是半圆的直径，所以，因为平面，平面，，，平面ADE，所以平面ADE，因为平面，所以平面平面BCE，故B正确；因为，平面，平面，所以平面ABE，故C正确；当E为的中点时，四棱锥E—ABCD的体积V最大，此时，故D错误．故选：D．8．如果数列对任意的均有恒成立，那么称数列为“M－数列”，下列数列是“M－数列”的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据各选项的通项公式，直接验证是否恒成立即得．【详解】若，则，即，不满足条件，不是“M－数列”；若，则，即，不满足条件，不是“M－数列”；若，则，即，满足条件，是“M－数列”；若，则，当n＝1，2，3时，，不满足条件，不是“M－数列”．故选:C．9．函数若方程有三个不同的实数根，则实数m的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用导数分析出当时，函数的单调性及最值，作出函数的图象，将问题转化为函数与的图象有三个不同的交点，结合图象即可得实数m的取值范围.【详解】解：方程有三个不同的实数根函数与的图象有三个不同的交点．当时，，令，得，则当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，且，则函数的图象如图所示：要使函数与的图象有三个不同的交点，需，故实数m的取值范围是．故选：D．10．函数的最大值为2，且对任意的，恒成立，在区间上单调递增，则的值为（    ）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】根据函数的最值可得A＝2，根据恒成立可得，由函数的单调性可得，进而求得，求出函数解析式，即可求解.【详解】因为的最大值为2，所以A＝2，因为恒成立，所以当时，函数取得最大值，则，，所以，．当时，，因为在区间上单调递增，所以，解得，即，所以，则．所以，故选：B．11．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点B在直线上，且位于第一象限，直线与直线交于点A，且A是线段的中点，，则C的离心率为（    ）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】根据双曲线渐近线方程可设出点坐标，根据和O是的中点，得出，建立等量关系得，即可求得离心率.【详解】方法一： 由题知直线是双曲线的两条渐近线，如图，因为O是的中点，且，所以，设，则解得即．因为A是的中点，所以，又点A在直线上，所以，解得c＝2a，所以，故选：B．方法二： 因为O是的中点，，所以，因为A是的中点，所以，又，所以，所以，所以，则c＝2a，所以．故选：B．12．已知三棱锥P-ABC的棱长均为6，且四个顶点均在球心为O的球面上，点E在AB上，，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设出三棱锥外接球的半径及球心，构造直角三角形即可求得面积最小值. 【详解】如图，因为三棱锥的棱长均为6，所以点P在平面ABC内的射影H是的中心，取BC的中点D，连接AD，则点H在AD上，且，所以，，，则．设三棱锥P-ABC的外接球半径为R，则OP＝OA＝R，在中，，解得．因为，所以AE＝2，取AB的中点F，则EF＝1，且，所以．当过点E的球O的截面与OE垂直时，截面面积最小，设截面圆的半径为r，则，所以截面面积为．故选：A． 二、填空题13．已知向量，满足，，，则______．【答案】2【分析】对左右两边同时平方，化简代入数值即可求得.【详解】因为，所以.故答案为：2.14．若，且，则______．【答案】##90°【分析】利用三角恒等变换及两角和差公式即可求得的值.【详解】，即，即，则，又，则，，则，即．（写成90°也给分）故答案为：或90°.15．与直线相切于点的圆C过点，则圆C的半径为______．【答案】【分析】由题意知圆心在过点且与直线垂直的直线，求出直线方程，圆心又在MN的垂直平分线上，则两条直线的交点即为圆心，圆心点的距离即为半径.【详解】过点且与直线垂直的直线为，则圆心在直线上，又圆心在线段MN的垂直平分线上，即圆心在直线上.所以圆心坐标为，则圆的半径．故答案为：16．实数、满足，目标函数的最大值为，正实数、满足，则的最小值为______．【答案】【分析】作出可行域，平移直线，找出使得该直线在轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数求出的值，可得出，再将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立可得，即点，同理可得点、，因为，平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即，解得，所以，正数、满足，则，可得，所以，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为．故答案为：. 三、解答题17．在中，内角、、的对边分别为、、，已知角为锐角，，的面积为，且．(1)求；(2)求的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理以及两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用三角形的面积公式可得出，代入余弦定理可得出关于、的齐次等式，即可解得的值．【详解】（1）解：由正弦定理和，得，又，所以，因为，所以，则，又，则，所以．（2）解：由余弦定理得，又，所以，两边同除以，得．18．数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．【答案】(1)(2) 【分析】(1)利用与 的关系求通项即可；(2)利用错位相减法求通项.【详解】（1）当时，．①，当时，②，①-②得，即，当时，满足公式，所以．（2）由（1）知，则③，④，③-④得，所以．19．已知函数，0˂ω˂4，且．(1)求ω的值及函数的单调递增区间；(2)求函数在区间的最小值和最大值．【答案】(1)，，(2)最小值－1；最大值2． 【分析】（1）利用二倍角公式化简可得，再由可得，再根据正弦函数的单调性可得答案；（2）根据的范围和正弦函数值域可得答案．【详解】（1），由知，则，或，，所以，或，，又，则，所以，令，，则，，则函数的单调递增区为，；（2）由（1）知，，则，当，即时，函数有最小值－1；当，即时，函数有最大值2．20．在直三棱柱中，，、、分别为、、的中点，，点在线段上，且，．(1)当时，证明：平面；(2)当为何值时，点到平面的距离为？【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）连接、、，证明出平面，可得出，证明出，可得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）取的中点，连接、，设，推导出，求出的长，求出的面积，利用可求得的值，即可求得的值.【详解】（1）证明：因为平面，平面，，，，、平面，所以，平面，因为平面，，连接、，在直三棱柱中，因为，则，且，为的中点，则，且，因为且，则四边形为平行四边形，则且，、分别为、的中点，则且，故四边形为平行四边形，所以，且，因为且，且，故四边形为平行四边形，平面，平面，，所以，因为，、平面，所以平面，因为平面，所以．连接，如图，，，因为，所以，则，且，所以，则，则，所以．因为，、平面，所以平面．（2）解：连接，因为，，是的中点，所以，且，，，，平面，，平面，设，则，且，取的中点，则，连接，则，且，则，所以，又，由得，解得，又因为，所以，因此，当时，点到平面的距离为．21．已知椭圆的长轴长为，离心率为．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在点，使得直线，关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在点 【分析】（1）依题意可得，再根据离心率求出、从而求出，即可得解.（2）假设存在点，使得直线，关于轴对称．当直线的斜率不为零时，可设直线的方程为，设，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，设直线，的斜率分别设为，，依题意可得，即可得到方程，从而求出的值，即可得解.【详解】（1）解：因为长轴长为，所以，因为离心率，所以，则，所以椭圆的标准方程为．（2）解：假设存在点，使得直线，关于轴对称．当直线的斜率不为零时，可设直线的方程为，联立，得，设，，则，①．显然直线，的斜率均存在，分别设为，，则，所以，即②，把①代入②化简得，该式对任意的恒成立，则，所以存在点，使直线，关于轴对称，当直线的斜率为零时、，此时直线，关于轴对称，综上所述，存在点，使得直线，关于轴对称．22．已知函数，，．(1)若曲线在点处的切线与曲线相切，求实数a的值；(2)若关于x的不等式恒成立，求实数a的最小整数值．【答案】(1)或(2)1 【分析】（1）由导数的几何意义求出在点处的切线，联立，令即可求解a的值；（2）采用参变分离法得，设，利用导数求出的正负区间，进而确定最值范围，即可求解.【详解】（1），则，又，所以曲线在点处的切线方程为，即.令，，则，则，解得或；（2）不等式恒成立，即恒成立，由于，则．设，则，，即．设，则，所以在上单调递减，又，，所以存在，使，即．当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以．又，则，由于恒成立，，所以实数a的最小整数值为1．【点睛】本题考查由导数的几何意义求解切线方程、由直线与曲线相切求参数范围、由不等式恒成立求参数范围，整体难度不大.由不等式恒成立求解参数范围，采用参变分离的前提是：分离参数后，构造的函数容易由导数求解最值；在参变分离不易求解时，常常需要对参数进行分类讨论.