江苏省连云港市灌南高级中学2023-2024学年高二上学期第二次月考 数学试题（含解析）

这是一份江苏省连云港市灌南高级中学2023-2024学年高二上学期第二次月考 数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高二年级数学学科试卷
考试时间长度：120分钟 满分150分
一、单选题（本大题共 8 小题，共 40 分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．已知等比数列中，，则（ ）
A．8B．14C．128D．256
2．直线在x轴上的截距为（ ）
A．3B．5C．D．
3．两圆与的公切线有（ ）条
A．1B．2C．3D．0
4．函数在区间上的平均变化率为（ ）
A．1B．2C．D．0
5．设为实数，若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．不能确定
6．已知双曲线的两条渐近线的夹角为直角，则该双曲线的离心率是（ ）
A．B．1C．D．2
7．意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2除后的余数构成一个新数列，则数列的前2023项的和为（ ）
A．1348B．675C．1349D．1350
8．如图，长为a（a是正常数）的线段AB的两个端点A，B分别在互相垂直的两条直线上滑动，点M是线段AB上靠近A的三等分点，则下列说法正确的为（ ）
A．点M的轨迹是圆B．点M的轨迹是椭圆且离心率为
C．点M的轨迹是椭圆且离心率大小与a有关D．点M的轨迹不能确定
二、多选题（本大题共 4 小题，共 20 分.在每小题有多项符合题目要求）
9．已知双曲线（），则不因k的变化而变化的是（ ）
A．顶点坐标B．渐近线方程C．焦距D．离心率
10．在平面直角坐标系中，两定点的坐标分别是，，且动点C满足，所在直线的斜率之积等于，则下列论断成立的有（ ）
A．若，则动点的轨迹是圆（A，B两点除外）
B．若，则动点的轨迹是焦点在x轴上的椭圆（A，B两点除外）
C．若，则动点的轨迹是焦点在x轴上的椭圆（A，B两点除外）
D．若，则动点的轨迹是焦点在x轴上的双曲线（A，B两点除外）
11．设过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，A，B在抛物线准线上的射影分别为，则下列结论正确的为（ ）
A．是直角B．以线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切
C．若A、B 的纵坐标分别为，，则D．弦AB 长度的最小值为p
12．记为数列的前n项和，以下命题是真命题的是（ ）
A．是等差数列，则的充要条件为
B．是等比数列，则的充要条件为
C．是等差数列的充要条件为﹜是等比数列
D．是等差数列的充要条件为为等差数列
三、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）
13．记为等比数列的前项和，若，则 .
14．抛物线的焦点坐标是 ．
15．设，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为 ．
16．已知为数列的前项和，为数列的前项积（，，），且，则的最大值为 .
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．设函数求：
（1）当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率；
（2）函数在处的导数．
18．记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
19．已知圆，直线
(1)求证：直线l恒过定点;
(2)求直线l被圆C截得的弦长最短时k的值以及最短弦长.
20．（1）求和其中，a，b是不为0的常数，且
（2）若n为大于1的正奇数且，求证：是的一个因式.
21．已知圆的方程是，
(1)若点为圆上一点，过点M作圆的切线，求该切线方程.
(2)若点为圆外一点，过点M作圆的两条切线，切点分别为A、B，
①求直线AB的方程.
②若为直线上的一个动点，试讨论直线AB是否恒过定点，若是，求出定点坐标;若不是，请说明理由
22．已知椭圆C的方程为，其离心率为，，为椭圆的左右焦点，过作一条不平行于坐标轴的直线交椭圆于A，B两点，的周长为8
(1)求椭圆C的方程;
(2)过B作x轴的垂线交椭圆于点
①试讨论直线AD是否恒过定点，若是，求出定点坐标;若不是，请说明理由.
②求面积的最大值.
1．C
【分析】根据等比数列的性质计算出答案.
【详解】由等比数列的性质可知：，
故,
故选：C
2．B
【分析】根据给定条件，利用横截距的意义直接求解即可.
【详解】当时，，
所以直线在x轴上的截距为5.
故选：B
3．C
【分析】先判断出两圆外切，从而得到公切线条数.
【详解】的圆心为，半径为1，
的圆心为，半径为2，
则圆心距，故两圆外切，
故公切线有3条.
故选：C
4．A
【分析】根据平均变化率的计算即可求解.
【详解】在区间上的平均变化率为，
故选：A
5．C
【分析】根据点在圆外可得，即可利用点到直线的距离公式求解.
【详解】点在圆外,故，
圆心到直线的距离为，故直线与圆相交，
故选：C
6．C
【分析】根据等轴双曲线的性质即可求解.
【详解】由于渐近线互相垂直，故双曲线为等轴双曲线，故，
所以，
故选：C
7．C
【分析】由已知条件写出数列的前若干项，观察发现此数列周期为3，从而可求得答案.
【详解】依题意，若，等价于为偶数，若，等价于为奇数，
显然，
猜想：，当时，成立；
假设当时，成立，则为奇数，为偶数；
当时，则为奇数，为奇数，为偶数，
故符合猜想，因此，
，所以数列的前2023项的和为.
故选：C
【点睛】方法点睛：本题主要考查数列的周期性以及应用，考查了递推关系求数列各项的和，利用递推关系求数列中的项或求数列的和：
（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；
（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.
8．B
【分析】设，表达出的坐标，利用得到方程，整理为，可得到点M的轨迹是椭圆，从而求出离心率.
【详解】设，由于点M是线段AB上靠近A的三等分点，
设，，则，
即，故，
由，故，即，
整理得到，点M的轨迹是焦点在横轴上的椭圆，
故离心率为.
故选：B
9．BD
【分析】把方程化成标准形式，再逐项分析判断即得.
【详解】双曲线化为：，实半轴长，虚半轴长，
双曲线的顶点随k的变化而变化，焦距随k的变化而变化，AC不是；
而，渐近线方程不因k的变化而变化，离心率为常数，BD是.
故选：BD
10．ACD
【分析】根据给定条件，求出动点的轨迹方程，再逐项判断即得.
【详解】设点，则，整理得，因此动点的轨迹方程为，
当时，方程表示圆（A，B两点除外），A正确；
当时，方程表示焦点在y轴上的椭圆（A，B两点除外），B错误；
当时，方程表示焦点在x轴上的椭圆（A，B两点除外），C正确；
当时，方程表示焦点在x轴上的双曲线（A，B两点除外），D正确.
故选：ACD
11．ABC
【分析】联立直线与抛物线方程可得韦达定理，即可判断C，根据向量垂直的坐标运算即可求解A，根据圆的半径和圆心即可判断B，根据焦半径公式即可判断D.
【详解】
设过抛物线焦点的直线方程为：，
代入得，，
则，，故C正确，
，，
当直线与轴垂直时，，最小为，故D错误；
以为直径的圆：圆心，，半径为，
圆心与准线的距离，
圆与准线相切，故B正确，
，
所以，故，
故，故为直角，A正确，
故选：ABC．
12．BD
【分析】利用等差数列、等比数列知识，结合充分条件、必要条件的定义逐项判断即得.
【详解】对于A，取等差数列的通项为，对任意的正整数，均有，
此时不一定成立，A错误；
对于B，取等比数列的通项为，对任意的正整数，均有，
此时不一定成立，B错误；
对于C，是等差数列，则为常数，于是是常数，因此﹜是等比数列，
﹜是等比数列，则为常数，令，于是为常数，是等差数列，
所以是等差数列的充要条件为﹜是等比数列，C正确；
对于D，是等差数列，令公差为，则，即有，
于是，数列为等差数列，
反之，为等差数列，令公差为，则，，
当时，，当时，满足上式，
于是，显然为常数，因此是等差数列，
所以是等差数列的充要条件为为等差数列，D正确.
故答案为：BD
【点睛】思路点睛：给出与的递推关系，求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与n之间的关系，再求.
13．
【分析】根据的关系即可得，即可利用求解.
【详解】由可得时，，
相减可得（），
由于为等比数列，所以，
故，所以，
故答案为：
14．
【分析】将抛物线方程转化为标准形式，由此求得抛物线的焦点坐标.
【详解】由得，所以抛物线的焦点在轴上，且，所以抛物线的焦点坐标为.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查抛物线焦点坐标的求法，属于基础题.
15．##
【分析】
根据椭圆的定义、勾股定理列方程，化简求得离心率.
【详解】
因为，所以，
设，则，，
由椭圆定义得：，．
因为，所以，
即
得：，所以，，
在中，，
得：，即，故．
故答案为：

16．108
【分析】根据不等式的性质即可利用列举法求解.
【详解】，且，
，故，
当且仅当取等号，
不妨设为单调递增的数列，则分别为中最小值和最大值，则故，
由于，当时，时，此时最大为42，
当时，时，此时最大为80，
当时，时，此时最大为108，
当时，时，此时最大为108，
当时，时，此时最大为96，
当时，时，此时最大为64，
当时，时，此时最大为32，
故当越来越大时，数列中出现的1的项越来越多，而最大的两项值不超过2，故此时的值不可能超过108，
故最大值为108，
故答案为：108
17．（1）（2）
【分析】（1）求出自变量的改变量，求出函数值的改变量，由函数值的改变量除以自变量的改变量即可得到答案．
（2）先求导，再代入求值即可．
【详解】解：（1）解：，
．
所以函数的平均变化率为．
（2），
18．(1)；(2)7.
【分析】(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：，
设等差数列的公差为，从而有：，
，
从而：，由于公差不为零，故：，
数列的通项公式为：.
(2)由数列的通项公式可得：，则：，
则不等式即：，整理可得：，
解得：或，又为正整数，故的最小值为.
【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.
19．(1)证明见解析；
(2)，最短弦长为.
【分析】（1）根据给定的直线方程，求出所过的定点即可得证.
（2）判断定点与圆的位置关系，再结合圆的性质求解即得.
【详解】（1）直线化为：，
由，解得，
显然当时，对任意的实数，等式恒成立，
所以直线恒过定点.
（2）圆的圆心，半径为，显然，即点在圆内，
当且仅当时，直线l被圆C截得的弦长最短，最短弦长为，
直线的斜率为，则直线的斜率为，解得，
所以，最短弦长为.
20．（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，利用等比数列前n项和公式求和即得.
（2）利用（1）的结论推理即得.
【详解】（1）由，，得，
所以
.
（2）由（1）得，，
即，
当为正偶数，即为正奇数时，，
令，为大于1的正奇数，则有，
令，，则，
所以n为大于1的正奇数且时，：是的一个因式.
21．(1)；
(2)①；②恒过定点.
【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标表示，结合圆的切线性质求解即得.
（2）①设出切点坐标，利用（1）的结论推导即得；②利用①的结论，结合直线的方程即可求解.
【详解】（1）圆的圆心，由点在圆上，得，
设过点M的圆的切线上任意点，当与不重合时，，有，
当与重合时，也成立，而，
因此，整理得，
所以所求切线的方程为.
（2）①设切点，由（1）知切线的方程分别为，，
于是，显然点的坐标满足方程，
所以直线的方程为.
②由①知，直线的方程为，而点在直线上，
即，则直线：，即，
由，解得，因此直线过定点.
22．(1)
(2)①直线AD恒过定点；②
【分析】（1）由椭圆定义得到，得到，结合离心率求出，从而求出，得到椭圆方程；
（2）①设直线，，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，并求出，表达出直线的方程，由对称性可知直线若过定点，则定点在轴上，计算出直线AD恒过定点；
②利用计算出，使用基本不等式求出最值，得到答案.
【详解】（1）由椭圆定义得，
故的周长为，解得，
又，解得，故，
故椭圆方程为；
（2）①由题意得，
设直线，，
则联立得，
设，
，
则，
，
故，
由对称性可知，
则直线的斜率为，
直线的方程为，
由对称性可知，直线若过定点，则定点在轴上，
令得，又，
故
，
故直线AD恒过定点，定点坐标为；
②过点作⊥轴，交于点，
直线方程为，令得，
故，所以，
则，
，
由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，
故的面积最大值为.
【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．