2022届福建省福州第三中学高三上学期第五次质量检测数学试题含解析

这是一份2022届福建省福州第三中学高三上学期第五次质量检测数学试题含解析，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022届福建省福州第三中学高三上学期第五次质量检测数学试题
一、单选题
1．若集合，且，则集合不可能是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由，因为，所以，对选项一一分析即可得结果．
【详解】由，因为，所以
而选项D不满足．
故选：D
2．若复数（a，）满足，则（       ）
A．， B．， C． D．
【答案】D
【分析】利用复数的基本运算结合共轭复数即可求解.
【详解】解：因为复数，所以
所以

因为
即
化简得
所以，解得：，
故选：D.
3．对两个变量y和x进行回归分析，则下列说法中不正确的是（       ）
A．由样本数据得到的回归方程必过样本点的中心.
B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好.
C．用相关指数来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越好.
D．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.
【答案】C
【分析】回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.线性回归方程一定过样本中心点.在一组样本数据中，残差平方和越小，的值越大，拟合的效果越好.对选项逐一分析，即得答案.
【详解】项，由样本数据得到的回归方程必过样本点的中心，正确；
项，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，正确；
项，用相关指数来刻画回归效果，的值越大，拟合的效果越好，故错误；
项，回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，正确.
故选：.
【点睛】本题考查回归分析，属于基础题.
4．在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为（       ）
A．30 B．36 C．60 D．72
【答案】C
【分析】记事件位男生连着出场，事件女生甲排在第一个，利用容斥原理可知所求出场顺序的排法种数为，再利用排列组合可求出答案．
【详解】记事件位男生连着出场，即将位男生捆绑，与其他位女生形成个元素，所以，事件的排法种数为，
记事件女生甲排在第一个，即将甲排在第一个，其他四个任意排列，所以，事件的排法种数为，
事件女生甲排在第一位，且位男生连着，那么只需考虑其他四个人，将位男生与其他个女生形成三个元素，所以，事件的排法种数为种，
因此，出场顺序的排法种数
种，故选C．
【点睛】本题考查排列组合综合问题，题中两个事件出现了重叠，可以利用容斥原理
来等价处理，考查计算能力与分析问题的能力，属于中等题．
5．如图是2021年青年歌手大奖赛中，七位评委为甲､乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中均为数字中的一个），在去掉一个最高分和一个是低分后，则下列说法错误的是（       ）

A．甲选手得分的平均数一定大于乙选手得分的平均数
B．甲选手得分的中位数一定大于乙选手得分的中位数
C．甲选手得分的众数与的值无关
D．甲选手得分的方差与的值无关
【答案】C
【分析】去掉一个最高分和一个最低分后，根据茎叶图可以分别求出甲选手得分和乙选手得分的平均数，中位数，众数的值或者表达式，从而判断选项是否正确.
【详解】由题意，甲选手得分的平均数，
乙选手得分的平均数，故选项A正确；
无论为何值，甲选手得分的中位数一定是85，乙选手得分的中位数是84，故选项B正确；
当时，甲选手得分的众数为81，85，当时，甲选手得分的众数为85，故选项C不正确；
因为是最高分，被去掉，故甲选手得分的方差与的值无关，故选项D正确；
故选：C.
6．19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展.提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根.若圆上有且只有一个点在椭圆的蒙日圆上，则的值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得椭圆的蒙日圆方程为，进而得该圆与已知圆相切，再根据圆的位置关系求解即可.
【详解】解：根据题意，椭圆的蒙日圆方程为，
因为圆上有且只有一个点在椭圆的蒙日圆上，
所以该圆与已知圆相切，
又两圆圆心间距离为，
所以或（无解，舍去），解得
故选：C.
7．如图，三棱台ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，BC＝6，A1B1＝A1C1＝4，AA1＝5，平面BCC1B1⊥平面ABC，则该三棱台外接球的体积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据面面垂直的性质，结合球的几何性质、球体积进行求解即可.
【详解】设的中点分别为，连接，如下图所示：

显然，因为平面BCC1B1⊥平面ABC，平面BCC1B1⊥平面ABC，
所以平面ABC，显然该三棱台外接球的球心在直线上，设球心为
因为AB⊥AC，BC＝6，A1B1＝A1C1＝，
所以，
因此，
当在线段上时，如下图所示：

设，由勾股定理可知：，
所以球的体积为：，
当不在线段上时，如下图所示：
，由勾股定理可知：，方程组无实数解，

故选：A
【点睛】关键点睛：根据球心的位置分类讨论是解题的关键.
8．对于定义在R上的函数，若存在非零实数，使在和上均有零点，则称为的一个“折点”，下列四个函数存在“折点”的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数存在“折点”的条件，对每一选项逐一判断即可.
【详解】对于A选项，，所以 没有零点，
从而没有“折点”，故A不符合题意；
对于B选项，当时，，
因为 单调递增，所以在上有零点，
又因为是偶函数，所以在上有零点，
从而 存在“折点”，故B符合题意；
对于C选项， 因为，所以，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在处取得极大值，
在处取得极小值，
而，所以在上只有一个零点，所以C不符合题意；
对于D选项，因为，令解得，只有一个零点，故D选项不符合题意；
故选：B
二、多选题
9．关于函数，则下列命题正确的是（       ）
A．存在、使得当时，成立
B．在区间上单调递增
C．函数的图象关于点中心对称
D．将函数的图象向左平移个单位长度后与的图象重合.
【答案】AC
【分析】化简f(x)的解析式，利用余弦型或正弦型函数的图像与性质即可逐项判断﹒
【详解】，
A选项，周期为，根据f(x)图像的对称性知存在、使得当时，成立，A对；
B选项，在上单调递减，故在区间上单调递减，B错；
C选项，因为，所以函数的图象关于点中心对称，C对；
D选项，的图象向左平移个单位长度后为，D错；
故选：AC.
10．在平面直角坐标系中，过抛物线的焦点作一条与坐标轴不平行的直线，与交于两点，则下列说法正确的是（     ）
A．若直线与准线交于点，则
B．对任意的直线，
C．的最小值为
D．以为直径的圆与轴公共点个数为偶数
【答案】ABC
【分析】先表示出点的坐标再将直线和抛物线联立可求出， 的关系，进而可以判断出选项，根据焦半径和均值不等式可判断出C选项的正误，求出以为直径的圆的圆心和半径可以确定D的正误.
【详解】对于A选项，两点在抛物线上，所以，
因为直线与准线交于点，所以直线为：，，
由得，所以
设直线 的方程为，联立 得，
所以，，所以，
即，所以，故A正确；
对于B选项，由A可知，故 B正确；
对于C选项，由B选项可知，，，
当且仅当，即时等号成立，故 C 正确；
对于D选项，设直线的方程为﹐
在抛物线上，所以，
以为直径的圆的半径，
的中点坐标为，，
所以以为直径的圆与轴相切，所以，以为直径的圆与轴公共点个数为1，故D错误；
故选：ABC
11．已知函数.则下列说法正确的是（       ）
A．当时，
B．当时，直线与函数的图像相切
C．若函数在区间上单调递增，则
D．若在区间上，恒成立，则
【答案】BD
【分析】对于A：当时，，求导函数，分析导函数的符号，得出函数的单调性，从而求得函数的最小值；
对于B：当时，，求导函数，设切点为，则过切点的切线方程为：，由切线过原点，求得，继而求得过原点的切线方程；
对于C：问题等价于在区间上恒成立，分离参数得在区间上恒成立，令，求导函数，分析导函数的符号，得函数的单调性和最值，由此可判断；
对于D：问题等价于在区间上恒成立，时，不等式恒成立；当时，分离参数，令，求导函数，分析的符号，得函数的单调性和最值，由此可判断.
【详解】对于A，当时，，易知函数在上单调递减，在上单调递增，，故选项A不正确；
对于B，当时，，
函数在处的切线方程为，故选项B正确；
对于C，，若函数在区间上单调递增，则在上恒成立，
，令，则，
函数在上单调递减，，故选项C错误；
对于D，当时，R恒成立；
当时，恒成立等价于恒成立，即，即恒成立，
设，则在上恒成立，
在上单调递减，，故选项D正确.
故选：BD.
12．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（       ）

A．
B．与所成角的余弦值为
C．与平面所成角的余弦值为
D．到底面的距离为
【答案】ABD
【分析】通过空间向量的线性运算和数量积运算可以判断A，根据夹角公式可以判断B；
过A1作出底面ABCD的垂线（需要证明），进而求出距离判断D，然后找到线面角并求出余弦值判断C.
【详解】对A，因为，所以，
，A正确；
对B，由，则，
，,
所以，B正确；
对C和D，如图

取AB中点M，连接A1M，由题意可知 为正三角形，所以，且 ，
作PM⊥AB，交AC于P，易知∠PAM=30°，则 ，
因为，所以，即，
连接A1P， ，
所以，，即，而，所以平面ABCD，则AA1与平面ABCD所成的角为，而，故C错误；
又∥平面，所以到底面的距离即为点A1到底面的距离，距离为，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．在区间[0，3]上任取一个数a，能使函数f（x）=ax-1在区间[-1，1]内有零点的概率为___________.
【答案】
【分析】分，两种情况讨论，当时，转化为，结合，可得，利用几何概型的概率公式，即得解
【详解】当时，函数没有零点，
当时，函数在R上单调，
又函数在区间内有零点，
则，解得或者，
又因为，则，
所以函数在区间内有零点的概率为.
故答案为：.
14．展开式中的常数项为___________.
【答案】
【分析】可视为5个相乘，求其常数项，分该5个代数式都提供相乘、该5个代数式中1个提供，1个提供，3个提供相乘、该5个代数式中2个提供，2个提供，1个提供相乘，再相加可得答案.
【详解】解：可视为5个相乘，求其常数项，按照分类加法和分步乘法原理进行求解，
情形一：该5个代数式都提供相乘，则此时常数项为；
情形二：该5个代数式中1个提供，1个提供，3个提供相乘，此时常数项为；
情形三：该5个代数式中2个提供，2个提供，1个提供相乘，此时常数项为.
综合三种情形可知，其常数项为.
故答案为：.
15．已知实数x、y满足，则的取值范围___________.
【答案】.
【分析】设为圆上任意一点，求出P到直线的距离｜PM｜，可得，则，再求出的范围得答案.
【详解】解:：设为圆上任意一点，
则P到直线的距离，即 ，

设圆与直线相切，
则，解得，
的最小值为，最大值为

.
故答案为：
四、双空题
16．设首项是1的数列的前项和为，且则______；若，则正整数的最大值是________．
【答案】     5     16
【分析】根据递推公式即可求得，由题意可得，，可得，可得奇数项和偶数项的通项公式，求和公式，考虑，计算可得所求最小值．
【详解】解：因为，
则，，
由，可得，，
则，，可得，
所以，，
，
，所以，
当时，，又，
所以，所以正整数的最大值是16.
故答案为：5，16.
五、解答题
17．如图，在四边形中，，且,．

(1)求的长；
(2)若 ，求的面积．
从①，②，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
【答案】(1)
(2)选①时：;选②时：
【分析】（1）、根据二倍角的余弦公式求出,再求出,然后利用余弦定理即可求出的长；
（2）、选①时：根据两角和的正弦公式求出，利用正弦定理求出，结合三角形面积公式计算即可；
选②时：利用余弦定理求出，结合三角形面积公式计算即可；
【详解】(1)由，得,,,
在中，由余弦定理得：,,
(2)选①时:由（1）可知，
，，
在中，,,
;
选②时: 由（1）可知，，
在中，由余弦定理得,,即，，
.
18．已知数列满足，且.
(1)证明：为等差数列，并求的通项公式；
(2)令，，求.
【答案】(1)证明见解析，，；
(2).
【分析】（1）根据题意，结合递推公式，易知，即可求证；
（2）根据题意，结合错位相减法，即可求解.
【详解】(1)证明：∵，∴，，
∴为等差数列，首项为，公差为3.
∴，即，.
(2)解：根据题意，得，
，①
，②
①-②得，
故.
19．如图，多面体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，四边形BDEF是正方形.

(1)求证；CF∥平面AED；
(2)求直线AF与平面ECF所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据线面平行的判定定理，可得平面，平面，进而由面面平行的判定定理，可得平面平面，最后根据面面平行的性质即可得证平面；
（2）取的中点，所以，取的中点，连接，则，由平面，有平面，从而建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，利用向量法即可求得直线与平面所成角的正弦值.
【详解】(1)证明：因为是菱形，所以，
又平面，平面，
所以平面，
又因为是正方形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
因为平面，平面，，
所以平面平面，
因为平面，
所以平面．
(2)解：因为四边形为菱形，且，所以为等边三角形，
取的中点，所以，取的中点，连接，则，
因为平面，所以平面，
如图建立空间直角坐标系，

因为，所以，
所以，，．
设平面法向量为，，，
则，即 ，
令，则，
设与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
20．2021年7月18日第30届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学隆重举行．为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照，，，，，，，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生成绩的中位数；
(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在，，，，，的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在，的人数，求的分布列和数学期望；
(3)转化为百分制后，规定成绩在，的为等级，成绩在，的为等级，其它为等级．以样本估计总体，用频率代替概率，从所有参加生物学竞赛的同学中随机抽取100人，其中获得等级的人数设为，记等级的人数为的概率为，写出的表达式，并求出当为何值时，最大？
【答案】(1)，68
(2)分布列见解析，
(3)，，1，3，，40，40
【分析】（1）利用频率之和为列方程，化简求得的值，根据由频率分布直方图计算中位数的方法，计算出中位数.
（2）结合超几何分布的知识计算出的分布列和数学期望.
（3）根据二项分布的知识求得，由此列不等式，解不等式来求得的最大值时对应的的值.
【详解】(1)由频率分布直方图的性质可得，，
解得，
设中位数为，
，解得．
(2)，，，，，的三组频率之比为，
从，，，，，中分别抽取7人，3人，1人，
所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
故的分布列为：

0
1
2
3





故．
(3)等级的概率为，等级为，
，，1，3，，40，
令①，②，
由①可得，，解得，由②可得，，解得，
故时，取得最大．
21．已知椭圆．

(1)若椭圆E的焦距为2，求实数a的值；
(2)点A，B，C位于椭圆E上，且A，B关于原点对称．若椭圆E上存在等边，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件中的的值，求得参数a的值.
（2）为等边三角形，有，对直线斜率存在情况进行讨论，不存在及为0时，直线是确定直线，易求得a的值.当斜率存在且不为0时，设其方程为，则直线方程为，然后与椭圆联立，求得的表达式，由，求得参数a的范围.
【详解】(1)由题知，，所以；
(2)若为等边三角形，应有，即．
若直线斜率不存在时，即直线方程为，且．
此时若为等边三角形，点C应在长轴顶点，且，即．
若直线斜率为0，即直线方程为，且．
此时若为等边三角形，点C应在短轴顶点，
此时，不为等边三角形．
当直线斜率存在且不为0时，设其方程为，则直线方程为．
由，得．
同理．
因为，所以，解得．
因为，所以，若有解，只需，即．
综上，a的取值范围是．
22．已知函数．
（1）判断函数在区间上零点的个数；
（2）设函数在区间上的极值点从小到大分别为，证明成立
【答案】（1）3；（2）详见解析．
【分析】（1）先求出，再对分四个区间讨论得到在有3个零点；
（2）由题得，证明在有极小值点，即为，在有极大值点即为，在有极小值点，再证明，，即得证.
【详解】解（1）
当时，无零点；
当时，单调递减
又有唯一零点；
当时，单调递增
又有唯一零点；
当时，单调递减
又有唯一零点；
综上所述：在有3个零点.
（2），
由（1）知：在无极值点；在有极小值点，即为，
在有极大值点即为，在有极小值点，
又，
，，
可知 ，
由得
，
，
而，故有

在是增函数，，
即

.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数研究函数的极值点，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.