2023届陕西省西安市第四十八中学等2校高三下学期2月联考数学（文）试题含答案

2023届陕西省西安市第四十八中学等2校高三下学期2月联考数学（文）试题

一、单选题

1．复数的虚部为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】C

【分析】利用复数的乘法运算求出复数，然后根据复数的概念即可求解.

【详解】因为，

所以的虚部为1，

故选：.

2．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合，利用对数函数的性质求出集合，然后根据交集的定义即可求解.

【详解】因为，

且，

所以，

故选：.

3．某社区有1500名老年居民、2100名中青年居民和1800名儿童居民．为了解该社区居民对社区工作的满意度，现采用分层抽样的方法从这些居民中抽取一个容量为n的样本，若中青年居民比老年居民多抽取20人，则（    ）

A．120 B．150 C．180 D．210

【答案】C

【分析】根据分层抽样的方法计算即可.

【详解】由题可知，解得．

故选：C

4．曲线在处切线的倾斜角为，则（    ）

A．2 B． C．1 D．

【答案】C

【分析】根据给定函数，利用导数的几何意义求出，再利用齐次式法计算作答.

【详解】因为，则，因此，

所以.

故选：C

5．在正方体中， 分别为的中点，则直线与夹角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】结合正方体的几何特征作出直线与所成的角，解三角形即可得答案.

【详解】如图，取的中点M．连接，

由于分别为的中点，

故,而,即四边形为平行四边形，

故,所以，

则或其补角即为与所成的角．

不妨设，则，

即为等腰三角形，故，

则直线与夹角的余弦值为，

故选：D

6．定义在R上的奇函数满足，当时，，则（    ）

A． B． C．1 D．3

【答案】B

【分析】先求出函数的周期，再根据对称性求解.

【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以，解得，

又，所以，则 ，即是以4为周期的周期函数，

；

故选:B.

7．已知椭圆的左、右焦点分别为，M为C上一点，若的中点为，且的周长为，则C的标准方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据的周长可得，由的中点坐标求得M坐标，代入椭圆方程可得关系式，解方程可得的值，即可求得答案

【详解】因为的周长为，所以，则，

又,的中点为 ，所以M的坐标为，

故，则，

结合，，解得，

所以椭圆C的标准方程为，

故选：A

8．设等差数列{}的前n项和为，若，则当取得最大值时，＝（    ）

A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】C

【分析】根据条件，利用等差数列的性质可得出，，即可求解.

【详解】在等差数列{}中，由，得，

则，又，

∴，，则当取得最大值时，．

故选：C

9．将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上恰有2个零点，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意得，由得，由在上恰有2个零点，得 ，即可解决.

【详解】由题可知，，

先将函数的图象向右平移个单位长度，得，

再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得，

当时，，

因为在上恰有2个零点，

所以，解得.

所以的取值范围为，

故选：B

10．设O为坐标原点，是双曲线的左、右焦点，已知双曲线C的离心率为，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，则（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】A

【分析】不妨设，求出，然后算出可得答案.

【详解】不妨设，

则，．

由余弦定理可得，，

所以，所以．

故选：A

11．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用换底公式及做差法可比较大小，利用作为中间量可比较大小.

【详解】因为，则

，故；

又，且，在上单调递增，则，

故，所以.

故选： D

12．已知正三角形的边长为6， ，，且，则点到直线距离的最大值为（    ）

A． B．3 C． D．

【答案】D

【分析】由结合得出点在线段上运动，进而得出点到直线距离的最大值.

【详解】因为，所以，

所以．如图，设，

，则．因为，，

所以点在线段上运动，显然，当点与点重合时，点到直线的距离取得最大值．

故选：D

二、填空题

13．设满足约束条件，则的最大值为__________.

【答案】6

【分析】作出可行域，根据的几何意义，即可得出最大值.

【详解】画出可行域

解可得，.

由图可知，当直线经过点时，取得最大值6.

故答案为：.

14．在区间上随机抽取1个数，则事件“”发生的概率为______.

【答案】

【分析】根据几何概型计算求解即可.

【详解】由，解得.

因为，

所以事件“”发生的概率为.

故答案为：.

15．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自《庄子·天下》，其中蕴含着数列的相关知识，已知长度为4的线段，取的中点C，以为直径作圆（如图①），该圆的面积为，在图①中取的中点D，以为直径作圆（如图②），图②中所有圆的面积之和为，以此类推，则________．

【答案】

【分析】求得，确定各圆的面积成以为首项，为公比的等比数列，即可求得答案.

【详解】由题意可知，，后一个圆的半径为前一个圆半径的一半，

故各圆的面积成以为首项，为公比的等比数列，

故，

故答案为：

16．某圆锥的底面半径为1，高为3，在该圆锥内部放置一个正三棱柱，则该正三棱柱体积的最大值为__________．

【答案】/

【分析】作出对应的图形，设正三棱柱上底面外接圆的半径为r，利用题意得出三棱柱的高，，进而求出体积的表达式，利用导数求出体积的最值即可.

【详解】如图，设正三棱柱上底面外接圆的半径为r，三棱柱的高为h,根据题意作出圆锥的轴截面，

由可得，则该三棱柱的高，，

则该三棱柱的体积，，

当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；

所以时，V取得最大值，且最大值为．

故答案为：.

三、解答题

17．猜灯迷是我国一种民俗娱乐活动，某社区在元宵节当天举行了猜灯谜活动，工作人员给每位答题人提供了5道灯谜题目，答题人从中随机选取2道灯迷题目作答，若2道灯谜题目全答对，答题人便可获得奖品.

(1)若甲只能答对工作人员所提供的5道题中的2道，求甲能获得类品的概率；

(2)若甲不能获得奖品的概率为，求甲能答对所提供灯谜题目的数量.

【答案】(1)

(2)3

【分析】（1）根据古典概型公式计算即可；

（2）根据对立事件概率和为1，由甲不能获得奖品的概率求出甲能获得奖品的概率，再求出答对的题目数量.

【详解】（1）设工作人员提供的5道灯谜题目为，，，，，甲能答对的题目为，.

从这5道题目中随机选取2道，总的事件有，，，，，，，，，，共10种情况，

甲2道题目全答对的事件有这1种情况，故甲能获得奖品的概率为.

（2）因为甲不能获得奖品的概率为，所以甲能获得奖品的概率为.

设甲能答对所提供灯谜题目的数量为，由（1）可知，.

若，不妨设甲能答对的题目为，，，

则甲2道题目全答对的事件有，，，共3种情况，

甲能获得奖品的概率为，符合题意，

故甲能答对所提供灯谜题目的数量为3.

18．如图，在三棱锥中，为的中点.

(1)证明：平面；

(2)求点到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）证明，，结合线面垂直的判定即可证；

（2）点O到平面PAC距离，即为三棱锥面PAC的高，计算出与即可.

【详解】（1）证明：因为为的中点，所以.

连接，因为，所以.

又，所以，所以.

因为平面平面，

所以平面.

（2）因为，

所以，.

，

.

设点到的距离为，则，则.

设点到平面的距离为，则.

因为，所以，解得，

即点到平面的距离为.

19．在中，点D在边上，且．

(1)若平分，求的值；

(2)若成递增的等比数列，，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）运用余弦定理求出 的关系，再运用正弦定理求解；

（2）运用余弦定理求出AB，BC的值，再求出 ，用面积公式计算即可.

【详解】（1）

设，则，

因为平分，所以，设，则，

在中，，

在 中，，

由，得，

；

（2）因为成递增的等比数列，，所以，

在 中，，

在 中，，

因为，所以，整理得，

又，所以 ，解得或，

若，则，不符合题意，

若，则，符合题意，此时，

则 的面积.

20．已知抛物线的焦点为F，圆，过C上一点作C的切线，该切线经过点．

(1)求C的方程；

(2)若与C相切的直线l，与E相交于P，Q两点，求面积的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，然后可建立方程求出；

（2）设l与C相切于点，然后求出切线的方程，然后求出、点到l的距离，然后表示出面积，然后可得答案.

【详解】（1）由，得，则．

设该切线的斜率为k，则．

由题可知，，因为该切线经过点，所以，

解得，故C的方程为．

（2）设l与C相切于点，则l的方程为，即．

由（1）可知，E的方程为．则圆心到l的距离．

因为l与E相交，所以，整理得．

．

点到l的距离，

的面积，

当且仅当时，等号成立，故面积的最大值为．

21．已知函数，.

(1)当时，求的单调区间；

(2)若恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间

(2)

【分析】（1）求导，由指数函数，余弦函数的单调性确定，得出的单调区间；

（2）讨论，，利用导数得出的最小值，进而由得出的取值范围.

【详解】（1）因为，所以，.

当时，，，则，

故的单调递增区间为，无单调递减区间.

（2）因为，所以.

若，则由（1）可知，在上恒成立，

则在上单调递增，故，符合题意.

若，令函数，则在上恒成立，

故在上单调递增.

因为，且当时，，所以，.

故当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

则，不符合题意.

综上所述，的取值范围为.

【点睛】关键点睛：解决问题（2）时，关键将问题转化为最值问题，由得出的取值范围.

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

(2)过曲线上任意一点作与直线的夹角为45°的直线，且与交于点，求的最小值.

【答案】(1)曲线的普通方程为；直线的直角坐标方程为.

(2)

【分析】（1）对曲线的参数方程消去参数，可得曲线的普通方程；将代入的极坐标方程中，可得直线的直角坐标方程；

（2）设，利用点到直线的距离公式和三角函数的性质求解即可.

【详解】（1）曲线的参数方程为（为参数），

由，消去参数，可得曲线的普通方程为.

将代入直线的极坐标方程中，

可得直线的直角坐标方程为.

（2）设，

则点到的距离其中.

因为过点的直线与的夹角为45°，所以，

故的最小值为.

23．已知函数.

(1)求不等式的解集；

(2)设函数的最大值为，若正数，满足，求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）对分，及讨论去掉绝对值号解不等式即可；

（2）由绝对值不等式性质可知，再利用基本不等式求最值即可.

【详解】（1）依题意，

当时，不等式转化为，解得.

当时，不等式转化为，解得.

当时，不等式转化为，解得.

综上所述，不等式的解集为.

（2）由（1）得，，所以，

则，

当且仅当，时，等号成立，故的最小值为.