内蒙古呼和浩特市2024届高三第一次质量监测文科数学试题

2024届呼和浩特市高三年级第一次质量监测

文科数学

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号涂写在答题卡上，本试卷满分150分，考试时间120分钟．

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．

3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡上．）

1．若，则z的虚部是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

2．设集合，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

3．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

4．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则（    ）

A． B． C． D．

5．已知是奇函数，则（    ）

A． B． C．0 D．1

6．正六边形ABCDEF的边长是2，则（    ）

A． B． C． D．12

7．设O为平面直角坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则点A落在区域内的概率为（    ）

A． B． C． D．

8．若函数存在1个零点位于内，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

9．某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到相同主题的概率为（    ）

A． B． C． D．

10．已知函数的最小正周期为，时函数图像位于最低点，则（    ）

A． B． C．1 D．

11．已知实数x，y满足方程．则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

12．设A，B为双曲线右支上的两点，若线段AB的中点为，则直线AB的方程是（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答；第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡的相应位置．）

13．若x，y满足约束条件，则的最小值为__________．

14．若，，则__________．

15．已知点在抛物线C：上，则A到焦点F的距离为__________．

16．已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，满足，，，若平面ABC，则__________．

三、解答题（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（12分）某教育集团为了办好人民满意的教育，每年底都随机邀请8名学生家长代表对集团内甲、乙两所学校进行人民满意度的民主测评（满意度最高120分，最低0分，分数越高说明人民满意度越高，分数越低说明人民满意度越低）．去年测评的结果（单位：分）如下

甲校：96，112，97，108，100，103，86，98；

乙校：108，101，94，105，96，93，97，106；

（Ⅰ）分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的平均数及方差；

（Ⅱ）根据以上数据，你认为这两所学校中哪所学校的人民满意度比较好．

18．（12分）记为数列的前n项和，已知．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前n项和．

19．（12分）如图所示，AB为圆O的直径，平面ABC，Q在线段PA上．

（Ⅰ）求证：平面平面ACQ；

（Ⅱ）若Q为靠近P的一个三等分点，，，求的值．

20．（12分）设函数，．

（Ⅰ）当时，求函数在处的切线方程；

（Ⅱ）讨论函数的单调性；

（Ⅲ）若在R上恒成立，求实数a的取值范围．

21．（12分）已知抛物线C：焦点为，直线l与抛物线C交于，两点，且，（O为坐标原点）．

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）求证：直线l过定点．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分．

［选修4-4：坐标系与参数方程］

22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（t为参数）．

（Ⅰ）写出的直角坐标方程；

（Ⅱ）若与只有一个公共点，写出的直角坐标方程．

［选修4-5：不等式选讲］

23．（10分）已知．

（Ⅰ）画出的图像，并写出的最小值；

（Ⅱ）求与直线围成的封闭图形面积．

文科数学参考答案

一、选择题

二、填空题

13． 14． 15．4 16．

三、解答题

17．（1）

（2）甲乙的平均数相同，但是甲的方差大，数据波动就大，乙的方差小，数据相对集中，所以乙的人民满意度比较好

18．（1）由题知

当时，，

当时，符合

∴

（2）由（1）知时，：时，

①时，

②时，

综上所述：

19．（1）证明：由题知

∵平面ABC，平面ABC，∴

又∵，平面ACQ，平面ACQ

∴平面ACQ

又∵平面BCQ，∴平面平面ACQ

（2）

（方法不唯一，酌情给分）

20．解（1）：∵  ∴，，，

∴切线方程为：

（2）

①当时，，在R上单调递增；

②当时，，

综上所述：

时，的单调递增区间为R；

时，的单调递减区间为，单调递增区间

（3）

令，即，

①时，，单调递增，，，不合题意，舍去

②时，恒成立，此时

③时，由（2）知，，故只需即可

综上所述：

（方法不唯一，酌情给分）

21．（1）解：，

（2）证明：令l：，，

联立得：

则，，

解得或（由得，，故舍去）

∴l：过定点

（方法不唯一，酌情给分）

22．解：（1）

（2）

23．解：（1）图像略，

（2）当时，