内蒙古呼和浩特市2024届高三第一次质量数据监测文科数学试卷

这是一份内蒙古呼和浩特市2024届高三第一次质量数据监测文科数学试卷，共11页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，已知，则，记的内角的对边分别为等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前考生务必将自己的姓名、考生号、座位号涂写在答题卡上．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．回答第Ⅰ卷时选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．答题Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．在复平面内，复数对应的点为，复数对应的点为，则向量的模长（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，则“”是“与的夹角为针角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．如图，边长为1的正方形，其中边在轴上，点与坐标原点重合，若正方形沿轴正向滚动，先以为中心顺时针旋转，当落在轴上时，再以为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形的某个顶点落在轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转．设顶点滚动时形成的曲线为，则（ ）
A．0B．C．1D．
5．函数的部分图像如图所示，把函数的图像向右平移得到，则的解析式为（ ）
A．B．C．D．
6．数的概念起源于大约300万年前的原始社会，如图所示，当时的人类用在绳子上打结的方法来计数，并以绳结的大小来表示野兽的大小，即“结绳计数”．如图是利用“结绳计数”设计的程序框图，若输人的，则输出的结果为（ ）
A．2394B．154035C．14000D．1995
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知直线，圆，当直线被圆截得的弦最短时，的方程为（ ）
A．B．C．D．
9．记的内角的对边分别为．若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．在区间上，函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．已知椭圆的左、右顶点分别为，左焦点为为椭圆上一点，直线与直线交于点的角平分线与直线交于点，若，的面积是面积的倍，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
12．已知正方体的棱长为为棱的中点，为侧面的中心，过点的平面垂直于，则平面截正方体所得的截面面积为（ ）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22题-第23题为选考题．考生根据需求作答．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为_______．
14．用一个圆心角为，面积为的扇形（为圆心）用成一个圆锥（点恰好重合），该圆锥顶点为，底面圆的直径为，则的值为_______．
15．已知实数，且，则的最小值是_______．
16．已知定义在上的彔数，满足不等式，则的取值范围是_______．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（一）必考题：共60分．
17．如图，在三棱锥中，，为的中点．点在棱上
（1）证明：平面平面；
（2）若，求点到平面的距离．
18．为了解甲、乙两种农药在某种绿植表面的残留程度，进行如下试验：将100株同种绿植随机分成两组，每组50株，其中组绿植喷甲农药，组绿植喷乙农药，每株绿植所喷的农药体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在绿植表面的百分比，根据试验数据分别得到如图直方图：
记为事件：“乙农药残留在表面的百分比不低于5.5”，根据直方图得到的估计值为0.70．
（1）求乙农药残留百分比直方图中的值；
（2）估计甲农药残留百分比的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）估计乙农药残留百分比的中位数．（保留2位小数）
19．已知数列的前项和为且．
（1）求的值；（2）求数列的通项公式．
20．已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）令，求在处的切线的方程，并证明的图象在直线的上方．
21．已知抛物线上任意一点满足的最小值为1（为焦点）．
（1）求的方程；
（2）过点的直线经过点且与抛物线交于两点，请探索三者之间的关系，并证明．
（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，从极点作射线，交射线于点为射线上的点，且点的轨迹方程为，曲线的参数方程为（为参数）．
（1）求的极坐标方程；
（2）当将与轴所围成的面积分为时，求的普通方程．
23．已知．
（1）求的解集；
（2）记的最小值为，且，求证：．
呼和浩特市高三文科数学一模参考答案
一、选择题
二、填空题
13． 14． 15．24 16．
三、解答题
17．（1）证明：连接．
，
，即是直角三角形，
又为的中点，，
又，
，
则，
平面，
平面平面面面；
（2）解：由（1）得平面，
在中，，
，
，
，
设点到平面的距离为．
由，可得，
解得，
点到平面的距离为．
18．解：（1）为事件：“乙农药残留在表面的百分比不低于5.5”，
根据直方图得到的估计值为0.70．
则由频率分布直方图得：，
解得乙农药残留在表面的百分比直方图中．
（答的扣一分）
（2）估计甲农药残留百分比的平均数为：
．
（3）设乙农药残留百分比的中位数为
解得
19．因为，
所以．
两式相减，得．
所以；
（2）由（1）知①，
可得②，．
因为，
所以，又，
所以
又由①②得．
所以，即为偶数，
则当，且为奇数时，
，
又符合上式，综合得．
20．解：的定义域为
（1）
当或时，在上单调递增；
当时，在上单调递减；
所以，的增区间是和的减区间是．
（2）由（1）知：
又，所以，
在处的切线方程为
令，
则
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减；
所以，当时，取得最小值
当时，，
故当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减；
因此，当时，取得最小值，
即：的图象在直线的上方．
21．（1）解：令，则
因为，所以的最小值为，即，抛物线的方程为
（2）三者关系为：
证明：令
则
联立得，由韦达定理得
综上所述：
22．解：（1）设点的极坐标为，
则
（2）
直线过半圆的圆心，所以直线的倾斜角为或时满足题意
曲线的普通方程为（写出一条直线给3分）
23．（1）
当时，，解得
当时，，解得
当时，，解得
当时，，解得
综上所述，的解集为
（2）当时，的最小值为3
当时，的最小值为
当时，的最小值为
当时，的最小值为2
综上，的最小值为
，当且仅当取等
令，则
（图像法酌情给分）1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
D
B
A
A
C
A
C
B
C
B
D