内蒙古呼和浩特市2024届高三上学期学业质量监测数学（理）试题及答案

这是一份内蒙古呼和浩特市2024届高三上学期学业质量监测数学（理）试题及答案，共9页。试卷主要包含了已知向量，，若，则，在斜三角形中，若，则，直线等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号涂写在答题卡上.
本试卷满分150分，考试时长120分钟.
2.作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知复数的共轭复数是，满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.已知集合，，则（ ）
A.B.
C.D.
3.已知向量，，若，则（ ）
A.2B.4C.D.
4.已知一个正三棱柱的三视图如下图所示，则该三棱柱的体积为（ ）
A.B.12C.D.16
5.俗话说“斜风细雨不须归”，在自然界中，下雨大多伴随着刮风.已知某地8月份刮风的概率为，下雨的概率为，既刮风又下雨的概率为.记事件为“8月份某天刮风”，事件为“8月份某天下雨”，则（ ）
A.B.C.D.
6.在斜三角形中，若，则（ ）
A.1B.C.D.2
7.直线（）截圆所得弦长的最小值是（ ）
A.2B.C.4D.6
8.已知函数，若，则实数的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
9.在中，为的角平分线，在线段上，若，，则（ ）
A.B.C.2D.
10.小明将与等边摆成如图所示的四面体，其中，，若平面，则四面体外接球的表面积为（ ）
A.B.C.D.
11.过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于、两点，且，若抛物线的准线与轴交于点，则点到直线的距离为（ ）
A.B.C.D.
12.若向量，，则以、为邻边的平行四边形的面积可以用、的外积表示出来，即.已知在平面直角坐标系中，、，，则面积的最大值为（ ）
A.1B.C.2D.3
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.的展开式中常数项为______.
14.将函数（）的图象向右平移个单位后，所得到的函数图象关于轴对称，则______.
15.已知双曲线：（，）的左右焦点分別为、，过的直线与双曲线交于、两点（在第一象限，在第四象限），若，则该双曲线的离心率为______.
16.已知函数，当时，恒成立.则实数的取值范围是______.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个学生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）2023年秋末冬初，某市发生了一次流感聅病，某医疗团队为研究本地的流感疾病与当地居民生活习惯（良好、不够良好）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100人（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
（1）分别估计病例组和对照组中生活习惯为良好的概率；
（2）能否有99%的把握认为感染此次流感疾病与生活习惯有关？
附：
18.（12分）已知正方体的棱长为2，为的中点，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
19.（12分）已知正项数列满足：.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
20.（12分）已知椭圆的方程为（），离心率为，点在椭圆上.其左右顶点分别为、，左右焦点分别为、.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线过轴上的定点（点不与、重合），且交椭圆于、两点（，），当满足时，求点的坐标.
21.（12分）已知函数.
（1）求在处的切线方程；
（2）若，且，求证：.
（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（），曲线的参数方程为（为参数）.
（1）求曲线的普通方程；
（2）若，，在曲线上任取一点，求的面积.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）将函数的图象与直线围成图形的面积记为，若正数、、满足，求证：.
2024高三理科数学
参考答案
一、选择题
二、填空题
13.80 14. 15. 16.
三、解答题
17.（1）由调查数据，病例组为生活习惯为良好的频率，
因此病例组为生活习惯为良好的概率的估计值为0.25；
对照组为生活习惯为良好的频率
因此对照组为生活习惯为良好的概率的估计值为0.45.
（2）
由于，
故有99%的把我说患有该疾病与生活习惯有关.
18.（1）证明：取中点，连接、、
∵、为中点，∴
又∵，∴四边形为平行四边形
∴
又∵平面，平面
∴平面
（2）解：以点为原点，为轴，为轴，为轴，
建立空间直角坐标系，则，，
设平面，则
设平面，
，
∴平面与平面夹角的余弦值为
19.解：（1）当时，，∴
当时，，∴
时，符合上式，∴
（2）
∴
20.解：（1）由题知，又，
所以，，故椭圆的标准方程为
（2）设直线的方程为，，，
，，
联立，得，
由韦达定理，得，
由题得，（*）
∵，∴，
∴
，解得
故直线的方程为，经过轴上的定点.
21.（1）解：，，
，
故在处的切线方程为
（2）证明：（）
，
∵
∴，
（）
下证：（）
令
∵，∴
又，
∴，即.
22.解：（1）的参数方程为（），
可得的普通方程为
（2）的普通方程为，
直线的斜率为，
直线的方程为：，即.
则上任意一点到直线的距离，
易得，
所以，.
23.解：（1）由可得，
即，解得.
所以不等式的解集为.
（2），
由图可知：，
则（当且仅当时，等号成立）
即，即.
良好
不够良好
病例组
25
75
对照组
45
55
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
D
C
A
B
D
C
C
B
C
B
A