河南省重点高中2021-2022学年高三上学期阶段性调研联考二理科数学试题（Word版含答案）

河南省重点高中2021-2022学年高三上学期阶段性调研联考二

理科数学试卷

满分150分，时间120分钟

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考场填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。

一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设全集为R，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知，，则对应的点的轨迹为（    ）

A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段

3.下列命题为真命题的个数是（    ）

①是无理数，是无理数；

②若，则或；

③命题“若，，，则”的逆否命题为真命题；

④函数是偶函数.

A． B． C． D．

4．在等差数列中，，，则（    ）

A．0 B．m C．n D．

5．如图，在直三棱柱中，，，，、分别是、的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（    ）

A．       B．    C． D．

6．函数在的图象大致为（    ）

A．  B． 

C．    D.

7．我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦日尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问几何日相逢，各穿几何？意思是：今有土墙厚5尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天也打洞一尺，大鼠之后每天打洞厚度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞厚度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？此时，各打洞多少？两鼠相逢需要的天数最小为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

8．函数，当上恰好取得5个最大值，则实数的取值范围为

A． B． C． D．

9.设是定义域为的偶函数，且在单调递增，设，，，则（    ）

A． B．

C． D．

10．若函数在上取得极大值，在上取得极小值，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

11．已知函数满足，且对任意的，都有，则满足不等式的的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12．已知三棱锥中，底面为等边三角形,点为的中点，点为的中点，若点是空间中的两动点，且则（   ）

A．3 B．4 C．6 D．8

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知等比数列的公比，其前项和为，且，，则　　．

14.设实数、满足约束条件，则的取值范围为       ．

15.已知椭圆，，是的长轴的两个端点，点是上的一

点，满足，，设椭圆的离心率为，则       ．

16.在中，若，，则的面积为     ．

三、解答题：（共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生读必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）

（一）必考题：共60分

17．（本题12分）下图的茎叶图记录了甲，乙两组各八位同学在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）.已知甲组数据的中位数为24，乙组数据的平均数为25.

（1）求的值；

（2）计算甲、乙两组数据的方差，并比较哪一组的成绩更稳定？

18．（本题12分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，是边长为的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形.

（1）证明：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

19．（本题12分）已知等比数列的前项和为，且，数列满足，其中.

（1）分别求数列和的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

20．（本题12分）如图所示，已知椭圆的两焦点分别为，，为椭圆上一点，且+.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若点在第二象限，，求的面积.

．

21．（本题12分）已知函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间与极值.

（3）若对任意的，都有恒成立，求的取值范围.

（二）选考题，共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

（10分）

22．在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为（t为参数） ．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是．

（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若点的极坐标为，直线经过点且与曲线相交于两点，求两点间的距离的值．

（10分）

23．已知函数.

（1）若，解不等式；

（2）若，且的最小值为，求证：.

理科数学

1-12    BDBAC    ABCAD      AB

13．2           14 ．         15．           16．

三．解答题

17．下图的茎叶图记录了甲，乙两组各八位同学在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）.已知甲组数据的中位数为24，乙组数据的平均数为25.

（1）求x，y的值；

（2）计算甲、乙两组数据的方差，并比较哪一组的成绩更稳定？

【详解】

（1）由，得，

由，得．…………5分

（2）设甲、乙两组数据的方差分别为、，

甲组数据的平均数为，

，，

因为，所以乙组的成绩更稳定．…………12分

18．如图，在四棱锥中，平面平面，，，是边长为的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形.

（1）证明：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】

（1）利用面面垂直的性质定理可得出平面，可得出，再由已知条件结合线面垂直的判定定理可得出平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；

（2）证明出平面，，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.

【详解】

（1）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，

平面，所以.

又因为，，所以平面.

因为平面，所以平面平面；…………6分

（2）取的中点，连接、，

因为，所以.

又因为平面，平面平面，平面平面，

所以平面.

因为平面，所以.

因为，所以.

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，

由题意得、、、、，

所以，，.

设平面的法向量为，则，即，

令，则，，所以.

所以，，

则直线与平面所成角的正弦值为.…………12分

19．已知等比数列的前项和为，且，数列满足，其中.

（1）分别求数列和的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

【详解】

（1）设等比数列的公比为，

由已知，

可得，

两式相减可得，

即，整理得，可知，

已知，令，得，

即，解得，

故等比数列的通项公式为；

由得：

，

那么，

以上个式子相乘，

可得，

，又满足上式，

所以的通项公式.…………6分

（2）若，

所以，

，

两式相减得：

，

所以.…………12分

20．如图所示，已知椭圆的两焦点分别为，，为椭圆上一点，且+.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若点在第二象限，，求的面积.

【详解】

（1）设椭圆的标准方程为，焦距为，

因为椭圆的两焦点分别为，，可得，，

所以，可得，所以，

则，

所以椭圆的标准方程为．…………6分

（2）因为点在第二象限，，

在中，由．

根据余弦定理得，

即，解得，

所以．…………12分

21．已知函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间与极值.

（3）若对任意的，都有恒成立，求a的取值范围.

【详解】

（1）当时，，，

∴，∴，

切点为，

∴曲线在点处的切线方程为，即；…………4分

（2），

①当时，恒成立，

∴函数的递增区间为，无递减区间，无极值；

②当时，令，解得或（舍）

x，，的变化情况如下表：

∴函数的递增区间为，递减区间为，.

综上：当时，函数的递增区间为，无递减区间，无极值；当时，函数的递增区间为，递减区间为，.…………8分

（3）对任意的，使恒成立，只需对任意的，.

所以由（2）的结论可知，

①当时，函数在上是增函数，

∴，∴满足题意；

②当时，，函数在上是增函数，

∴，∴满足题意；

③当时，，函数在上是减函数，在上是增函数，

∴，

∴不满足题意.

综上，a的取值范围为.…………12分

22．    在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为（t为参数） ．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是．

（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若点的极坐标为，直线经过点且与曲线相交于，两点，求，两点间的距离的值．．

【详解】

（1）由参数方程可得，消去参数可得直线的普通方程为：，即；

即，

转化为直角坐标方程可得曲线的直角坐标方程为；…………5分

（2）∵的极坐标为，∴点的直角坐标为．

∴，直线的倾斜角．

∴直线的参数方程为．

代入，得．

设，两点对应的参数为，，则，

∴．…………10分

23．已知函数.

（1）若，解不等式；

（2）若，且的最小值为，求证：.

【详解】

解：（1）当时，函数

①当时，由得，所以无解

②当时，由得，所以；

③当时，由得，所以.

综上，不等式的解集为.…………5分

（2）因为，

当时，取到最小值，

所以，即.

所以，当且仅当时等号成立.

即成立.…………10分