河南省重点高中2021-2022学年高二上学期阶段性调研联考一数学试题（理）

这是一份河南省重点高中2021-2022学年高二上学期阶段性调研联考一数学试题（理），共9页。试卷主要包含了双曲线C，与圆及圆都外切的圆的圆心在，如图，在正三棱柱中，为的中点.，设数列的公比为q，由得，所以等内容，欢迎下载使用。

说明：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．将代表选择题答案的字母对应的答题卡方框涂黑。
一、选择题(每小题5分,共12小题,共60分)
1．经过点且在轴上的截距为的直线方程是( )
A．B．C．D．
2．两条平行直线与间的距离等于（ ）
A．B．C．D．
3. 已知方程表示圆，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．或
4. 若直线平分圆，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．或
5．双曲线C：（，）的实轴长为4，左焦点F到C的一条渐近线的距离为3，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
6. 设是椭圆的两个焦点，若上存在点满足，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ）．
A．一个圆上B．一个椭圆上C．双曲线的一支上D．抛物线上
8. 若过点的直线与抛物线有且只有一个交点，则这样的直线共有
( )条数.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
9. 直角坐标系中，双曲线的左焦点为，，是右支上的动点，则的最小值是（ ）
A．8B．9C．10D．12
10. 已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，以为直径的圆过点，则的值为（ ）
A．B．C．D．10
11.已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭圆相交于点、，则（ ）
A．当时，的面积为1B．不存在使为直角三角形
C．存在使四边形面积最大D．存在，使的周长最大
12. 在直角坐标平面上，点的坐标满足方程，点的坐标满足方程则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．已知直线过点，且横截距与纵截距相等，则直线的方程为__________________。
14．过点（1，2）总可作两条直线与圆相切，则实数的取值范围是 .
15．已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若， ，则该球的表面积等于 .
16. 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：
（1）AC⊥BD； （2）△ACD是等边三角形；
（3）AB与平面BCD所成的角为60°； （4）AB与CD所成的角为60°。
则正确结论的序号为
三．解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.
17．赣州市公安局交警支队依据《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：所有主干道路凡机动车途经十字口或斑马线，无论转弯或者直行，遇有行人过马路，必须礼让行人，违反者将被处以100元罚款，记3分的行政处罚．如表是本市一主干路段监控设备所抓拍的5个月内，机动车驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：
（1）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程；
（2）预测该路段月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数．
参考公式：．
18．如图，在正三棱柱中，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）证明：平面；
（3）若，求直线与平面所成角的正弦值.



19．某中学组织了地理知识竞赛，从参加考试的学生中抽出40名学生，将其成绩（均为整数）分成六组，，…，，其部分频率分布直方图如图所示．观察图形，回答下列问题．
（1）求成绩在的频率，并补全这个频率分布直方图：
（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（计算时可以用组中值代替各组数据的平均值）
（3）从成绩在和的学生中选两人，求他
们在同一分数段的概率．

20.已知为等比数列，且各项均为正值，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前n项和为，求.
21. 已知直线过定点，圆：．
（1）若与圆相切，求的方程；
（2）若与圆交于，两点，求面积的最大值，并求此时的直线方程．
22. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，，，，．
(1)求证：平面PCA⊥平面PCD；
(2)设E为侧棱PC上的一点，若直线BE与底面ABCD所成的角为45°，求二面角 的余弦值．
理科数学答案
选择题
1-4 CADA 5-8 CACD 9-12 BACB
二．填空题
13. 14.
15. 16.（1）（2）（4）
三．解答题
17．解：（1）由表中数据，计算；………………2分
………………4分
…6分
所以与之间的回归直线方程为 …8分
（2）时，………………10分
18．（1）证明：连接，交于点，连接.
因为为矩形，则为的中点；
因为为的中点，所以，
又因为平面，平面，
所以//平面.…………4分
（2）在正三棱柱中，
因为平面，平面，所以.
因为为等边三角形，为的中点，所以.
又因为，平面，所以平面；…………8分
（3）由（2）知，平面，所以 即为直线与平面所成的角，
设等边的边长为2，则，
所以在中，，，所以.
即直线与平面所成的角的正弦值为.…………12分
19．解：（1）因为各组的频率之和等于1，所以成绩在的频率为
…………2分
补全频率分布直方图如图所示：
（2）根据题意，60分及以上的分数在，，，这四个组，其频率之和为，故本次考试的及格率为75% ……………………6分
利用中值估算学生成绩的平均分，则有
…………8分
所以本次考试的平均分为71分。
（3）成绩在的人数为人，成绩在的人数为人
从成绩在和的学生中选两人，将分数段的4人编号为，，，，将分数段的2人编号为，，从中任选两人，则基本事件构成集合
共15个，其中同一分数段内所含基本事件为：，，，，
，，共7个，故概率 ………………12分
20．(1)设数列的公比为q，由得，所以
由条件可知，故………………2分
由，得，故数列的通项公式为；………………4分
（2）因为 ………………6分
故…………………8分
∴………10分

所以数列的前n项和.………………12分
21.（1）由题，得圆的标准方程为，则圆心坐标为，半径…1分
①当直线的斜率不存在时，直线，符合题意；………………2分
②当直线的斜率存在时，设直线：，即．………3分
因为直线l与圆相切，
所以圆心到直线l的距离等于半径，即，解得，……………4分
所以直线的方程为，化为一般式为． ………………5分
综上，l的方程为或； ………………6分
（2）由第（1）知直线与圆交于两点，则斜率必定存在，则直线l的方程为，
所以圆心到直线l的距离，………………7分
所以面积，………………9分
所以当时，取得最大值2，由，
解得或，………………11分
所以直线l的方程为或．………………12分
22.解：(1)在平行四边形ABCD中，∠ADC=60°，，，由余弦定理得
，
∴，∴∠ACD=90°，即CD⊥AC，………………1分
又PA⊥底面ABCD，CD底面ABCD，∴PA⊥CD，…………2分
又，∴CD⊥平面PCA.………………3分
又CD平面PCD，∴平面PCA⊥平面PCD.………………4分
(2)如图，以A为坐标原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴，
y轴，z轴，建立空间直角坐标系.
则，，，，.
设，，则
∴x=0，，，即点E的坐标为
∴ ……………………6分
又平面ABCD的一个法向量为，∴sin45°
解得 ……………………8分
∴点E的坐标为，∴，，
设平面EAB的法向量为，由得
令z=1，得平面EAB的一个法向量为 ………………10分
∴.
又二面角E-AB-D的平面角为锐角，
所以，二面角E-AB-D的余弦值为 ……………………12分月份
1
2
3
4
5
违章驾驶员人数
120
105
100
90
85