黑龙江省哈尔滨德强学校2021-2022学年高三上学期期末考试数学（文）试题（清北班）（Word版含答案）

德强高中2021-2022学年度上学期期末验收考试

高三学年  (清北)文科数学试题

   答题时间：120分钟   满分：150分

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知i为虚数单位，，则在复平面内z对应的点位于(    )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是(    )

A． B．y＝x3 C． D．

3．已知集合，集合，则(    )

A． B． C． D．

4．已知，则“函数的图象关于y轴对称”是“”的(    )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．已知等比数列{an}的前n项和为，则的最小值为(    )

A．2 B． C．4 D．5

6．已知向量则下列说法不正确的是(    )

A．若，则t的值为 

B．若，则t的值为2 

C．的最小值为1 

D．若与的夹角为钝角，则t的取值范围是t＜2

7．已知正项等比数列{an}中，a2＝2，a4＝8，数列的前n项和为Sn，则(    )

A．32 B．21 C．16 D．8

8．直线与圆相切，则m＝(    )

A．1 B．3 C．0或1 D．0或3

9．把函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若，则的最大值为(    )

A． B．π C． D．2π

10．已知既不是奇函数也不是偶函数，若的图像关于原点对称，的图像关于轴对称，则的最小值为(    )

A． B． C． D．

11．已知椭圆C：，左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，P为C上一动点，记，则(    )

A．2 B．4 C． D．

12．已知是定义在上的可导函数，是的导函数，若，，则在上(    )

A．单调递增 B．单调递减 C．有极大值 D．有极小值

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．等差数列的前项和为，若，则___________．

14．已知点，过点作直线的垂线，垂足为H，则|PH|的最小值为___________．

15．已知函数是奇函数，若函数与y＝f（x）图象的交点分别（x1，y1），（x2，y2），…，（x6，y6），则交点的所有横坐标和纵坐标之和为___________．

16．椭圆：的左，右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点，已知，则椭圆的离心率为___________.

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．

17．(10分) 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)已知点，直线l与曲线C交于A、B两点，与y轴交于M点，若|PA|，|PM|，|PB|成等比数列，求直线l的普通方程．

18．(12分) 在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若__________．

(1)求A；

(2)若点M在线段AC上，，求c．

19．(12分) 如图，四边形ABEF为正方形，若平面ABCD⊥平面ABEF，AD∥BC，AD⊥DC，AD＝3DC＝3BC＝3．

(1)在线段AD上是否存在点P，使平面EBP⊥平面EBC，请说明理由；

(2)求多面体ABCDEF的体积．

20．(12分) 为推动实施健康中国战略，树立国家大卫生、大健康观念，手机APP也推出了多款健康运动软件，如“微信运动”，某运动品牌公司140名员工均在微信好友群中参与了“微信运动”，且公司每月进行一次评比，对该月内每日运动都达到10000步及以上的员工授予该月“运动达人”称号，其余员工均称为“参与者”，如表是该运动品牌公司140名员工2021年1月5月获得“运动达人”称号的统计数据：

(1)由表中看出，可用线性回归模型拟合“运动达人”员工数y与月份x之间的关系，求y关于x的回归直线方程，并预测该运动品牌公司6月份获得“运动达人”称号的员工数；

(2)为了进一步了解员工的运动情况，选取了员工们在3月份的运动数据进行分析，统计结果如下：

请补充如表中的数据（直接写出m，n得值），并根据如表判断是否有95%的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关？

参考公式：

21．(12分) 城市决定在夹角为30°的两条道路EB、EF之间建造一个半椭圆形状的主题公园，如图所示，AB＝2千米，O为AB的中点，OD为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域OMN，其中M，N在椭圆上，且MN的倾斜角为45°，交OD于G．

(1)若OE＝3千米，为了不破坏道路EF，求椭圆长半轴长的最大值；

(2)若椭圆的离心率为，当线段OG长为何值时，游乐区域△OMN的面积最大？

22．(12分) 设函数

(1)当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数p的取值范围；

(2)已知，若有极大值M，极小值m，求证：．

   德强高中2021-2022学年度上学期期末验收考试

高三学年  (清北)文科数学参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

AACBC   DBDCC   BA

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．9      14．        15．6       16．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．

17.（10分）

【解答】解：（I）∵曲线C的极坐标方程为ρ＝，

∴ρ2＝①，∵②，

∴联立①②可得，．

（II）把直线l的参数方程代入 可得，（1+3sin2α）t2﹣2cosαt﹣3＝0，由韦达定理可得，，

点M对应的参数为xM＝﹣1+t3cosα＝0，所以，

∵|PA|，|PM|，|PB|成等比数列，

∴|PA|•|PB|＝|PM|2，即，化简整理可得，2sin2α＝cos2α，

∴，即直线l的斜率为，

故直线l的方程为x﹣ 或x+．

18．（12分）

【解答】解：（1）若选①：因为（2b﹣c）cosA＝acosC，

由正弦定理得（2sinB﹣sinC）cosA＝sinAcosC，即2sinBcosA＝sinCcosA+sinAcosC，

所以2sinBcosA＝sinB，因为0＜B＜π，所以sinB≠0，可得cosA＝，因为0＜A＜π，故A＝．

若选②：∵（sinA+sinB）（a﹣b）＝c（sinC﹣sinB），∴由正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）＝c（c﹣b），即：b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理得cosA＝，∵A∈（0，π），∴A＝．

选择条件③，tanA+tanB+tanC＝tanBtanC，因为tanA＝﹣tan（B+C）＝﹣，

所以﹣tanA+tanAtanBtanC＝tanB+tanC，即tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC，

所以tanAtanBtanC＝tanBtanC，因为tanBtanC≠0，所以tanA＝，

因为A∈（0，π），所以A＝．

（2）因为，可得1﹣2sin2＝，可得sin＝，cos＝，

在△ABM中，sin∠AMB＝sin（+∠ABM）＝+＝，

由正弦定理可得＝，可得c＝5．

19．（12分）

【解答】解：（I）存在这样的点P，线段AD上取DP＝1．由3BC＝3．得BC＝1，

所以DP＝BC，AD∥BC，所以四边形PDCB是平行四边形，AD⊥DC，

所以四边形PDCB是矩形，所以BP⊥BC，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABEF为正方形，

所以BE⊥平面ABCD，又EB⊂平面CBE，所以平面ABCD⊥平面CBE，

又BP⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面CBE＝BC，所以BP⊥平面CBE，又BP⊂平面BPE，

所以平面EBP⊥平面EBC；

（II）在Rt△ABP可求得AB＝＝，BD＝，在△ABP中，sin∠BAD＝＝＝，所以可得AB边上的高h＝3×＝，

所以VD﹣ABEF＝×××＝，VE﹣BCD＝×S△BCD×BE＝，

所以多面体ABCDEF的体积为．

20．（12分）

【解答】解：（1）由题意，，

又，，

则，

故，故

所以预测该运动品牌公司6月份获得“运动达人”称号的员工数为﹣9×6+127＝73人；

（2）由题意，m＝20，n＝40，

所以，

故没有95%的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关．

21．（12分）

【解答】解：（1）以O为坐标原点，以OD所在的坐标为x轴，以OA所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，

由题意A（0，1），E（3，0），由∠OEF＝30°，所以|OF|＝|OE|•tan30°＝，

所以F（，0），kEF＝﹣，

所以直线EF的方程为：y＝﹣x+，

设OD＝a，则D（a，0），

所以椭圆+y2＝1，当a最大时直线EF与椭圆相切，

整理可得：（1+3a2）x2﹣62x+8a2＝0，

Δ＝（6a）2﹣4（1+3a2）•8a2＝0，解得a＝（﹣舍）

所以椭圆的长半轴长为；

（2）因为e＝＝，b＝1，a2＝b2+c2，所以a2＝4，

所以椭圆的方程为：+y2＝1；

设OG＝t＞0，则G（t，0），直线MN的方程为：y＝x﹣t，

联立，整理可得：5x2﹣8tx+4t2﹣4＝0，

设M（x1，y2），N（x2，y2）则x1+x2＝，x1x2＝，

|y1﹣y2|＝|x1﹣x2|＝＝＝•，

S△OMN＝|OG|•|y1﹣y2|＝•t••＝，

要保证MN与半椭圆有交点，当N位于B时t＝1，

所以1＜t＜2，当t2＝﹣＝，即t＝，S△OMN有最大值为1，

综上所述，当OG＝时，三角形OMN的面积最大．

22.（12分）

【解答】解：（1）当 a＝0，b＝−1 时，f（x）＝lnx+x，所以lnx+x＝px，又x＞0，所以，

所以，要使方程f（x）＝px在区间[1，e2]内有唯一实数解，只需p＝1+在区间[1，e2]内有唯一实数解．

令g（x）＝1+（x＞0），则g（x）＝1+（x＞o），由g′（x）＞0，解得0＜x＜e，

令g′（x）＜0，解得x＞e，所以g（x）在[1，e2]上是增函数，在[e，e2]上是减函数，

，

所以．

证明：（2）若f（x）有极大值M，极小值m，

则h（x）＝ax2+bx−1在（0，+∞）上有两个不等实数根，所以，

又a＜﹣c，所以，①设f（x）有极大值点为x1，极小值点为x2，

则，

所以

＝

＝

由①得，所以，

所以M+m＜−3．