黑龙江省哈尔滨德强学校2021-2022学年高三上学期期末考试数学（理）试题（清北班）（Word版含答案）

德强高中2021-2022学年度上学期期末验收考试

高三学年  (清北)理科数学试题

     答题时间：120分钟   满分：150分

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，则下列说法一定正确的是(    )

A．若M∪N＝{1，3，4}，则M∩N＝∅ 

B．若M∪N＝{1，3，4}，则M∩N≠∅ 

C．若M∩N＝∅，则M∪N有4个元素 

D．若M∩N≠∅，则M∪N＝{1，3，4}

2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是(    )

A．若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β 

B．若m∥α，m∥n，则n∥α 

C．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β 

D．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β

3．使“”成立的必要不充分条件是“(    )”

A． B． 

C．   D．

4. 已知a＞0，且，则(    )

A．有最大值 B．有最大值 

C．有最小值 D．有最小值

5. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆．若用面积为144的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆τ，且τ与矩形ABCD的四边相切．设椭圆τ在平面直角坐标系中的方程为，下列选项中满足题意的方程为(    )

A． B．

C． D．

6．已知函数满足，则tanx0＝(    )

A．2 B． C． D．

7．在数列中，，则(    )

A． B． C． D．

8．已知平面向量满足，若，则|(    )

A．1 B．2 C． D．

9．已知球O为正三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为1，高为3，则球O的表面积是(    )

A． B． C． D．

10．已知既不是奇函数也不是偶函数，若的图像关于原点对称，的图像关于轴对称，则的最小值为(    )

A． B． C． D．

11．已知EF是圆的一条弦，且CE⊥CF，P是EF的中点，当弦EF在圆C上运动时，直线上存在两点A，B，使得恒成立，则线段AB长度的最小值是(    )

A． B． C． D．

12．椭圆的左顶点、左焦点、上顶点分别为A，F，B，若坐标原点O关于直线BF的对点恰好在直线AB上，则椭圆C的离心率e的取值范围(    )

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．复数的共轭复数是__________．

14．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E在棱AA1上，AE＝3A1E，点G是棱CD的中点，点F满足，则直线EF与直线D1G所成角的余弦值为__________．

15．已知点在直线上的射影为M，点，则线段MN长度的最小值为__________．

16．以原点为对称中心的椭圆C1，C2焦点分别在x轴，y轴，离心率分别为e1，e2，直线l交C1，C2所得的弦中点分别为，若，则直线l的斜率为__________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．

17．(10分) 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)已知点，直线l与曲线C交于A、B两点，与y轴交于M点，若|PA|，|PM|，|PB|成等比数列，求直线l的普通方程．

18．(12分) 在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若__________．

(1)求A；

(2)若点M在线段AC上，，求c．

19．(12分) 2021年“德强杯”男子篮球联赛在德强学校进行，大赛分为常规赛和季后赛两种．常规赛分两个阶段进行，每个阶段采用循环赛，分主场和客场比赛，积分排名前8的球队进入季后赛．季后赛的总决赛采用五场三胜制（“五场三胜制”是指在五场比赛中先胜三场者获得比赛胜利，胜者成为本赛季的总冠军）．假设下面是腾飞队在常规赛42场比赛中的比赛结果记录表：

(1)根据表中信息，是否有85%的把握认为腾飞队在常规赛的“胜负”与“主客场”有关？

(2)假设腾飞队与某队在季后赛的总决赛中相遇，且每场比赛结果相互独立，并假设腾飞队除第五场比赛获胜的概率为外，其他场次比赛获胜的概率等于其在常规赛42场比赛中获胜的频率．记X为腾飞队在总决赛中获胜的场数,求X的分布列.

附：．

参考数据：

20．(12分) 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．

如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，CB＝CP，E为棱PC的中点，F为棱PB上一点，FP＜FB，连接DB，DE，DF，EF．

(1)求证：DE⊥平面PBC；

(2)若EF⊥PB，连接BE，判断四面体DBEF是否为鳖臑,若是，写出其每个面的直角；若不是，写出其不是直角三角形的面；

(3)延长FE，BC交于点G，连接DG，若二面角F﹣DG﹣B的大小为，求

21．(12分) 已知椭圆C：长轴长为4，P在C上运动，F1，F2为C的两个焦点，且cos∠F1PF2的最小值为．

(1)求C的方程；

(2)已知过点的动直线l交C于两点A，B，线段AB的中点为N，若为定值，试求m的值．

22．(12分) 已知函数．

(1)讨论函数的单调性；

(2)当a＝0时，恒成立，求m的取值范围．

德强高中2021-2022学年度上学期期末验收考试

高三学年  (清北)理科数学参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

DCADA  DCBBC  BB

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．i       14．        15．       16．±1．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．

17.（10分）

【解答】解：（I）∵曲线C的极坐标方程为ρ＝，

∴ρ2＝①，∵②，

∴联立①②可得，．

（II）把直线l的参数方程代入 可得，（1+3sin2α）t2﹣2cosαt﹣3＝0，由韦达定理可得，，

点M对应的参数为xM＝﹣1+t3cosα＝0，所以，

∵|PA|，|PM|，|PB|成等比数列，

∴|PA|•|PB|＝|PM|2，即，化简整理可得，2sin2α＝cos2α，

∴，即直线l的斜率为，

故直线l的方程为x﹣ 或x+．

18．（12分）

【解答】解：（1）若选①：因为（2b﹣c）cosA＝acosC，

由正弦定理得（2sinB﹣sinC）cosA＝sinAcosC，即2sinBcosA＝sinCcosA+sinAcosC，

所以2sinBcosA＝sinB，因为0＜B＜π，所以sinB≠0，可得cosA＝，因为0＜A＜π，故A＝．

若选②：∵（sinA+sinB）（a﹣b）＝c（sinC﹣sinB），∴由正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）＝c（c﹣b），即：b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理得cosA＝，∵A∈（0，π），∴A＝．

选择条件③，tanA+tanB+tanC＝tanBtanC，因为tanA＝﹣tan（B+C）＝﹣，

所以﹣tanA+tanAtanBtanC＝tanB+tanC，即tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC，

所以tanAtanBtanC＝tanBtanC，因为tanBtanC≠0，所以tanA＝，

因为A∈（0，π），所以A＝．

（2）因为，可得1﹣2sin2＝，可得sin＝，cos＝，

在△ABM中，sin∠AMB＝sin（+∠ABM）＝+＝，

由正弦定理可得＝，可得c＝5．

19．（12分）

【解答】解：（1）由题意的列联表：

∵＝<2.072，

∴没有85%的把握认为腾飞队在常规赛的“胜负”与“主客场”之间有关．

（2）（ⅰ）由题意：腾飞队在常规赛中获胜的概率为：，

X的可能取值为0，1，2，3，且，

，

，

，

故X的分布列为：

20．（12分）

解：（Ⅰ）证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，

由地面ABCD为长方形，有BC⊥CD，

而PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD．

而DE⊂平面PCD，所以BC⊥DE，

又PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC．

而PC∩BC＝C，

所以DE⊥平面PBC；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，而PB⊂平面PBC，所以PB⊥DE．

又PB⊥EF，DE∩EF＝E，所以PB⊥平面DEF．

由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体DBEF的四个面都是直角三角形，

即四面体DBEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．

（Ⅲ）由题意可知，以D为坐标原点，射线DA，射线DC，射线DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，设PD＝DC＝2，则，

由题意可知，二面角F﹣DG﹣B即为平面DEF与平面ABCD所成的角，

则D（0，0，0），，C（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），设F（x，y，z），，则，所以，即，

则，，

设平面FDG的法向量，则，即，

令，则，所以，

又平面BDG的法向量为，

因此，，

整理得，解得，

所以．

21．（12分）

【解答】解：（1）由题意得a＝2，

设|PF1|，|PF2|长分别为p，q．

则

（当且仅当p＝q时取等号）

从而，得，∴a2＝4，b2＝3，

则椭圆的标准方程为．

（2）①若直线l的斜率不存在，易得；

若直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx+m，联立，

得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，易知Δ＞0恒成立，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则，

且，，

＝

＝

＝，

要使上式为常数，必须且只需4m2﹣3＝0，即．

此时＝﹣3为定值，符合题意．

综上可知，当时，能使得若＝﹣3．

22.（12分）

【解答】解：（1）因为f（x）＝ax﹣（a+1）lnx﹣，

所以f′（x）＝a﹣+＝＝，

当a＝0时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，

当a＜0时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，

当0＜a＜1时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，

当a＝1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，

当a＞1时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，

综上所述，当a≤0时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，

当0＜a＜1时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，

当a＝1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，

当a＞1时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．

（2）当a＝0时，由f（x）≥mxex﹣+x+1恒成立，

可得lnx+x+1≤﹣mxex恒成立，

即ln（xex）+1≤﹣mxex恒成立，

令xex＝t＞0，则lnt+1≤﹣mt（t＞0）恒成立，

即≤﹣m（t＞0）恒成立，

令g（t）＝（t＞0），

则g′（t）＝＝0，得t＝1，

所以函数g（t）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，

所以g（t）max＝g（1）＝1，

所以﹣m≥1，即m≤﹣1，

所以m的取值范围为（﹣∞，﹣1]．