2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市香坊区德强学校高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市香坊区德强学校高二（下）期末数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列集合与集合相等的是(    )

A.  B.
C.  D. ，

2. 设，“”是“”的(    )

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件

3. 设，，，则，，的大小关系正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知函数，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知函数是的导函数，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 在一次闯关游戏中，小明闯过第一关的概率为，连续闯过前两关的概率为事件表示小明第一关闯关成功，事件表示小明第二关闯关成功，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 为考察某种营养品对儿童身高增长的影响，用一部分儿童进行试验，根据个有放回简单随机样本的数据，得到如下列联表：

参考公式：，其中．
参考数据：

(    )

A.
B.
C. 从样本中随机抽取名儿童，抽到食用该营养品且身高有明显增长的儿童的概率是
D. 根据小概率值的独立性检验，可以认为该营养品对儿童身高增长有影响

8. 已知函数满足，则的最大值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 下列有关一元线性回归方程模型的结论中，正确的有(    )

A. 在经验回归方程中，当解释变量每增加个单位时，相应变量增加个单位
B. 若样本相关系数的绝对值越接近于，则车队样本数据的线性相关程度越强
C. 若决定系数的值越接近于，则表示回归模型的拟合效果越好
D. 在回归模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好

10. 下列函数，在区间上单调递增的是(    )

A.  B.
C.  D.

11. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象(    )

A. 所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度
B. 所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D. 向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

12. 现有编号为，，的三个口袋，其中号口袋内装有两个号球，一个号球和一个号球：号口袋内装有两个号球，一个号球；号口袋内装有三个号球，两个号球；第一次先从号口袋内随机抽取个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法正确的是(    )

A. 在第一次抽到号球的条件下，第二次抽到号球的概率是
B. 第二次取到号球的概率
C. 如果第二次取到号球，则它来自号口袋的概率最大
D. 如果将个不同小球放入这个口袋内，每个口袋至少放个，则不同的分配方法有种

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 的展开式中的系数为______．
14. 已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是          ．
15. 已知正数，满足，则的最小值为______．
16. 已知，，是函数且的三个零点，则的取值范围是______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    设全集，集合，集合．
    若“”是““的充分条件，求实数的取值范围；
    若命题“，则“是真命题，求实数的取值范围．
18. 本小题分
    已知函数，．
    求函数的最小正周期；
    求函数在上的单调区间．
19. 本小题分
    已知函数．
    Ⅰ求的单调区间；
    Ⅱ求在区间上的最值．
20. 本小题分
    某学校组织“纪念共青团成立周年“知识竞赛，有，，三类问题，每位参加比赛的同学需要先选择一类并从中随机抽取一个问题回答，只有答对当前的问题才有资格从下一类问题中再随机抽取一个问题回答．类问题中的每个问题回答正确得分，否则得分：类问题中的每个问题回答正确得分，否则得分，类问题中的每个问题回答正确得分，否则得分，已知小康同学能正确回答类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
    若小康按照的顺序答题，记为小康的累计得分，求的分布列；
    相比较小康自选的的答题顺序，小康的朋友小乐认为按照的顺序答题累计得分期望更大，小乐的判断正确吗？并说明理由．
21. 本小题分
    共享汽车进驻城市，绿色出行引领时尚，某市有统计数据显示，某站点天的使用汽车用户的数据如下，用两种模型：分别进行拟合，进行残差分析得到如表所示的残差值及一些统计量的值：

残差值的绝对值之和越小说明模型拟合效果越好，根据残差，比较模型，的拟合效果，应选择哪一个模型？并说明理由；
求出中所选模型的回归方程．
参考公式：，参考数据：，

22. 本小题分
    定义可导函数在处的弹性函数为，其中为的导函数．在区间上，若函数的弹性函数值大于，则称在区间上具有弹性，相应的区间也称作的弹性区间．
    若，求的弹性函数及弹性函数的零点；
    对于函数其中为自然对数的底数
    (ⅰ)当时，求的弹性区间；
    (ⅱ)若在中的区间上恒成立，求实数的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，都表示一个元素的集合，
给出的集合有两个元素，、不正确，
表示有无数个元素的集合，也不正确，
，故B符合题意，
故选：．
根据集合相等的定义判断各选项即可．
本题考查了相等集合的定义，考查集合的表示，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由，得，，则，，
；
由，得，，则，，
或．
“”是“”的充分非必要条件．
故选：．
由求得，由求得或，再结合充分必要条件的判定方法判断．
本题考查三角函数值的求法，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，，
由题知，
，
，
故，
故选：．
分别判断各数与比较大小，即可分别判断．
本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、三角函数与对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，函数，则，
则有，
若，则；
故选：．
根据题意，由函数的解析式可，由此分析可得答案．
本题考查函数值的计算，涉及函数奇偶性的性质，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
所以，
则，
则．
故选：．
先对函数求导，然后求出，进而可求函数解析式，进而可求．
本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：在一次闯关游戏中，小明闯过第一关的概率为，连续闯过前两关的概率为，
事件表示小明第一关闯关成功，事件表示小明第二关闯关成功，
则，，
．
故选：．
求出，，利用条件概率能求出．
本题考查概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题可知，
对于，，，所以A错误；
对于，，所以B错误；
对于，从样本中随机抽取名儿童，抽到食用该营养品且身高有明显增长的儿童的概率是，所以C错误；
对于，，所以根据小概率值的独立性检验，可以认为该营养品对儿童身高增长有影响，所以D正确．
故选：．
根据列联表求出、，即可判断，再计算出卡方，即可判断、，最后根据古典概型的概率公式判断．
本题考查了独立性检验的问题，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
令，则有，
故，
，
可得，，故，．
，
即，
由，
即，
故，当且仅当时取等号，
的最大值为．
故选：．
先将已知的等式变形为，令，则有，从而得到，则有，，再利用，结合不等式求解最值即可．
本题考查了函数最值的求解，解题的关键是将已知的等式进行变形，将转化为，将转化为，涉及了基本不等式的运用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，在经验回归方程中，当解释变量每增加个单位时，相应变量减小个单位，故A错误，
对于，样本相关系数的绝对值越接近于，则车队样本数据的线性相关程度越强，故B正确，
对于，决定系数的值越接近于，则表示回归模型的拟合效果越好，故C错误，
对于，在回归模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，故D正确．
故选：．
对于，结合经验回归方程，即可求解，
对于，结合相关系数的定义，即可求解，
对应，结合决定系数的定义，即可求解，
对应，结合残差的定义，即可求解．
本题主要考查相关系数，决定系数，残差的定义，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于，当时，，在上单调递增，故正确；
对于，，在上单调递增，故正确；
对于，由于，当时，是减函数，故错误；
对于，二次函数的对称轴为，当时，是增函数，根据复合函数的单调性可得也是增函数，故正确．
故选：．
根据基本初等函数和复合函数的单调性，逐项分析即可．
本题考查了复合函数的单调性，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：将函数的图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得的图象；
再将所得图象向右平移个单位长度，可以得到函数的图象，A正确B错误．
将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可以得到函数的图象，C正确D错误，
故选：．
由题意，利用函数的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查函数的图象变换规律，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于选项，记事件，分别表示第一次、第二次取到号球，，，，则第一次抽到号球的条件下，第二次抽到号球的概率，故A错误；
对于选项，记事件，分别表示第一次、第二次取到号球，，，，依题意，， 两两互斥，其和为，并且，，
所以，，，
，，，
，，，
应用全概率公式，有，故B正确；
对于选项，依题设知，第二次的球取自口袋的编号与第一次取的球上的号数相同，
则；
；
；
故在第二次取到号球的条件下，它取自编号为的口袋的概率最大．故C正确；
对于选项，先将个不同的小球分成，，或，，三份，再放入三个不同的口袋，则不同的分配方法有，故D正确．
故选：．
对于选项利用条件概率公式求解；
对于选项利用全概率公式求解；
对于选项利用贝叶斯公式求解；
对于选项，不同元素的分配问题，先分份再分配即可求解．
本题考查了条件概率公式、全概率公式、贝叶斯公式及排列组合的综合运用，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：的展开式中含的项为，
所以的展开式中的系数为．
故答案为：．
由二项式展开式的通项直接求解即可．
本题主要考查二项式定理，特定项系数的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用导数研究函数单调性，导数的运算，考查转化思想，是基础题．
由求导公式和法则求出，由题意和导数与函数单调性的关系可得：在上恒成立，利用二次函数的图象和列出不等式，求出实数的取值范围．

【解答】

解：由题意知，，
则，
在上是单调函数，
在上恒成立，
则，解得，
实数的取值范围是，
故答案为：．

15.【答案】 

【解析】解：因为正数，满足，即，
则，
当且仅当且，即，时取等号，
故答案为：，
由已知得，然后利用基本不等式可求．
本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是乘法的应用，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由已知函数解析式可得，
设，
则
，
可得是的零点，且另两个零点关于对称，
，，满足，，，
则，
令，，则，可得在单调递减，
，即的取值范围是．
故答案为：．
由已知函数解析式可知是的零点，且另两个零点关于对称，问题转化为求，的值域，利用导数即可求解．
本题考查函数零点的判定及应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，考查运算求解能力，训练了利用导数求最值，是中档题．
 

17.【答案】解：因为“”是““的充分条件，所以．
故，解得．
所以实数的取值范围是．
因为命题“，则“是真命题，所以．
当时，，解得；
当时，，解得，所以．
综上所述，实数的取值范围是 

【解析】将充分条件转化为子集关系，利用子集的定义即可列出不等式求解．
将真命题转化成是的子集，然后分情况讨论集合为空集和非空集合，即可求解．
本题考查了充分条件与集合间的关系，属于基础题．
 

18.【答案】解：化简可得，
函数的最小正周期；
由，可得，．
函数的单调递增区间为，．
由可得单调递增区间为，单调递减区间为 

【解析】化简可得，由周期公式可得；
解，可得函数的单调递增区间，取上部分可求单调递增区间，进而可求单调递减区间．
本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．
 

19.【答案】解：，
当或时，，当时，，
故函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；
由知在上单调递减，在上单调递增，
故当时，函数取得极小值，也是最小值，
因为，，
所以函数在上的最大值为． 

【解析】先对函数求导，结合导数与单调性关系即可求解；
结合中单调性分析函数的最值可求．
本题主要考查了导数与单调性及最值关系的应用，属于基础题．
 

20.【答案】解：由题意可知，的所有可能取值为，，，，
，
，
，
，
故的分布列为：

由可知，，
若小乐按照顺序答题，记为小康答题的累计得分，
则所有可能取值为，，，，
，
，
，
，
故E，
，
则小乐的判断正确． 

【解析】由题意可知，的所有可能取值为，，，，分别求出对应的概率，即可求解．
根据已知条件，结合期望公式，依次求出小康、小乐答题的得分期望，即可求解．
本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，以及期望公式的应用，属于中档题．
 

21.【答案】解：应该选择模型，
模型的残差值的绝对值之和为，
模型的残差值的绝对值之和为，
因为，
又残差值的绝对值之和越小说明模型拟合效果越好，
所以模型的拟合效果较好，应该选模型；
由题可知：，，
又，，
所以，
则，
故关于的回归方程为． 

【解析】结合图表信息，求出残差值的绝对值之和，然后比较大小即可；
由图表信息，结合参考公式，求出线性回归方程即可．
本题考查了残差的运算，重点考查了线性回归方程的求法，属基础题．
 

22.【答案】解：，，
．
令，解得，
所以弹性函数的零点为．
，函数定义域为．
因为，
的弹性函数，
此不等式等价于下面两个不等式组，
Ⅰ或Ⅱ．
因对应的函数就是，
由，所以在定义域上单调增，
又，所以的解为；
而，
在上恒正，
则在上单调递增，所以，故在上恒成立．
于是不等式组Ⅰ的解为，
同的解法得的解为；
因为在时，左正、右负，不可能成立．
故不等式组Ⅱ无实数解．
综上，的弹性区间．
在恒成立在恒成立，
设，则，
而，由知它在恒为正，
，在递增，，
故． 

【解析】，，利用导数性质能求出的弹性函数及弹性函数的零点．
，函数定义域为，的弹性函数，由此能求出的弹性区间．
问题转化为在恒成立，设，根据函数的单调性求出的范围即可．
本题考查函数的弹性函数及弹性函数的零点的求法，考查函数的弹性区间的求法，考查函数性质、导数性质等基础知识，考查运算与求解能力，考查函数与方程思想，是一道综合题．