(通用版)中考数学总复习考点07 绝对值（含解析）

专题07 绝对值

1.绝对值的定义：

在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。

2.绝对值的性质：

（1）绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质；

           a   （a＞0）

（2）|a|=   0   （a=0）    

         -a    (a＜0)

（3）若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0；

（4）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a，

且|a|≥-a；

（5）若|a|=|b|，则a=b或a=-b；（几何意义）

（6）|ab|=|a|·|b|；||=（b≠0）；

（7）|a|=|a|=a；

（8）|a+b|≤|a|+|b|     |a-b|≥||a|-|b||    |a|+|b|≥|a+b|    |a|+|b|≥|a-b|

3.拓展： |a|≥0  b≥0

（1）若(x-a)+(x-b)=0,则x-a=0且x-b=0；

（2）若|x-a|+(x-b)=0,则x-a=0且x-b=0；

（3）若|x-a|+|x-b|=0，则x-a=0且x-b=0。

4.绝对值问题总结

（1）利用绝对值的定义及性质解决的问题

（2）简单的绝对值方程问题

（3）化简绝对值式，分类讨论（零点分段法）问题

（4） 绝对值几何意义的使用问题

【例题1】（2020成都模拟）巩固|x|=4，|y|=6，求代数式|x+y|的值

【答案】2或10

【解析】因为|x|=4，所以x=±4，因为|y|=6，所以y=±6

当x=4，y=6时，|x+y|=|10|=10；

当x=4，y=-6时，|x+y|=|-2|=2;

当x=-4，y=6时，|x+y|=|2|=2； 

当x=-4，y=-6时，|x+y|=|10|=10

【对点练习】如果x，y表示有理数，且x，y满足条件|x|=5，|y|=2，|x-y|=y-x，那么x+y的值是多少？

【答案】3或-7

【解析】x=±5，y=±2，

因为|x-y|=y-x，所以x-y≤0。

当x=5，y=2时不满足题意；

当x=5，y=-2时不满足题意；

当x=-5，y=2时满足题意，x+y=-3；

当x=-5，y=-2时满足题意，x+y=-7。

【点拨】分类讨论是关键，不然得不到正确结论。

【例题2】（2020海南模拟）解方程：|4x+8|=12

【答案】x=1，x=-5

【解析】4x+8=±12，

当4x+8=12，x=1；

当4x+8=-12，x=-5

【对点练习】解方程：（1）

【答案】x=-，-；

【解析】原方程可变形为：|x+5|=，所以有x+5=±，

进而可得：x=-，-。

【点拨】熟练理解a≥0，则|a|=a；a≤0，|a|=-a。

1.已知x是有理数，且|x|=|-4|，那么x=________。

【答案】4，-4 

【解析】|x|=|-4|=4

所以x=±4

2.解答下列问题：

（1）若3|x-2|+|y+3|=0，则的值是多少？

（2）若|x+3|+(y-1)=0，求的值

【答案】（1）-3/2 （2）n为偶数时，原式=1；n为奇数时，原式=-1

【解析】（1）|x-2|=0，|y+3|=0，x=2，y=-3，

=

（2）由|x+3|+（y-1）=0，可得x=-3，y=1。

==-1

n为偶数时，原式=1；

n为奇数时，原式=-1

3.已知|x-1|=2，|y|=3，且x与y互为相反数，求的值

【答案】24

【解析】|x-1|=2，x-1=±2，x=3，x=-1，|y|=3，y=±3，

且x与y互为相反数，所以x=3，y=-3，

4.若已知a与b互为相反数，且|a-b|=4，求的值。

【答案】4

【解析】a与b互为相反数，那么a+b=0。

=

当a-b=4时，且a+b=0，那么a=2，b=-2，-ab=4；

当a-b=-4时，且a+b=0，那么a=-2，b=2，-ab=4；

综上可得=4

5.若|a|=b，求|a+b|的值

【答案】见解析。

【解析】|a|=b，我们可以知道b≥0，

当a<0时，a=-b，|a+b|=0；

当a≥0时，a=b，|a+b|=2b

6.化简：|a-b|

【答案】见解析。

【解析】分类讨论。

 当a-b＞0时，即a＞b，|a-b|=a-b；

 当a-b=0时，即a=b，|a-b|=0；

 当a-b＜0时，即a＜b，|a-b|=b-a。

7.数a，b在数轴上对应的点如图所示，是化简|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||

【答案】b

【解析】|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||=-（a+b）+（b-a）+b-（-2a）=b

8.如果0<m<10并且m≤x≤10，化简|x-m|+|x-10|+|x-m-10|

【答案】20-x

【解析】|x-m|+|x-10|+|x-m-10|=x-m+10-x+m+10-x=20-x

9.已知x<-3,化简|3+|2-|1+x|

【答案】-x

【解析】当x<-3时，|3+|2-|1+x|||=|3+|2+1+x||=|3+|3+x||=|3-3-x|=|-x|=-x

10.若abc≠0，则的所有可能值

【答案】见解析。

【解析】从整体考虑：

（1）a，b，c全正，则=3；

（2）a，b，c两正一负，则=1；

（3）a，b，c一正两负，则=-1；

（4）a，b，c全负，则=-3

11.已知(a+b)+|b+5|=b+5,且|2a-b-1|=0，那么ab=______。

【答案】-

【解析】因为(a+b)+|b+5|=b+5,我们可以知道b+5>0，所以原式可以表示为：(a+b)+b+5=b+5，(a+b)=0，a=-b，又因为|2a-b-1|=0，进而2a-b-1=0，进而2a-b-1=0,3a=1，a=，b=-，ab=-

12.已知|x|=2，|y|=3且x-y>0，则x+y的值为多少？

【答案】-1，-5

【解析】x=±2，y=±3，

 当x=2，y=3时，不满足x-y＞0；

 x=2，y=-3时，满足x-y＞0，那么x+y=-1；

 x=-2，y=3时，不满足x-y＞0；

 x=-2，y=-3时，满足x-y＞0，那么x+y=-5。

 综上可得x+y的值为-1，-5

13.有理数a，b，c在数轴上对应点如图所示，化简|a-b|-|a+b|+|b-c|-|c|

【答案】3b

【解析】a-b＜0，b-c＞0，a+b＜0

 |a-b|-|a+b|+|b-c|-|c|=-（a-b）+（a+b）+（b-c）+c=3b