广东省深圳市罗湖区罗芳中学2021-2022学年九年级上学期期中数学【试卷+答案】

这是一份广东省深圳市罗湖区罗芳中学2021-2022学年九年级上学期期中数学【试卷+答案】，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广东省深圳市罗湖区罗芳中学九年级（上）期中数学试卷
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（3分）方程x2＝3x的解是（　　）
A．x＝﹣3 B．x＝3 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝0，x2＝﹣3
2．（3分）一个菱形的两条对角线的长分别为5和8，那么这个菱形的面积是（　　）
A．40 B．20 C．10 D．25
3．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线相等且垂直的四边形是正方形
D．对角线相等的四边形是矩形
4．（3分）如图是小红在某天四个时刻看到一根木棒及其影子的情况，那么她看到的先后顺序是（　　）

A．①②③④ B．④③①② C．④①③② D．②①③④
5．（3分）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），则下列结论中正确的是（　　）

A．AB2＝AP2+BP2 B．BP2＝AP•BA
C．APBP=5-12 D．BPAP=5-12
6．（3分）下列各点中在反比例函数y=-1x的图象上的是（　　）
A．（﹣2，1） B．（1，﹣2） C．（-12，1） D．（12，﹣2）
7．（3分）新犁冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x人，则x为（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
8．（3分）若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y=kx（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
9．（3分）在△ABC中，点E在AC上，且AEEC=12，F为BE中点，AF的延长线交BC于D，则：BDDC=（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
10．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CE＝2DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连结AG、BF、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②FG＝CG；③AG∥CF；④S△BFC=365．其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）已知数据：12，5，π，4，0，其中无理数出现的频率为　 　．
12．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝2有实数根，则k的取值范围是　 　．
13．（3分）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且OEEA=43，则FGBC=　 　．

14．（3分）如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是 　 　．

15．（3分）如图，直线y=15x﹣1与x，y轴交于B、A，点M为双曲线y=kx上的一点，若△MAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，则k＝　 　．

三、解答题
16．（9分）按要求解方程
（1）14（x﹣2）2＝9．
（2）x2﹣2x＝4x+3（配方法）．
（3）x2+4x﹣1＝0（公式法）．
17．（4分）把6个相同的小正方体摆成如图所示的几何体．

（1）画出该几何体的主视图、左视图、俯视图；
（2）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加　 　个小正方体．
18．（8分）今年5月，某大型商业集团随机抽取所属的部分商业连锁店进行评估，将抽取的格商业连锁店按照评估成绩分成了A、B、C、D四个等级，并绘制了如图不完整的扇形统计图和条形统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次评估随机抽取了　 　家商业连锁店；
（2）请补充完整扇形统计图和条形统计图，并在图中标注相应数据；
（3）从A、B两个等级的商业连锁店中任选2家介绍营销经验，请用列表或画树状图的方法求其中至少有一家是A等级的概率．
19．（8分）已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．
（1）求证：AB＝AF；
（2）若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．

20．（8分）天佑城服装柜在销售中发现“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十•一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．设每件童装应降价x元．据此规律，请回答：
（1）商场口销量增加 　 　件，每件商品盈利 　 　元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述条件不变、销售正常情况下，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少？
21．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点Q从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P、Q两点同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）△PBQ的面积能否等于7cm2？试说明理由．

22．（10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝12．

（1）如图1，折叠△ABC使点A落在AC边上的点D处，折痕交AC、AB分别于Q、H，若S△ABC＝9S△DHQ，则HQ＝　 　．
（2）如图2，折叠△ABC使点A落在BC边上的点M处，折痕交AC、AB分别于E、F．若FM∥AC，求证：四边形AEMF是菱形；
（3）在（1）（2）的条件下，线段CQ上是否存在点P，使得△CMP和△HQP相似？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．

参考答案与解析
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（3分）方程x2＝3x的解是（　　）
A．x＝﹣3 B．x＝3 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝0，x2＝﹣3
【解答】解：x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
x＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝0，x2＝3．
故选：C．
2．（3分）一个菱形的两条对角线的长分别为5和8，那么这个菱形的面积是（　　）
A．40 B．20 C．10 D．25
【解答】解：∵菱形的两条对角线的长分别为5和8，
∴这个菱形的面积是12×5×8=20，
故选：B．
3．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线相等且垂直的四边形是正方形
D．对角线相等的四边形是矩形
【解答】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，说法错误，不符合题意；
B、四边相等的四边形是菱形，说法正确，符合题意；
C、对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，说法错误，不符合题意；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，说法错误，不符合题意；
故选：B．
4．（3分）如图是小红在某天四个时刻看到一根木棒及其影子的情况，那么她看到的先后顺序是（　　）

A．①②③④ B．④③①② C．④①③② D．②①③④
【解答】解：根据平行投影的特点以及北半球影长的规律可知：从早晨到傍晚物体的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长．可知先后顺序是④③①②．
故选：B．
5．（3分）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），则下列结论中正确的是（　　）

A．AB2＝AP2+BP2 B．BP2＝AP•BA
C．APBP=5-12 D．BPAP=5-12
【解答】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），
∴AP2＝BP•BA，BPAP=APAB=5-12，故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意，
故选：D．
6．（3分）下列各点中在反比例函数y=-1x的图象上的是（　　）
A．（﹣2，1） B．（1，﹣2） C．（-12，1） D．（12，﹣2）
【解答】解：∵反比例函数解析式为y=-1x，
∴xy＝﹣1，
∴点D在反比例函数y=-1x的图象上，
故选：D．
7．（3分）新犁冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x人，则x为（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
【解答】解：设1人平均感染x人，
依题意可列方程：（1+x）2＝225．
解得：x1＝14，x2＝﹣16（不合题意舍去），
即：x＝14，
故选：A．
8．（3分）若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y=kx（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
【解答】解：∵点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y=kx（k＜0）上，
∴（﹣2，y1），（﹣1，y2）分布在第二象限，每个象限内，y随x的增大而增大，
则0＜y1＜y2，
（3，y3）在第四象限，对应y值为负数，
∴y3＜y1＜y2．
故选：D．
9．（3分）在△ABC中，点E在AC上，且AEEC=12，F为BE中点，AF的延长线交BC于D，则：BDDC=（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
【解答】解：过E点作EH∥BC交AD于H，如图，
∵F为BE中点，
∴EF＝BF，
∵HE∥BD，
∴HEBD=EFBF=1，即BD＝EH，
∵HE∥CD，
∴HECD=AEAC，
∵AEEC=12，
∴AEAC=11+2=13，
∴HECD=13，即CD＝3HE，
∴BDCD=HE3HE=13．
故选：B．

10．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CE＝2DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连结AG、BF、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②FG＝CG；③AG∥CF；④S△BFC=365．其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为6，CE＝2DE，
∴DE＝2，EC＝4，
∵把△ADE沿AE折叠使△ADE落在△AFE的位置，
∴AF＝AD＝6，EF＝ED＝2，∠AFE＝∠D＝90°，∠FAE＝∠DAE，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
AG=AGAB=AF，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴GB＝GF，∠BAG＝∠FAG，
∴∠GAE＝∠FAE+∠FAG=12∠BAD＝45°，故①正确；
设BG＝x，则GF＝x，C＝BC﹣BG＝6﹣x，
在Rt△CGE中，GE＝x+2，EC＝4，CG＝6﹣x，
∵CG2+CE2＝GE2，
∴（6﹣x）2+42＝（x+2）2，解得x＝3，
∴BG＝3，CG＝6﹣3＝3
∴BG＝CG＝FG，故②正确；
∵GF＝GC，
∴∠GFC＝∠GCF，
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠AGB＝∠AGF，
而∠BGF＝∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB+∠AGF＝∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB＝∠GCF，
∴CF∥AG，故③正确；
过F作FH⊥DC于H，

∵BC⊥DH，
∴FH∥GC，
∴△EFH∽△EGC，
∴FHGC=EFEG，
∵EF＝DE＝2，GF＝3，
∴EG＝5，
∴FHGC=EFEG=25，
∴FH=25GC=25×3=65，
∴S△FGC＝S△GCE﹣S△FEC=12×3×4-12×4×65=185，
∵BG＝GC，
∴S△BFC＝2S△FGC=365，故④正确．
故选：D．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）已知数据：12，5，π，4，0，其中无理数出现的频率为　25　．
【解答】解：在数据12，5，π，4，0中，无理数有2个，
∴无理数出现的频率为25，
故答案为：25．
12．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝2有实数根，则k的取值范围是　k≥34且k≠1　．
【解答】解：化为一般形式可得（k﹣1）x2+2x﹣4＝0有实数根，
∵有实数根，
∴△≥0且k﹣1≠0，即22﹣4（k﹣1）×（﹣4）≥0且k≠1，
∴k≥34且k≠1，
故答案为：k≥34且k≠1．
13．（3分）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且OEEA=43，则FGBC=　47　．

【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且OEEA=43，
∴OEOA=47，
则FGBC=OEOA=47．
故答案为：47．
14．（3分）如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是 　10　．

【解答】解：∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点，
∴连接BN，BD，
∴BN＝ND，
∴DN+MN＝BN+MN，
连接BM交AC于点P，
∵点 N为AC上的动点，
由三角形两边和大于第三边，
知当点N运动到点P时，
BN+MN＝BP+PM＝BM，
BN+MN的最小值为BM的长度，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD＝8，CM＝8﹣2＝6，∠BCM＝90°，
∴BM=62+82=10，
∴DN+MN的最小值是10．
故答案为：10．

15．（3分）如图，直线y=15x﹣1与x，y轴交于B、A，点M为双曲线y=kx上的一点，若△MAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，则k＝　4　．

【解答】解：如图，作MD⊥y轴于点D，MC⊥x轴于点C．
∵直线y=15x﹣1与x轴，y轴分别相交于B、A，
∴当x＝0时，y＝﹣1；当y＝0时，x＝5，
∴A点坐标的坐标为（0，﹣1），B点坐标为（5，0），
∵△AMB是以AB为底的等腰直角三角形，
∴AM＝BM，∠MAB＝∠MBA＝45°，∠AMB＝90°，
∵∠MAD+∠MAB+∠OBA＝90°，
∴∠MAD+∠OBA＝45°，
∵∠MBC+∠OBA＝45°，
∴∠MAD＝∠MBC，
∵MC⊥x轴，MD⊥y轴，
∴∠ADM＝∠BCM＝90°，
在△AMD和△BMC中，
∠MAD=∠MBC∠ADM=∠BCMAM=BM，
∴△AMD≌△BMC（AAS）；
∴AD＝BC，DM＝CM，
∵∠COD＝∠ODM＝∠OCM＝90°，
∴四边形OCMD是正方形，
设OD＝x，则AD＝x+1，BC＝5﹣x，
∵AD＝BC，
∴x+1＝5﹣x，
解得：x＝2，
即OD＝OC＝2，
∴点M的坐标为：（2，2），
∴k＝xy＝4．
故答案为：4．

三、解答题
16．（9分）按要求解方程
（1）14（x﹣2）2＝9．
（2）x2﹣2x＝4x+3（配方法）．
（3）x2+4x﹣1＝0（公式法）．
【解答】解：（1）（x﹣2）2＝36，
x﹣2＝±6，
所以x1＝8，x2＝﹣4；
（2）x2﹣6x＝3，
x2﹣6x+9＝3+9，
（x﹣3）2＝12，
x﹣3＝±23，
所以x1＝3+23，x2＝3﹣23；
（3）△＝42﹣4×（﹣1）＝20，
x=-4±252×1=-2±5；
所以x1＝﹣2+5，x2＝﹣2-5．
17．（4分）把6个相同的小正方体摆成如图所示的几何体．

（1）画出该几何体的主视图、左视图、俯视图；
（2）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加　2　个小正方体．
【解答】解：（1）如图所示：


（2）保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再在后面一行第1和2列各添加1个小正方体，
故答案为：2．
18．（8分）今年5月，某大型商业集团随机抽取所属的部分商业连锁店进行评估，将抽取的格商业连锁店按照评估成绩分成了A、B、C、D四个等级，并绘制了如图不完整的扇形统计图和条形统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次评估随机抽取了　25　家商业连锁店；
（2）请补充完整扇形统计图和条形统计图，并在图中标注相应数据；
（3）从A、B两个等级的商业连锁店中任选2家介绍营销经验，请用列表或画树状图的方法求其中至少有一家是A等级的概率．
【解答】解：（1）2÷8%＝25（家），
即本次评估随机抽取了25家商业连锁店；
故答案为25．
（2）25﹣2﹣15﹣6＝2，2÷25×100%＝8%，
补全扇形统计图和条形统计图，
如图所示：

（3）画树状图，

共有12个可能的结果，至少有一家是A等级的结果有10个，
∴P（至少有一家是A等级）=1012=56．
19．（8分）已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．
（1）求证：AB＝AF；
（2）若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AFC＝∠DCG，
∵GA＝GD，∠AGF＝∠CGD，
∴△AGF≌△DGC，
∴AF＝CD，
∴AB＝AF．

（2）解：结论：四边形ACDF是矩形．
理由：∵AF＝CD，AF∥CD，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD＝120°，
∴∠FAG＝60°，
∵AB＝AG＝AF，
∴△AFG是等边三角形，
∴AG＝GF，
∵△AGF≌△DGC，
∴FG＝CG，∵AG＝GD，
∴AD＝CF，
∴四边形ACDF是矩形．
20．（8分）天佑城服装柜在销售中发现“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十•一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．设每件童装应降价x元．据此规律，请回答：
（1）商场口销量增加 　2x　件，每件商品盈利 　（40﹣x）　元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述条件不变、销售正常情况下，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少？
【解答】解：（1）因为每件童装应降价x元，且每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件，
故商场若降价x元，日销量增加：x4×8＝2x（件）；每件商品盈利（40﹣x）元；

（2）由（1）可得日销量为（20+2x），每件盈利（40﹣x）元；
由题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
解得：x1＝10，x2＝20，
所以为了减少库存，应该降价20元．
答：要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价20元．
21．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点Q从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P、Q两点同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）△PBQ的面积能否等于7cm2？试说明理由．

【解答】解：（1）设t秒后，△PBQ的面积等于4cm2．则
12（5﹣t）×2t＝4，
整理，得
t2﹣5t+4＝0，
解得 t1＝1，t2＝4（舍去）．
答：如果P、Q两点同时出发，那么1秒后，△PBQ的面积等于4cm2；

（2）△PBQ的面积能不能等于7cm2．理由如下：
设x秒后，△PBQ的面积等于7cm2．则
12（5﹣x）×2x＝7，
整理，得
x2﹣5x+7＝0，
则△＝25﹣28＝﹣3＜0，
所以该方程无解．
即：△PBQ的面积能不能等于7cm2．
22．（10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝12．

（1）如图1，折叠△ABC使点A落在AC边上的点D处，折痕交AC、AB分别于Q、H，若S△ABC＝9S△DHQ，则HQ＝　4　．
（2）如图2，折叠△ABC使点A落在BC边上的点M处，折痕交AC、AB分别于E、F．若FM∥AC，求证：四边形AEMF是菱形；
（3）在（1）（2）的条件下，线段CQ上是否存在点P，使得△CMP和△HQP相似？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图1中，

在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝12，
∴AC=202-122=16，设HQ＝x，
∵HQ∥BC，
∴AQAC=QHBC，
∴AQ16=x12，
∴AQ=43x，
∵S△ABC＝9S△DHQ，
∴12×16×12＝9×12×x×43x，
∴x＝4或﹣4（舍弃），
∴HQ＝4，
故答案为4．

（2）如图2中，

由翻折不变性可知：AE＝EM，AF＝FM，∠AFE＝∠MFE，
∵FM∥AC，
∴∠AEF＝∠MFE，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∴AE＝AF＝MF＝ME，
∴四边形AEMF是菱形．

（3）如图3中，

设AE＝EM＝FM＝AF＝4m，则BM＝3m，FB＝5m，
∴4m+5m＝20，
∴m=209，
∴AE＝EM=809，
∴EC＝AC﹣AE＝16-809=649，
∴CM=EM2-EC2=163，
∵QH＝4，AQ=163，
∴QC=323，设PQ＝x，
当QHCM=PQPC时，△HQP∽△MCP，
∴4163=x323-x，
解得：x=327，
当QHPC=PQCM时，△HQP∽△PCM，
∴4323-x=x163
解得：x＝8或83，
经检验：x＝8或83是分式方程的解，且符合题意，
综上所述，满足条件长QP的值为327或8或83．