2021-2022学年安徽省合肥市庐阳区九年级（上）期末数学试卷(含答案)

这是一份2021-2022学年安徽省合肥市庐阳区九年级（上）期末数学试卷(含答案)，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年安徽省合肥市庐阳区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）已知，那么下列等式中，不成立的是（　　）
A． B． C． D．4x＝3y
2．（4分）若反比例函数的图象经过点（1，﹣2），则k＝（　　）
A．﹣2 B．2 C． D．﹣
3．（4分）观察如图所示的正五角星，下列说法正确的是（　　）

A．既是轴对称图形，也是中心对称图形
B．不是轴对称图形，是中心对称图形
C．不是中心对称图形，是轴对称图形
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
4．（4分）已知，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，则cosB的值为（　　）
A． B． C． D．
5．（4分）如图，A、B、C分别是双曲线y1＝（x＜0）与y2＝（x＞0）及x轴上的点，AB∥x轴，△ABC的面积为2，则k的值是（　　）

A．﹣3 B．﹣2 C．﹣ D．﹣
6．（4分）如图，△ABC中，点D是边BC上一点，下列条件中，不能判定△ABC与△ABD相似的是（　　）

A．AB2＝BD•BC B．∠BDA＝∠BAC
C．∠ADC＝∠C+∠B D．AD•BC＝AB•AC
7．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过（﹣1，0），且对称轴是直线x＝1，则当y＞0时，自变量x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜3 C．﹣1＜x＜2 D．x＜﹣1或x＞3
8．（4分）⊙O中∠AOC＝80°，B为弧AC中点，AD∥BC，则∠COD度数为（　　）

A．20° B．30° C．40° D．45°
9．（4分）对于抛物线y＝﹣（x+2）2+3，下列结论中正确结论的个数为（　　）
①抛物线的开口向下； ②对称轴是直线x＝﹣2；
③图象不经过第一象限； ④当x＞2时，y随x的增大而减小．
A．4 B．3 C．2 D．1
10．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝0.6，AD＝0.8，P是射线CA上动点，E在射线CA上，AC＝AE．点P从C点运动，设CP＝x，y＝BP2+DP2，则能反映y与x之间函数关系的图象是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）如果线段b是线段a、c的比例中项，且a＝2，c＝8，则b＝　 　．
12．（5分）某物体沿着坡比为4：3的坡面上升了8米，那么在坡面上移动了 　 　米．
13．（5分）如图是由边长为1的小正方形组成的4×4网格，则tan∠BAC＝　 　．

14．（5分）等腰直角△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，点D是平面内一点，AD＝1，连接BD，将BD绕D点逆时针旋转90°得到DE，连接AE，当∠DAB＝　 　（填度数）度时，AE可以取最大值，最大值等于 　 　．

三、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
15．（8分）计算：2cos245°﹣1+tan30°tan60°．
16．（8分）如图，学校某处空地上有A、B、C三棵树，现准备建一个圆形景观鱼池，要求A、B、C三棵树恰在圆周上，请你帮助设计鱼池，在图中作出它的鱼池轮廓，保留作图痕迹并将圆心标记为点O．

四、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
17．（8分）如图是一个6×6的正方形网格和平面直角坐标系，网格的每个小正方形边长为1，顶点都为格点的三角形我们称作格点三角形，如图△ABC是格点三角形．
（1）将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到对应图形△AB1C1；
（2）在网格中，以B为位似中心，同侧将△BAC按2：1放大，对应得到△BA2C2，画出△BA2C2，直接写出点C2坐标．

18．（8分）如图，直线y1＝k1x+b与双曲线y2＝（x＞0）在第一象限内交于A、B两点，已知A（1，m），B（2，1）．
（1）求直线和双曲线解析式；
（2）根据图象直接写出不等式y1＜y2的解集．

五、（本大题共2小题，每小题10分，总计20分）
19．（10分）如图，数学兴趣小组为测量旗杆CD和教学楼AB的高，先在E处用高1.5米的测角仪EF测得教学楼顶端A的仰角∠AFH为45°，此时旗杆顶端D恰好在视线FA上，再向前走12米在G处（G在CD上），又测得教学楼顶端A的仰角∠AGH为60°，点B、C、E三点在同一水平线上．
（1）求旗杆CD的高；
（2）求教学楼AB的高（结果用准确值表示）．

20．（10分）如图，线段AB是圆O的直径，O是圆心，C、D是圆上的点，且OD∥BC．过点O作OE⊥BC于点E，交BD于点F．若AB＝4，∠AOD＝60°，求EF的长．

六、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）
21．（12分）如图，A（﹣1，0），B（1，0），一抛物线顶点为（0，2），且过A、B两点，C、D是抛物线上且位于x轴上方的点，CD∥x轴，CE⊥x轴于点E，DF⊥x轴于点F．
（1）求抛物线解析式；
（2）若四边形EFDC是正方形，求的值．

七、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）
22．（12分）某超市以10元/个的价格购进一批新型儿童玩具，当以17元/个的价格出售时，每天可以售出50个．春节期间，在确保不亏本的前提下采取降价促销的方式招揽顾客，经调查发现，当售价每降低0.5元时，每天可多卖出5个玩具．
（1）设该玩具的售价降低了x元，每天的销售量为y个，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．
（2）设销售这种玩具一天可获利润为w元，求w与x之间的函数关系式．
（3）这种玩具的售价定为每个多少元时，商店每天获得的利润最大？
八、（本大题共1小题，每小题14分，总计14分）
23．（14分）△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，点E为BC边上一点，点D为AC延长线上一点，CE＝CD，连接BD、AE，并延长AE交BD于F，设CD＝x．
（1）求证：△ACE∽△BFE；
（2）若F恰好是BD中点，求x的值；
（3）设y＝，当x＝时，求y的值．


2021-2022学年安徽省合肥市庐阳区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）已知，那么下列等式中，不成立的是（　　）
A． B． C． D．4x＝3y
【分析】设x＝3k，y＝4k，再分别代入、、，求出后即可判断选项A、选项B、选项C，根据比例的性质即可判断选项D．
【解答】解：设x＝3k，y＝4k，
A．＝＝＝，故本选项不符合题意；
B．＝＝＝﹣，故本选项符合题意；
C．＝＝，故本选项不符合题意；
D．∵＝，
∴等式两边都乘4y得：4x＝3y，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
2．（4分）若反比例函数的图象经过点（1，﹣2），则k＝（　　）
A．﹣2 B．2 C． D．﹣
【分析】根据反比例函数图象上的点的坐标特征，将（1，﹣2）代入反比例函数的解析式y＝，然后解关于k的方程即可．
【解答】解：∵点（1，﹣2）在反比例函数y＝的图象上，
∴点P（1，﹣2）满足反比例函数的解析式y＝，
∴﹣2＝，
解得k＝﹣2．
故选：A．
【点评】此题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．解答此题时，借用了“反比例函数图象上的点的坐标特征”这一知识点．
3．（4分）观察如图所示的正五角星，下列说法正确的是（　　）

A．既是轴对称图形，也是中心对称图形
B．不是轴对称图形，是中心对称图形
C．不是中心对称图形，是轴对称图形
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：正五角星不是中心对称图形，是轴对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．（4分）已知，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，则cosB的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】先利用勾股定理求出BC的长，然后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可．
【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，
∴BC＝＝＝8，
∴cosB＝＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的正弦、余弦、正切是解题的关键．
5．（4分）如图，A、B、C分别是双曲线y1＝（x＜0）与y2＝（x＞0）及x轴上的点，AB∥x轴，△ABC的面积为2，则k的值是（　　）

A．﹣3 B．﹣2 C．﹣ D．﹣
【分析】设点B的坐标，根据平行点A、B的纵坐标相同得到点A的纵坐标，再代入y1的解析式求出点A的横坐标，然后求出AB的长，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：点B在y2＝（x＞0）上，
设B（a，），
∵AB∥x轴，
∴yB＝yA＝；
∵点A在y1＝（x＜0）上，
∴＝，
∴xA＝ak，
∴A（ak，），
∴AB＝xB﹣xA＝a﹣ak，
∴S△ABC＝×AB×yA
＝×[a﹣ak]×
＝2，
即1﹣k＝4，
解得k＝﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，用点A的纵坐标表示出AB的长度是解题的关键．
6．（4分）如图，△ABC中，点D是边BC上一点，下列条件中，不能判定△ABC与△ABD相似的是（　　）

A．AB2＝BD•BC B．∠BDA＝∠BAC
C．∠ADC＝∠C+∠B D．AD•BC＝AB•AC
【分析】由图可知，∠B是△ABC与△ABD的公共角，所以再添加一组角相等或者添加夹∠B的两边成比例即可判断．
【解答】解：A．∵AB2＝BD•BC，
∴＝，
∵∠B＝∠B，
∴△BAD∽△BCA，
故A不符合题意；
B．∵∠BDA＝∠BAC，∠B＝∠B，
∴△BAD∽△BCA，
故B不符合题意；
C．∵∠ADC＝∠C+∠B，∠ADC＝∠BAD+∠B，
∴∠C＝∠BAD，
∵∠B＝∠B，
∴△BAD∽△BCA，
故C不符合题意；
D．∵AD•BC＝AB•AC，
∴＝，
∵∠B≠∠BAD，
∴不能判定△ABC与△ABD相似，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，结合图形分析并熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
7．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过（﹣1，0），且对称轴是直线x＝1，则当y＞0时，自变量x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜3 C．﹣1＜x＜2 D．x＜﹣1或x＞3
【分析】根据抛物线开口方向及抛物线与x轴交点横坐标求解．
【解答】解：∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线经过点（﹣1，0），抛物线对称轴为直线x＝1，
∴抛物线经过点（3，0），
∴当y＞0时，x＜﹣1或x＞3．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点问题，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数的性质．
8．（4分）⊙O中∠AOC＝80°，B为弧AC中点，AD∥BC，则∠COD度数为（　　）

A．20° B．30° C．40° D．45°
【分析】由AD∥BC可得∠DAC＝∠BCA，从而求得＝，进而求解．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∴，
∵B为弧AC中点，
∴＝，
∴∠COD＝∠AOC＝40°．
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理，解题关键是掌握圆心角与弧的关系．
9．（4分）对于抛物线y＝﹣（x+2）2+3，下列结论中正确结论的个数为（　　）
①抛物线的开口向下； ②对称轴是直线x＝﹣2；
③图象不经过第一象限； ④当x＞2时，y随x的增大而减小．
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据抛物线的解析式可求得其开口方向、对称轴，则可判断①、②，由解析式可求得抛物线的顶点坐标及与x轴的交点坐标，则可判断③；利用抛物线的对称轴及开口方向可判断④；则可求得答案．
【解答】解：
∵y＝﹣（x+2）2+3，
∴抛物线开口向下、对称轴为直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，3），故①、②都正确；
在y＝﹣（x+2）2+3中，令y＝0可求得x＝﹣2+＜0，或x＝﹣2﹣＜0，
∴抛物线图象不经过第一象限，故③正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣2，
∴当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，
∴当x＞2时，y随x的增大而减小，故④正确；
综上可知正确的结论有4个，
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
10．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝0.6，AD＝0.8，P是射线CA上动点，E在射线CA上，AC＝AE．点P从C点运动，设CP＝x，y＝BP2+DP2，则能反映y与x之间函数关系的图象是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】不妨设点P在线段AC上，如图，过点P作PM⊥BC于点M，过点P作PN⊥CD于点N，可得PM∥AB，则根据平行线分线段成比例可用x表达出PM和CN，进而标识BM和DN的值，再根据勾股定理可表示y，结合函数性质和选项可得结果．
【解答】解：不妨设点P在线段AC上，如图，过点P作PM⊥BC于点M，过点P作PN⊥CD于点N，

∴∠PMC＝∠PNC＝90°，
∵∠BCD＝90°，
∴四边形PMCN是矩形，
∴PM＝CN，PN＝CM，
∵AB⊥BC，AD⊥CD，
∴PM∥AB，
∴PM：AB＝CM：BC＝PC：AC，
∵AB＝0.6，AD＝0.8，
∴AC＝1，
∴PM：0.6＝CM：0.8＝x：1，
∴PM＝CN＝0.6x，CM＝PN＝0.8x，
∴BM＝0.8﹣0.8x，DN＝0.6﹣0.6x，
∴BP2＝PM2+BM2＝（0.6x）2+（0.8﹣0.8x）2，DP2＝（0.8x）2+（0.6﹣0.6x）2，
∴y＝BP2+DP2＝2x2﹣2x+1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝，与y轴的交点为（0，1）．
当点P在点A的上方时，可求得y＝BP2+DP2＝2x2﹣2x+1，同上．
故选：A．
【点评】本题属于动点问题的函数图象﹣二次函数图象，涉及平行线分线段成比例，矩形的性质等知识，作出辅助线表达出BP2和DP2是解题关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）如果线段b是线段a、c的比例中项，且a＝2，c＝8，则b＝　4　．
【分析】根据比例中项的概念，可得a：b＝b：c，可得b2＝ac＝16，故b的值可求，注意线段的长为正数．
【解答】解：∵线段b是a、c的比例中项，
∴b2＝ac＝16，
解得b＝±4，
又∵线段是正数，
∴b＝4．
故答案为4．
【点评】本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方．求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．
12．（5分）某物体沿着坡比为4：3的坡面上升了8米，那么在坡面上移动了 　10　米．
【分析】根据坡度的概念求出物体移动的水平距离，再根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：设物体移动的水平距离为x米，
∵斜坡是坡比为4：3，物体沿坡面上升了8米，
∴8：x＝4：3，
解得：x＝6，
由勾股定理得：物体在坡面上移动的距离为：＝10（米），
故答案为：10．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
13．（5分）如图是由边长为1的小正方形组成的4×4网格，则tan∠BAC＝　2　．

【分析】连接BC，根据勾股定理求出AC、BC、AB长，根据勾股定理的逆定理得出△ACB是直角三角形，再解直角三角形求出答案即可．
【解答】解：连接BC，

∵AC2＝22+12＝4+1＝5，BC2＝22+42＝4+16＝20，AB2＝32+42＝9+16＝25，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ACB是直角三角形（∠ACB＝90°），
∴tan∠BAC＝＝＝＝＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，解直角三角形等知识点，能根据勾股定理的逆定理求出△ACB是直角三角形是解此题的关键．
14．（5分）等腰直角△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，点D是平面内一点，AD＝1，连接BD，将BD绕D点逆时针旋转90°得到DE，连接AE，当∠DAB＝　135　（填度数）度时，AE可以取最大值，最大值等于 　3+　．

【分析】连接CE、BE．先证明△ADB∽△CEB，则CE＝AD＝＝．∠DAB＝∠ECB＝180°﹣∠ACB＝135°，点E在以点C为圆心，CE长为半径的圆周上运动，当A、C、E在同一直线上上AE最长，据此解答即可．
【解答】解：如图一，连接CE、BE．

∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，∠CBA＝∠BCA＝45°，
∵将BD绕D点逆时针旋转90°得到DE，
∴ED＝BD，∠CED＝45°，
∴∠ABD＝∠CBE，
∵，
∴△ADB∽△CEB，
∴CE＝AD＝＝．
∠DAB＝∠ECB＝180°﹣∠ACB＝135°，
如图二，

∴点E在以点C为圆心，CE长为半径的圆周上运动，
当A、C、E在同一直线上AE最长，
AE＝AC+CE＝3+，
故答案为：135，．
【点评】本题考查旋转变换，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
15．（8分）计算：2cos245°﹣1+tan30°tan60°．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而化简得出答案．
【解答】解：原式＝2×（）2﹣1+×
＝2×﹣1+1
＝1﹣1+1
＝1．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
16．（8分）如图，学校某处空地上有A、B、C三棵树，现准备建一个圆形景观鱼池，要求A、B、C三棵树恰在圆周上，请你帮助设计鱼池，在图中作出它的鱼池轮廓，保留作图痕迹并将圆心标记为点O．

【分析】连接AB，BC，作线段AB，BC的垂直平分线交于点O，连接OC，以O为圆心，OC为半径作⊙O即可．
【解答】解：如图所示：⊙O即为所求．

【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，垂径定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
四、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
17．（8分）如图是一个6×6的正方形网格和平面直角坐标系，网格的每个小正方形边长为1，顶点都为格点的三角形我们称作格点三角形，如图△ABC是格点三角形．
（1）将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到对应图形△AB1C1；
（2）在网格中，以B为位似中心，同侧将△BAC按2：1放大，对应得到△BA2C2，画出△BA2C2，直接写出点C2坐标．

【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应点B1，C1即可；
（2）利用位似变换的性质分别作出A，C的对应点A2，C2即可．
【解答】解：（1）如图，△AB1C1即为所求；


（2）如图，△BA2C2即为所求，点C2坐标．（4，0）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，位似变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，位似变换的性质，属于中考常考题型．
18．（8分）如图，直线y1＝k1x+b与双曲线y2＝（x＞0）在第一象限内交于A、B两点，已知A（1，m），B（2，1）．
（1）求直线和双曲线解析式；
（2）根据图象直接写出不等式y1＜y2的解集．

【分析】（1）由点B坐标可得反比例函数解析式，进而求得点A坐标，再根据待定系数法求一次函数解析式．
（2）根据图象中反比例函数图象在一次函数图象上方的x取值范围求解．
【解答】解：（1）∵点A（1，m），B（2，1）在反比例函数图象上，
∴1×m＝2×1，即m＝2，
∴k2＝2×1＝2，
把（1，2），（2，1）代入y1＝k1x+b得，
解得，
∴y1＝﹣x+3，．
（2）由图象可得反比例函数图象在直线上方时，0＜x＜1，或x＞2．
∴y1＜y2的解集为0＜x＜1，或x＞2．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系．
五、（本大题共2小题，每小题10分，总计20分）
19．（10分）如图，数学兴趣小组为测量旗杆CD和教学楼AB的高，先在E处用高1.5米的测角仪EF测得教学楼顶端A的仰角∠AFH为45°，此时旗杆顶端D恰好在视线FA上，再向前走12米在G处（G在CD上），又测得教学楼顶端A的仰角∠AGH为60°，点B、C、E三点在同一水平线上．
（1）求旗杆CD的高；
（2）求教学楼AB的高（结果用准确值表示）．

【分析】（1）由题意可得△DFH是等腰直角三角形，进而得到DG＝FG＝12米，即可得出旗杆CD的高；
（2）设GH＝x，则AH＝x＝FH，列方程求解，进而得出答案．
【解答】解：（1）由题意得：∠FDG＝∠AFH＝45°，EF＝CG＝BH＝1.5米，GF＝CE＝12米，
在Rt△AFH中，∠AFH＝45°，
∴△DFG是等腰直角三角形，
∴DG＝FG＝12米，
∴CD＝CG+DG＝1.5+12＝13.5（米），
答：旗杆CD的高为13.5米；
（2）设GH＝x米，
由题意，AB∥DC∥EF，EF＝CG＝BH，∠ABE＝90°，
∴四边形BCGH是矩形，
∴∠AHF＝DGF＝90°，
由（1）得：DG＝FG＝12米，BH＝EF＝1.5米，
∵∠AFH＝45°，
∴△AFH是等腰直角三角形，
∴AH＝FH，
∵∠AGH＝60°，
∴tan∠AGH＝＝tan60°＝，
∴AH＝GH＝x（米），
∵FH＝GH+FG＝（x+12）米，
∴x＝x+12，
解得：x＝6+6，
∴GH＝（6+6）米，AH＝（18+6）米，
∴AB＝BH+AH＝（19.5+6）米，
答：教学楼AB的高为（19.5+6）米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的关键．
20．（10分）如图，线段AB是圆O的直径，O是圆心，C、D是圆上的点，且OD∥BC．过点O作OE⊥BC于点E，交BD于点F．若AB＝4，∠AOD＝60°，求EF的长．

【分析】连接OC，由OD∥BC，OE⊥BC，∠AOD＝60°可得△OBC为等边三角形，E为BC中点，再由△ODF∽△EBC求解．
【解答】解：如图，连接OC，

∵AB＝4，
∴OD＝OB＝OC＝2，
∵OD∥BC，∠AOD＝60°，
∴∠OBC＝∠AOD＝60°，
∴△OBC为等边三角形，E为BC中点，
在Rt△OBE中，sin∠OBE＝＝，
∴OE＝OB＝，
∵OD∥BC，
∴△ODF∽△EBC，
∴＝＝，
∴EF＝OE＝．
【点评】本题考查与圆有关的计算，解题关键是掌握相似三角形的判定与性质，掌握解直角三角形的方法．
六、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）
21．（12分）如图，A（﹣1，0），B（1，0），一抛物线顶点为（0，2），且过A、B两点，C、D是抛物线上且位于x轴上方的点，CD∥x轴，CE⊥x轴于点E，DF⊥x轴于点F．
（1）求抛物线解析式；
（2）若四边形EFDC是正方形，求的值．

【分析】（1）设抛物线为y＝ax2+2，将（1，0）代入即得抛物线解析式为y＝﹣2x2+2；
（2）根据C、D是抛物线y＝﹣2x2+2上且位于x轴上方的点，CD∥x轴，可得C、D关于y轴对称，设D（m，﹣2m2+2），则C（﹣m，﹣2m2+2），则CD＝2m＝EF，CE＝DF＝﹣2m2+2，由四边形EFDC是正方形，得2m＝﹣2m2+2，即可解得m＝，故CD＝2m＝﹣1，从而可得＝．
【解答】解：（1）由抛物线顶点为（0，2）设抛物线为y＝ax2+2，
将（1，0）代入得：a+2＝0，
∴a＝﹣2，
∴抛物线解析式为y＝﹣2x2+2；
（2）∵C、D是抛物线y＝﹣2x2+2上且位于x轴上方的点，CD∥x轴，
∴C、D关于y轴对称，
设D（m，﹣2m2+2），则C（﹣m，﹣2m2+2），
∴CD＝2m＝EF，CE＝DF＝﹣2m2+2，
∵四边形EFDC是正方形，
∴CD＝CE＝EF＝DF，即2m＝﹣2m2+2，
解得m＝或m＝（因D在第一象限，舍去），
∴m＝，
∴CD＝2m＝2×＝﹣1，
∵A（﹣1，0），B（1，0），
∴AB＝2，
∴＝．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、正方形性质等知识，解题的关键是用含m的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
七、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）
22．（12分）某超市以10元/个的价格购进一批新型儿童玩具，当以17元/个的价格出售时，每天可以售出50个．春节期间，在确保不亏本的前提下采取降价促销的方式招揽顾客，经调查发现，当售价每降低0.5元时，每天可多卖出5个玩具．
（1）设该玩具的售价降低了x元，每天的销售量为y个，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．
（2）设销售这种玩具一天可获利润为w元，求w与x之间的函数关系式．
（3）这种玩具的售价定为每个多少元时，商店每天获得的利润最大？
【分析】（1）根据题意列方程即可得到结论；
（2）根据每天的利润＝单个利润×销售量列出函数解析式即可；
（3）根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）由题意得，y＝50+×5＝50+10x，
∴y与x的函数关系式为：y＝50+10x，自变量取值范围是0≤x≤7；
（2）由题意得，w＝（50+10x）（17﹣10﹣x）＝﹣10x2+20x+350，
∴w与x之间的函数关系式为w＝﹣10x2+20x+350；
（3）配方为w＝﹣10（x﹣1）2+360，
因为﹣10＜0，
所以当x＝1时，w有最大值，最大值为360，
此时售价为16元/个．
∴这种玩具的售价定为每个16元时，商店每天获得的利润最大．
【点评】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．
八、（本大题共1小题，每小题14分，总计14分）
23．（14分）△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，点E为BC边上一点，点D为AC延长线上一点，CE＝CD，连接BD、AE，并延长AE交BD于F，设CD＝x．
（1）求证：△ACE∽△BFE；
（2）若F恰好是BD中点，求x的值；
（3）设y＝，当x＝时，求y的值．

【分析】（1）先证明△ACE≌△BCD得到∠CAE＝∠CBD，然后根据相似三角形的判定方法得到结论；
（2）先计算出AB＝，再利用△ACE∽△BFE得到∠BFE＝∠ACE＝90°，则AF垂直平分BD，所以AB＝AD，即1+x＝，从而得到x的值；
（3）先利用△ACE∽△BFE，根据相似三角形的性质得到BF＝，再利用△ACE≌△BCD得到AE＝BD，所以y＝，然后把x＝代入计算即可．
【解答】（1）证明：在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠CAE＝∠CBD，
∵∠AEC＝∠BEF，
∴△ACE∽△BFE；
（2）解：CD＝CE＝x，则AD＝AC+CD＝1+x，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，
∴AB＝，
∵△ACE∽△BFE，
∴∠BFE＝∠ACE＝90°，
∴AF⊥BD，
∵F恰好是BD中点，
∴AF垂直平分BD，
∴AB＝AD，
即1+x＝，
∴x＝﹣1；
（3）解：∵△ACE∽△BFE，
∴＝，
∴BF＝，
∵△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD，
∴y＝＝＝，
当x＝时，y＝＝．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在利用相似三角形的性质时，利用比例线段计算相应线段的长．也考查了全等三角形的判定与性质．