安徽省合肥市经开区2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷(含答案)

这是一份安徽省合肥市经开区2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷(含答案)，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年安徽省合肥市经开区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题10分，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（4分）剪纸艺术是第一批国家级非物质文化遗产，下列图案既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（4分）将抛物线y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是（　　）
A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3 C．y＝2（x+3）2 D．y＝2（x﹣3）2
3．（4分）已知＝，则的值为（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
4．（4分）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么cos∠ACB值为（　　）

A． B． C． D．
5．（4分）根据以下表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（　　）
x
0
0.5
1
1.5
2
y＝ax2+bx+c
﹣1
﹣0.5
1
3.5
7
A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2
6．（4分）如图，点A是反比例函数（x＞0）图象上任意一点，AB⊥y轴于B，点C是x轴上的动点，则△ABC的面积为（　　）

A．1 B．2 C．4 D．不能确定
7．（4分）以O为中心点的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的0刻度线与斜边AB重合．点D为斜边AB上一点，作射线CD交弧AB于点E，如果点E所对应的读数为50°，那么∠BDE的大小为（　　）

A．100° B．110° C．115° D．130°
8．（4分）用总长为a米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为x米，窗框的面积为y米2，y关于x的函数图象如图2，则a的值是（　　）

A．9 B．8 C．6 D．不能确定
9．（4分）如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，如果＝，那么等于（　　）

A． B． C． D．2
10．（4分）如图，Rt△ABC中，AB＝AC＝3，AO＝1，若将AD绕A点逆时针旋转90°得到AE，连接OE，则在D点运动过程中，线段OE2的最小值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）已知线段AB＝2，P是线段AB的黄金分割点（AP＜PB），那么PB＝　 　．
12．（5分）如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1m时，它离地面的高度DE为0.6m，则坝高CF为 　 　m．

13．（5分）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径是　 　．

14．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E，F分别在边AD，BC上，且AE＝3，按以下步骤操作：
第一步，沿直线EF翻折，点A的对应点A′恰好落在对角线AC上，点B的对应点为B′，则线段BF的长为 　 　；
第二步，分别在EF，A′B′上取点M，N，沿直线MN继续翻折，使点F与点E重合，则线段MN的长为 　 　．

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：tan30°sin60°﹣cos245°+tan45°．
16．（8分）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为2：1，并写出点A1的坐标；
（2）作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形△A2B2C；
（3）在（2）的条件下，求出点B所经过的路径长．

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）已知二次函数y＝x2+4x．
（1）用配方法把该函数化为y＝a（x﹣h）2+k（其中a、h、k都是常数且a≠0）的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）函数图象与x轴的交点坐标．
18．（8分）如图1，四边形ABCD中，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，若CD＝6，AD＝8．
（1）求BD的长．
（2）如图2，过点B作BM∥CD交AD于M，连接CM交DB于N，求DN的长．

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量翡翠湖某处东西岸边B，C两点之间的距离．如图所示，小星站在湖边的B处遥控无人机，无人机在A处距离地面的飞行高度是161.6m，此时从无人机测得岸边C处的俯角为63°，他抬头仰视无人机时，仰角为α，若小星的身高BE＝1.6m，EA＝200m（点A，E，B，C在同一平面内）．
（1）求仰角α的正弦值；
（2）求B，C两点之间的距离（结果精确到1m）．
（sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）

20．（10分）如图，AB是⊙O的切线，D点在⊙O上，AD与⊙O相交于C，CE是⊙O的直径，连接BC，若∠A＝90°．
（1）求证：BC平分∠ACE；
（2）当AB＝2，AC＝1时，求⊙O的半径长．

六、（本题满分12分）
21．（12分）如图，直线y1＝k1x+b与双曲线y2＝在第一象限内交于A，B两点，已知A（1，m），B（2，1）．
（1）求k2的值及直线AB的解析式．
（2）根据函数图象，直接写出不等式y2＞y1的解集．
（3）设点P是线段AB上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，E是y轴上一点，当△PED的面积为时，请直接写出此时点P的坐标．

七、（本题满分12分）
22．（12分）某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
销售单价x（元）
40
60
80
日销售量y（件）
80
60
40
（1）求公司销售该商品获得的最大日利润；
（2）销售一段时间以后，由于某种原因，该商品每件成本增加了10元，若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．
八、（本题满分14分）
23．（14分）△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，F，E是AC上两点，连接BE，DF交于△ABC内一点G，且∠EGF＝45°．

（1）如图1，求证：∠FDC＝∠AEB；
（2）如图1，若AE＝3CE＝6，求BG的长；
（3）如图2，若F为AC上任意一点，连接AG，求证：∠EAG＝∠ABE．


2021-2022学年安徽省合肥市经开区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10分，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（4分）剪纸艺术是第一批国家级非物质文化遗产，下列图案既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此解答即可．
【解答】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（4分）将抛物线y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是（　　）
A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3 C．y＝2（x+3）2 D．y＝2（x﹣3）2
【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝2x2向左平移3个单位所得直线解析式为：y＝2（x+3）2；
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
3．（4分）已知＝，则的值为（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】根据已知条件得出＝，再把化成1﹣，然后进行计算即可得出答案．
【解答】解：∵＝，
∴＝，
∴＝1﹣＝1﹣＝﹣．
故选：A．
【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
4．（4分）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么cos∠ACB值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】如图，过点A作AH⊥BC于H．利用勾股定理求出AC即可解决问题．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于H．

在Rt△ACH中，∵AH＝4，CH＝3，
∴AC＝＝＝5，
∴cos∠ACB＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
5．（4分）根据以下表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（　　）
x
0
0.5
1
1.5
2
y＝ax2+bx+c
﹣1
﹣0.5
1
3.5
7
A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2
【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质．
【解答】解：观察表格可知：当x＝0.5时，y＝﹣0.5；当x＝1时，y＝1，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是0.5＜x＜1．
故选：B．
【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．
6．（4分）如图，点A是反比例函数（x＞0）图象上任意一点，AB⊥y轴于B，点C是x轴上的动点，则△ABC的面积为（　　）

A．1 B．2 C．4 D．不能确定
【分析】可以设出A的坐标，△ABC的面积即可利用A的坐标表示，据此即可求解．
【解答】解：设A的坐标是（m，n），则mn＝2．
则AB＝m，△ABC的AB边上的高等于n．
则△ABC的面积＝mn＝1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了反比例函数的系数k的几何意义，△ABC的面积＝|k|，本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
7．（4分）以O为中心点的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的0刻度线与斜边AB重合．点D为斜边AB上一点，作射线CD交弧AB于点E，如果点E所对应的读数为50°，那么∠BDE的大小为（　　）

A．100° B．110° C．115° D．130°
【分析】由圆周角定理得出∠ACE＝25°，进而得出∠BCE＝65°，再由外角的性质得出∠BDE＝∠BCE+∠CBD，代入计算即可得出答案．
【解答】解：如图，连接OE，

∵点E所对应的读数为50°，
∴∠AOE＝50°，
∵AB为直径，∠ACB＝90°，
∴点C在⊙O上，
∴∠ACE＝∠AOE＝×50°＝25°，
∴∠BCE＝90°﹣25°＝65°，
∵∠BDE是△BDC的外角，
∴∠BDE＝∠BCE+∠DBC＝65°+45°＝110°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理，运用圆周角定理得出∠AOE与∠ACE的关系是解题的关键．
8．（4分）用总长为a米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为x米，窗框的面积为y米2，y关于x的函数图象如图2，则a的值是（　　）

A．9 B．8 C．6 D．不能确定
【分析】因为x＝1时，面积最大，为1.5，根据图形是矩形，由面积公式易得另一边为1.5米，从而得出a的值．
【解答】解：由图象可知，当x＝1时，y有最大，最大值为1.5，
∴当x＝1米，窗框的最大面积是1.5平方米，
根据矩形面积计算公式，另一边为1.5÷1＝1.5（米），
∴材料总长a＝1.5+1.5+1+1+1＝6（米）．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的应用．从图象中获取相关信息解决问题是学习函数的基本功，体现了数形结合的思想方法．
9．（4分）如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，如果＝，那么等于（　　）

A． B． C． D．2
【分析】根据等腰三角形的判定定理得到EA＝ED，证明△CED∽△CAB，根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AB，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠CAD，
∴EA＝ED，
∵＝，
∴＝，
∵DE∥AB，
∴△CED∽△CAB，
∴＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
10．（4分）如图，Rt△ABC中，AB＝AC＝3，AO＝1，若将AD绕A点逆时针旋转90°得到AE，连接OE，则在D点运动过程中，线段OE2的最小值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由旋转的性质可得AD＝AE，∠DAE＝∠BAC＝90°，由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得∠ACE＝∠B＝45°，可得点E在过点C且垂直BC的直线上运动，则当OE⊥CE时，OE的值最小，即OE2的值最小，即可求解．
【解答】解：如图，连接CE，

在Rt△ABC中，AB＝AC＝3，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵将AD绕A点逆时针旋转90°得到AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ACE＝∠B＝45°，
∴∠BCE＝90°，
∴点E在过点C且垂直BC的直线上运动，
∴当OE⊥CE时，OE的值最小，即OE2的值最小，
∵AO＝1，AC＝3，
∴CO＝2，
∵OE⊥CE，∠ACE＝45°，
∴OE＝CE，
∵OE2+CE2＝OC2＝4，
∴OE2＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，勾股定理等知识，确定点E的运动轨迹是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）已知线段AB＝2，P是线段AB的黄金分割点（AP＜PB），那么PB＝　﹣1　．
【分析】直接根据黄金分割的定义求出PB的长即可．
【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＜PB，AB＝2，
∴PB＝AB＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．
12．（5分）如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1m时，它离地面的高度DE为0.6m，则坝高CF为 　2.7　m．

【分析】根据DE∥CF，可得，进而得出CF即可．
【解答】解：如图，CF⊥AB，则DE∥CF，
∴，即，
解得CF＝2.7，
故答案为：2.7．

【点评】本题考查了相似三角形应用，解决本题的关键是掌握相似三角形的性质．
13．（5分）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径是　2　．

【分析】连接BC，由圆周角定理和垂径定理得出∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，由直角三角形的性质得出AC＝2CH＝2，AC＝BC＝2，AB＝2BC，得出BC＝2，AB＝4，求出OA＝2即可．
【解答】解：连接BC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，
∴∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，
∵∠A＝30°，
∴AC＝2CH＝2，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，
∴AC＝BC＝2，AB＝2BC，
∴BC＝2，AB＝4，
∴OA＝2，
即⊙O的半径是2；
故答案为：2．

【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
14．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E，F分别在边AD，BC上，且AE＝3，按以下步骤操作：
第一步，沿直线EF翻折，点A的对应点A′恰好落在对角线AC上，点B的对应点为B′，则线段BF的长为 　1　；
第二步，分别在EF，A′B′上取点M，N，沿直线MN继续翻折，使点F与点E重合，则线段MN的长为 　　．

【分析】如图，过点F作FT⊥AD于T，则四边形ABFT是矩形，连接FN，EN，设AC交EF于J．证明△FTE∽△ADC，求出ET＝2，EF＝2，设A′N＝x，根据NF＝NE，可得12+（4﹣x）2＝32+x2，解方程求出x，可得结论．
【解答】解：如图，过点F作FT⊥AD于T，则四边形ABFT是矩形，连接FN，EN，设AC交EF于J．

∵四边形ABFT是矩形，
∴AB＝FT＝4，BF＝AT，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝8，∠B＝∠D＝90°
∴AC＝＝＝4，
∵∠TFE+∠AEJ＝90°，∠DAC+∠AEJ＝90°，
∴∠TFE＝∠DAC，
∵∠FTE＝∠D＝90°，
∴△FTE∽△ADC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴TE＝2，EF＝2，
∴BF＝AT＝AE﹣ET＝3﹣2＝1，
设A′N＝x，
∵NM垂直平分线段EF，
∴NF＝NE，
∴12+（4﹣x）2＝32+x2，
∴x＝1，
∴FN＝＝＝，
∴MN＝＝＝，
故答案为：1，．
【点评】本题考查矩形的性质，翻折变换，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：tan30°sin60°﹣cos245°+tan45°．
【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可解答．
【解答】解：tan30°sin60°﹣cos245°+tan45°
＝+1
＝
＝1．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
16．（8分）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为2：1，并写出点A1的坐标；
（2）作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形△A2B2C；
（3）在（2）的条件下，求出点B所经过的路径长．

【分析】（1）延长AC到A1使A1C＝2AC，延长BC到B1使B1C＝2BC，则可得到△A1B1C，然后写出点A1的坐标；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A2、B2即可；
（3）先利用勾股定理计算出CB，然后根据弧长公式计算点B所经过的路径长．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（3，﹣3）；
（2）如图，△A2B2C为所作；

（3）CB＝＝，
所以点B所经过的路径长＝＝π．
【点评】本题考查了作图﹣位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了旋转变换和弧长公式．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）已知二次函数y＝x2+4x．
（1）用配方法把该函数化为y＝a（x﹣h）2+k（其中a、h、k都是常数且a≠0）的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）函数图象与x轴的交点坐标．
【分析】（1）利用配方法时注意要先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，可把一般式转化为顶点式；
（2）当y＝0时求出来的是与x轴的交点横坐标．
【解答】解：（1）∵y＝x2+4x＝（x2+4x+4）﹣4＝（x+2）2﹣4，
∴对称轴为：x＝﹣2，
顶点坐标：（﹣2，﹣4）；
（2）y＝0时，有x2+4x＝0，
x（x+4）＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣4．
∴图象与x轴的交点坐标为：（0，0）与（﹣4，0）．
【点评】二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）；
求函数图象与x轴的交点坐标通常是令y＝0，解关于x的一元二次方程．
18．（8分）如图1，四边形ABCD中，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，若CD＝6，AD＝8．
（1）求BD的长．
（2）如图2，过点B作BM∥CD交AD于M，连接CM交DB于N，求DN的长．

【分析】（1）利用两个角相等，可得△ADB∽△BDC，则，代入即可；
（2）利用平行线和角平分线的定义可得MB＝MD，从而可证MA＝MB＝4，再利用△MNB∽△CND，可得答案．
【解答】解：（1）∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠BDC，
又∵∠ABD＝∠BCD＝90°，
∴△ADB∽△BDC，
∴，
∵CD＝6，AD＝8，
∴，
；
（2）∵BM∥CD，DB平分∠ADC，
∴∠MBD＝∠BDC，∠BDC＝∠BDM，
∴∠MBD＝∠BDM，
∴MB＝MD，
又∵∠MBD+∠MBA＝∠ABD＝90°，∠BDM+∠A＝90°，
∴∠MBA＝∠A，
∴MB＝MA，
∴，
∵BM∥CD，
∴△MNB∽△CND，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即DN的长是．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量翡翠湖某处东西岸边B，C两点之间的距离．如图所示，小星站在湖边的B处遥控无人机，无人机在A处距离地面的飞行高度是161.6m，此时从无人机测得岸边C处的俯角为63°，他抬头仰视无人机时，仰角为α，若小星的身高BE＝1.6m，EA＝200m（点A，E，B，C在同一平面内）．
（1）求仰角α的正弦值；
（2）求B，C两点之间的距离（结果精确到1m）．
（sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）

【分析】（1）如图，过A点作AD⊥BC于D，过E点作EF⊥AD于F，利用四边形BDFE为矩形得到EF＝BD，DF＝BE＝1.6m，则AF＝160m，然后根据正弦函数的定义求解；
（2）先利用勾股定理计算出EF＝120m，再在Rt△ACD中利用正切的定义计算出CD，然后计算BD+CD即可．
【解答】解：（1）如图，过A点作AD⊥BC于D，过E点作EF⊥AD于F，
∵∠EBD＝∠FDB＝∠DFE＝90°，
∴四边形BDFE为矩形，
∴EF＝BD，DF＝BE＝1.6m，
∴AF＝AD﹣DF＝161.6﹣1.6＝160（m），
在Rt△AEF中，sin∠AEF＝＝＝，
即．
答：仰角α的正弦值为；

（2）在Rt△AEF中，，
在Rt△ACD中，∠ACD＝63°，AD＝161.6m，
∵，
∴，
∴BC＝BD+CD＝120+82.45≈202（m）．
答：B，C两点之间的距离约为202m．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题：根据题意画出几何图形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
20．（10分）如图，AB是⊙O的切线，D点在⊙O上，AD与⊙O相交于C，CE是⊙O的直径，连接BC，若∠A＝90°．
（1）求证：BC平分∠ACE；
（2）当AB＝2，AC＝1时，求⊙O的半径长．

【分析】（1）连接OB，根据切线的性质得到OB⊥BA，进而证明OB∥AD，根据平行线的性质、等腰三角形的性质证明结论；
（2）连接BE，根据勾股定理求出BC，证明△BAC∽△EBC，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OB，
∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥BA，
∵∠A＝90°，
∴OB∥AD，
∴∠ACB＝∠OBC，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠ACB＝∠OCB，即BC平分∠ACE；
（2）解：如图，连接BE，
在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝1，
由勾股定理得：BC＝＝，
∵CE是⊙O的直径，
∴∠CBE＝90°，
∴∠BAC＝∠EBC，
∵∠ACB＝∠OCB，
∴△BAC∽△EBC，
∴＝，即＝，
解得：CE＝5，
∴⊙O的半径长为．

【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21．（12分）如图，直线y1＝k1x+b与双曲线y2＝在第一象限内交于A，B两点，已知A（1，m），B（2，1）．
（1）求k2的值及直线AB的解析式．
（2）根据函数图象，直接写出不等式y2＞y1的解集．
（3）设点P是线段AB上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，E是y轴上一点，当△PED的面积为时，请直接写出此时点P的坐标．

【分析】（1）依据反比例函数图象上点的坐标特征，即可得到m和k2的值，再根据待定系数法即可得出直线AB的解析式；
（2）依据直线与双曲线的上下位置关系，即可得到不等式y2＞y1的解集．
（3）设点P（x，﹣x+3），用含x的代数式表示出△PED的面积，再根据二次函数的最值即可得到点P的坐标．
【解答】解：（1）∵点B（2，1）在双曲线上，
∴k2＝2×1＝2，
∴双曲线的解析式为．
∵A（1，m）在双曲线，
∴m＝2，
∴A（1，2）．
∵直线AB：y1＝k1x+b过A（1，2）、B（2，1）两点，
∴，解得
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3
（2）根据函数图象得不等式y2＞y1的解集为0＜x＜1或x＞2．
（3）点P的坐标为．
提示：设点P（x，﹣x+3），且1≤x≤2，
则．
∵当时，
解得，
∴此时点P的坐标为．

【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，二次函数的最值以及三角形的面积公式，求出直线AB的解析式是解本题的关键．
七、（本题满分12分）
22．（12分）某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
销售单价x（元）
40
60
80
日销售量y（件）
80
60
40
（1）求公司销售该商品获得的最大日利润；
（2）销售一段时间以后，由于某种原因，该商品每件成本增加了10元，若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．
【分析】（1）根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求得其最值；
（2）根据题意，列出关系式，再分类讨论求最值，比较得到结果．
【解答】解：（1）设解析式为y＝kx+b，
将（40，80）和（60，60）代入，可得，解得：，
∴y与x的关系式为y＝﹣x+120，
设公司销售该商品获得的日利润为w元，w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣x+120）＝﹣x2+150x﹣3600＝﹣（x﹣75）2+2025，
∵x﹣30≥0，﹣x+120≥0，
∴30≤x≤120，
∵﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
∴当x＝75时，w最大＝2025，
答：当销售单价是75元时，最大日利润是2025元．
（2）w＝（x﹣30﹣10）（﹣x+120）＝﹣x2+160x﹣4800＝﹣（x﹣80）2+1600，
当w最大＝1500时，﹣（x﹣80）2+1600＝1500，
解得x1＝70，x2＝90，
∵40≤x≤a，
∴有两种情况，
①a＜80时，在对称轴左侧，w随x的增大而增大，
∴当x＝a＝70时，w最大＝1500，
②a≥80时，在40≤x≤a范围内w最大＝1600≠1500，
∴这种情况不成立，
∴a＝70．
【点评】本题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有一次函数的性质，二次函数的应用，在解题的过程中，注意正确找出等量关系是解题的关键，属于基础题目．
八、（本题满分14分）
23．（14分）△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，F，E是AC上两点，连接BE，DF交于△ABC内一点G，且∠EGF＝45°．

（1）如图1，求证：∠FDC＝∠AEB；
（2）如图1，若AE＝3CE＝6，求BG的长；
（3）如图2，若F为AC上任意一点，连接AG，求证：∠EAG＝∠ABE．

【分析】（1）根据三角形外角的性质可证明结论；
（2）首先利用勾股定理求出BE和BC的长，再利用△BGD∽△BCE，根据对应边成比例即可得出答案；
（3）连接AD，首先证明△ABD∽△CBA，得，再证明△BGD∽△BCE，得，则，可知△ABG∽△EBA，从而解决问题．
【解答】（1）证明：∵∠FDC＝∠EBC+∠BGD，∠AEB＝∠EBC+∠C，
∴∠FDC＝∠AEB．
（2）解：如图1，∵AE＝3CE＝6，
∴CE＝2，AE＝6，
∴AB＝AC＝8，
∵∠A＝90°，
∴，，
∵D是BC的中点，
∴，
∵∠C＝∠EGF＝∠BGD＝45°，∠DBG＝∠CBE，
∴△BGD∽△BCE，
∴，即，
∴；
（3）证明：如图2，连接AD，
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°＝∠BAC，
∵∠ABD＝∠ABC，
∴△ABD∽△CBA，
∴，
∴AB2＝BD⋅BC，
由（1）知：△BGD∽△BCE，
∴，
∴BD⋅BC＝BG⋅BE，
∴AB2＝BG⋅BE，
∴，
∵∠ABG＝∠ABE，
∴△ABG∽△EBA，
∴∠AGB＝∠BAE＝90°，
∴∠EAG+∠BAG＝∠BAG+∠ABE＝90°，
∴∠EAG＝∠ABE．

【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，证明△ABG∽△EBA是解题的关键．