2022年中考数学真题分项汇编专题03 二次根式（含解析）

专题03 二次根式

一．选择题

1．（2022·湖南衡阳）如果二次根式有意义，那么实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数求解可得．

【详解】根据题意知≥0，解得，故选：B．

【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的双重非负性．

2．（2022·江苏连云港）函数中自变量的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，即可求解．

【详解】解：∵，∴．故选A．

【点睛】本题考查了求函数自变量取值范围，二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．

3．（2022·重庆）估计的值应在（       ）

A．10和11之间 B．9和10之间 C．8和9之间 D．7和8之间

【答案】B

【分析】先化简，利用，从而判定即可．

【详解】 ，

∵，∴，∴，故选：B．

【点睛】本题考查了二次根式混合运算及无理数的估算，熟练掌握无理数估算方法是解题的关键．

4．（2022·湖南常德）我们发现：，，，…，，一般地，对于正整数，，如果满足时，称为一组完美方根数对．如上面是一组完美方根数对．则下面4个结论：①是完美方根数对；②是完美方根数对；③若是完美方根数对，则；④若是完美方根数对，则点在抛物线上．其中正确的结论有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【分析】根据定义逐项分析判断即可．

【详解】解：，是完美方根数对；故①正确；

不是完美方根数对；故②不正确；

若是完美方根数对，则即解得或

是正整数则故③正确；

若是完美方根数对，则,即故④正确故选C

【点睛】本题考查了求算术平方根，解一元二次方程，二次函数的定义，理解定义是解题的关键．

5．（2022·河北）下列正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据二次根式的性质判断即可．

【详解】解：A.，故错误；

B.，故正确；

C.，故错误；

D.，故错误；故选：B．

【点睛】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．

6．（2022·河南）下列运算正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据二次根式的加减，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘以单项式逐项分析判断即可求解．

【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；       

B. ，故该选项不正确，不符合题意；       

C. ，故该选项不正确，不符合题意；       

D. ，故该选项正确，符合题意；故选：D.

【点睛】本题考查了二次根式的加减，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘以单项式，正确地计算是解题的关键．

7．（2022·湖南怀化）下列计算正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】依次对每个选项进行计算，判断出正确的答案．

【详解】∵∴ A错误

∵∴ B错误

∵∴C正确

∵∴ D错误故选：C．

【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．

8．（2022·湖南怀化）下列计算正确的是（　　）

A．（2a2）3＝6a6   B．a8÷a2＝a4   C．＝2   D．（x﹣y）2＝x2﹣y2

【答案】C

【分析】根据积的乘方、同底数幂的除法、二次根式的化简、完全平方公式求解即可；

【详解】解：A.（2a2）3=8a6≠6a6，故错误；

B.a8÷a2=a6≠a4，故错误；

C.=2，故正确；

D.（x﹣y）2=x2﹣2xy+y2≠x2﹣y2，故错误；故选：C．

【点睛】本题主要考查积的乘方、同底数幂的除法、二次根式的化简、完全平方公式等知识，掌握相关运算法则是解题的关键．

9．（2022·云南）下列运算正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据合并同类二次根式判断A，根据零次幂判断B，根据积的乘方判断C，根据同底数幂的除法判断D．

【详解】解：A.不是同类二次根式，不能合并，此选项运算错误，不符合题意；

B.，此选项运算错误，不符合题意；

C.，此选项运算正确，符合题意；

D.，此选项运算错误，不符合题意；故选：C．

【点睛】本题考查了二次根式的加法、零次幂、积的乘方、同底数幂相除，熟练掌握运算法则是解题的关键．

10．（2022·四川德阳）下列计算正确的是（       ）

A．   B．   C．   D．

【答案】B

【分析】根据完全平方公式、二次根式的化简、同底数幂的乘除法则、积的乘法法则逐项判断即可．

【详解】A.，故本选项错误；

B.，故本选项符合题意；

C.，故本选项错误；

D.，故本选项错误；故选：B．

【点睛】本题考查了完全平方公式、二次根式的化简、同底数幂的乘除法则、积的乘法法则，熟练掌握同底数幂的乘除法则、积的乘法法则是解答本题的关键．

11．（2022·江苏连云港）函数中自变量的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，即可求解．

【详解】解：∵，∴．故选A．

【点睛】本题考查了求函数自变量取值范围，二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．

12．（2022·四川自贡）下列运算正确的是（       ）

A．   B．   C．   D．

【答案】B

【分析】根据乘方运算，平方差公式，同底数幂的除法法则，零指数幂的运算法则进行运算即可．

【详解】A.，故A错误；B.，故B正确；

C.，故C错误；D.，故D错误．故选：B．

【点睛】本题主要考查了整式的运算和实数的运算，熟练掌握平方差公式，同底数幂的除法法则，零指数幂的运算法则，是解题的关键．

13．（2022·四川凉山）化简：＝（       ）

A．±2 B．－2 C．4 D．2

【答案】D

【分析】先计算（-2）2=4，再求算术平方根即可．

【详解】解：，故选：D．

【点睛】本题考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．

14．（2022·重庆）估计的值在（       ）

A．6到7之间 B．5到6之间 C．4到5之间 D．3到4之间

【答案】D

【分析】根据49<54<64，得到，进而得到，即可得到答案．

【详解】解：∵49<54<64，∴，

∴，即的值在3到4之间，故选：D．

【点睛】此题考查了无理数的估算，正确掌握无理数的估算方法是解题的关键．

二．填空题

15．（2022·云南）若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．

【答案】x≥﹣1

【分析】根据二次根式有意义的条件可得：x+1≥0，即可求得．

【详解】解：∵代数式有意义∴x+1≥0，∴x≥﹣1．故答案为：x≥﹣1．

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．

16．（2022·湖北武汉）计算的结果是_________．

【答案】2

【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．

【详解】解：．故答案为：2．

【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，注意：．

17．（2022·湖北荆州）若的整数部分为a，小数部分为b，则代数式的值是______．

【答案】2

【分析】先由得到，进而得出a和b，代入求解即可．

【详解】解：∵ ，∴，

∵ 的整数部分为a，小数部分为b，

∴，．

∴，故答案为：2．

【点睛】本题主要考查无理数及代数式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握无理数估算方法和无理数整数和小数部分的求解方法．

18．（2022·山东滨州）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为_____．

【答案】x≥5

【分析】根据二次根式有意义的条件得出x−5≥0，计算求解即可．

【详解】解：由题意知，，解得，，故答案为：．

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．

19．（2022·四川南充）若为整数，x为正整数，则x的值是_______________．

【答案】4或7或8

【分析】根据根号下的数大于等于0和x为正整数，可得x可以取1、2、3、4、5、6、7、8，再根据为整数即可得的值．

【详解】解：∵∴

∵为正整数∴可以为1、2、3、4、5、6、7、8

∵为整数∴为4或7或8故答案为：4或7或8．

【点睛】本题考查了利用二次根式的性质化简、解一元一次不等式等知识点，掌握二次根式的性质是解答本题的关键．

20．（2022·天津）计算的结果等于___________．

【答案】18

【分析】根据平方差公式即可求解．

【详解】解：，故答案为：18．

【点睛】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的展开式是解题的关键．

21．（2022·浙江嘉兴）如图，在ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为_________．

【答案】

【分析】先求解 再利用线段的和差可得答案．

【详解】解：由题意可得：

同理： 故答案为：

【点睛】本题考查的是锐角的正切的应用，二次根式的减法运算，掌握“利用锐角的正切求解三角形的边长”是解本题的关键．

22．（2022·新疆）若在实数范围内有意义，则x的取值范围为__________．

【答案】

【分析】根据二次根式有意义的条件，得到不等式，解出不等式即可.

【详解】要使有意义，则需要，解出得到.故答案为：

【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，能够得到不等式是解题关键.

23．（2022·四川眉山）将一组数，2，，，…，，按下列方式进行排列：

，2，，；

，，，4；

…

若2的位置记为，的位置记为，则的位置记为________．

【答案】

【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得的位置即可．

【详解】数字可以化成：，，，；，，，；

∴规律为：被开数为从2开始的偶数，每一行4个数，

∵，28是第14个偶数，而

∴的位置记为故答案为：

【点睛】本题考查了类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．被开方数全部统一是关键．

24．（2022·江苏扬州）若在实数范围内有意义，则的取值范围是__．

【答案】．

【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，再列不等式，从而可得答案.

【详解】解：若在实数范围内有意义，则，解得：．故答案为：．

【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，解题的关键是根据二次根式有意义的条件列不等式.

25．（2022·四川遂宁）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简______．

【答案】2

【分析】利用数轴可得出，进而化简求出答案．

【详解】解：由数轴可得：，则

∴= = = =2．

故答案为：2．

【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的取值范围是解题关键．

26．（2022·湖南衡阳）计算：＝_____．

【答案】

【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．

【详解】．故答案为：．

【点睛】本题考查了二次根式的乘法，解题的关键是掌握运算法则．

27．（2022·湖南娄底）函数的自变量的取值范围是_______．

【答案】

【分析】由有意义可得：再解不等式可得答案．

【详解】解：由有意义可得：

即 解得： 故答案为：

【点睛】本题考查的是二次根式与分式有意义的条件，函数自变量的取值范围，理解函数自变量的取值范围的含义是解本题的关键．

28．（2022·山西）计算的结果是________．

【答案】3

【分析】直接利用二次根式的乘法法则计算得出答案．

【详解】解：原式＝＝＝3．故答案为：3．

【点睛】此题主要考查了二次根式的乘法法则，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键．

29．（2022·四川宜宾）《数学九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为．现有周长为18的三角形的三边满足，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为______．

【答案】

【分析】根据周长为18的三角形的三边满足，求得，代入公式即可求解．

【详解】解：∵周长为18的三角形的三边满足，设

∴解得

故答案为：

【点睛】本题考查了化简二次根式，正确的计算是解题的关键．

30．（2022·湖北荆州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD．若，则CD＝______．

【答案】

【分析】先求解AE，AC，再连结BE，证明 利用勾股定理求解BC，AB，从而可得答案．

【详解】解： ，

如图，连结 由作图可得：是的垂直平分线，

故答案为：

【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图与性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，熟悉几何基本作图与基本图形的性质是解本题的关键．

31．（2022·湖南常德）使式子有意义的的取值范围是______．

【答案】

【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．

【详解】解：根据题意，得：，

解得：x>4，故答案为：x>4．

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件是二次根式的被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不为0．

32．（2022·湖南岳阳）使有意义的的取值范围是_______．

【答案】

【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可求得的取值范围．

【详解】解：根据题意得，解得．故答案为：．

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是利用被开方数是非负数得出不等式．

33．（2022·山东泰安）计算：__________．

【答案】

【解析】

【分析】

先计算乘法，再合并，即可求解．

【详解】

解：

，

故答案为： ．

【点睛】

本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．

34．（2022·湖北随州）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为______，最大值为______．

【答案】     3     75

【分析】根据n为正整数， 是大于1的整数，先求出n的值可以为3、12、75，300，再结合是大于1的整数来求解．

【详解】解：∵，是大于1的整数，∴．

∵n为正整数∴n的值可以为3、12、75，n的最小值是3，最大值是75．故答案为：3；75．

【点睛】本题考查了无理数的估算，理解无理数的估算方法是解答关键．

35．（2022·四川达州）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则_______．

【答案】5050

【分析】利用分式的加减法则分别可求S1=1，S2=2，S100=100，•••，利用规律求解即可．

【详解】解：，，，

，

，

…，

故答案为：5050

【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得，找出的规律是本题的关键．

三．解答题

36．（2022·四川乐山）

【答案】3

【分析】根据特殊角三角函数值、二次根式的性质、负整数指数幂求解即可．

【详解】解：原式．

【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值、负整数指数幂、二次根式的性质等知识，熟知相关计算法则是解题的关键．

37．（2022·江苏宿迁）计算：4°．

【答案】2

【分析】先计算负整数指数幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数值，再计算乘法，再合并即可．

【详解】解：

【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值的运算，负整数指数幂的含义，二次根式的化简，掌握“运算基础运算”是解本题的关键．

38．（2022·湖南娄底）计算：．

【答案】-2

【分析】分别计算零指数幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值，然后按照去括号、先乘除后加减的顺序依次计算即可得出答案．

【详解】解：

．

【点睛】

此题考查实数的混合运算，包含零指数幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值．熟练掌握相关运算的运算法则以及整体的运算顺序是解决问题的关键．

39．（2022·浙江湖州）计算：．

【答案】0

【分析】先算乘方，再算乘法和减法，即可．

【详解】

【点睛】本题考查实数的混合运算，关键是掌握．

40．（2022·甘肃武威）计算：．

【答案】

【分析】根据二次根式的混合运算进行计算即可求解．

【详解】解：原式.

【点睛】本题考查了次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键．

41．（2022·湖南常德）计算：

【答案】

【分析】根据零次幂，负整指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质进行计算即可求解．

【详解】解：原式＝．

【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握零次幂，负整指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质是解题的关键．

42．（2022·四川广元）计算：2sin60°﹣|﹣2|+（π﹣）0﹣+（﹣）﹣2．

【答案】3

【分析】代入特殊角的三角函数值，按照实数的混合运算法则计算即可得答案．

【详解】解：2sin60°﹣|﹣2|+（π﹣）0﹣+（﹣）﹣2

=2×-2++1-2+4

=-2++1-2+4

=3．

【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂及二次根式的性质与化简，熟练掌握实数的混合运算法则，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．

43．（2022·湖北十堰）计算：．

【答案】

【分析】根据负整数指数幂、乘方、绝对值的性质化简后计算即可．

【详解】解：

=．

【点睛】

本题考查实数的混合运算，解题的关键是根据负整数指数幂、绝对值的性质化简．

44．（2022·四川宜宾）计算：

(1)；(2)．

【答案】(1)(2)

【分析】（1）先化简二次根式，把特殊角三角函数值代入，并求绝对值，再计算乘法，最后合并同类二次根式即可；

（2）先计算括号，再运用除法法则转化成乘法计算即可求解．

【解析】(1)解：原式

；

(2)解：原式

．

【点睛】本题考查实数的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握实数混合运算与分式混合运算法则，熟记特殊角的三角函数值．

45．（2022·四川南充）先化简，再求值：，其中．

【答案】；

【分析】利用多项式乘以多项式及单项式乘以多项式运算法则进行化简，然后代入求值即可．

【详解】解：原式==；

当x=时，原式==3+1-=-．

【点睛】题目主要考查整式的乘法及加减化简求值及二次根式混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．

46．（2022·湖南岳阳）计算：．

【答案】1

【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂，实数的运算，有理数的乘方，绝对值等计算法则求解即可．

【详解】解：

．

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，实数的运算，有理数的乘方，绝对值，准确熟练地化简各式是解题的关键．

47．（2022·湖南娄底）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想”．墩墩使用握力器（如实物图所示）锻炼手部肌肉．如图，握力器弹簧的一端固定在点处，在无外力作用下，弹簧的长度为，即．开始训练时，将弹簧的端点调在点处，此时弹簧长，弹力大小是，经过一段时间的锻炼后，他手部的力量大大提高，需增加训练强度，于是将弹簧端点调到点处，使弹力大小变为，已知，求的长．

注：弹簧的弹力与形变成正比，即，是劲度系数，是弹簧的形变量，在无外力作用下，弹簧的长度为，在外力作用下，弹簧的长度为，则．

【答案】

【分析】利用物理知识先求解 再求解再求解 再利用勾股定理求解MC，从而可得答案．

【详解】解：由题意可得：当时，  即

当时，则 如图，记直角顶点为M，

而

【点睛】本题是跨学科的题，考查了正比例函数的性质，三角形的外角的性质，勾股定理的应用，含的直角三角形的性质，二次根式的化简，理解题意，建立数学函数模型是解本题的关键．