2023山西大学附中高二上学期1月期末考试数学含答案

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山西大学附中2022—2023学年第一学期高二年级1月阶段测试数学试题考察时间：120分钟   满分：150分  考查内容：解析几何 导数命题人：孙娟   审核人：张耀军一、 单选题（每小题5分，共40分）1-8 :BBDB CACC 9.AC 10.AD 11.AD 12.ABC 1．抛物线的焦点坐标为（     ）A．    B．     C．     D． 【答案】B2．函数的单调递减区间为（    ）A． B． C． D．【答案】B 【详解】因为，所以，由解得：，所以函数的单调递减区间为．故选：B．3．已知函数，则（    ）A．2 B．1 C．0 D．【答案】D【详解】因为，则，所以，则，所以，所以.故选：D.4．某放射性同位素在衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系，其中为时该同位素的含量.已知时，该同位素含量的瞬时变化率为，则（ ）A．24贝克 B．贝克 C．1贝克 D．贝克【答案】B【详解】解：由，得，因为时，该同位素含量的时变化率为，所以，解得，所以，故选：B5．设椭圆离心率为，双曲线的渐近线的斜率小于，则椭圆 的离心率的取值范围是（    ）A．    B． C． D．【答案】C【详解】根据双曲线方程可得，其渐近线方程为，又因为，且渐近线的斜率小于，即；所以，椭圆的离心率即离心率的取值范围是.故选：C6.设定义在上的函数，满足任意，都有，且时，，则，，的大小关系是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用构造函数法，结合导数以及函数的周期性确定正确答案.【详解】依题意，任意，都有，所以是周期为的周期函数.所以.构造函数，所以在区间上单调递增，所以，即，也即.故选：A 7．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律．卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为，，下列结论错误的是（    ）．A．卫星向径的取值范围是B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大D．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁【答案】C【详解】解：A选项：由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为，最大值为，所以A正确；B选项：根据在相同时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，故B正确；C选项：因为运行速度是变化的，速度的变化，所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地点时向径越大，卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间，内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，故C不正确；D选项：卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即越小，则越大，椭圆越扁，故D正确.故选：C．8．已知函数有两个零点，且存在唯一的整数，则实数的取值范围（  ）A． B． C． D． 【答案】C【详解】由题意，得，设，求导令，解得当时，，单调递增；当时，，单调递减；故当时，函数取得极大值，且又时，；当时，，故；作出函数大致图像，如图所示：又，因为存在唯一的整数，使得与的图象有两个交点，由图可知：，即故选：C.二、多选题（每小题满分5分，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选或不选的得0分）9．函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（    ）A．在上函数为增函数 B．在上函数为增函数C．在上函数有极大值 D．是函数在区间上的极小值点【答案】AC【详解】由图象可知在区间和上，递增；在区间上，递减.所以A选项正确，B选项错误.在区间上，有极大值为，C选项正确.在区间上，是的极小值点，D选项错误.故选：AC10．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是（    ）A．   B．    C．   D．【答案】AD【详解】对于A，，，当时，，，故不是凸函数；对于B，，，故是凸函数；对于C，，对任意的，，故是凸函数；对于D，，对任意的，，故不是凸函数．故选：AD．11．直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的可能取值为（  ）A．        B．         C．       D．【答案】AD【详解】联立，消y得，.因为直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，所以方程有一正一负根，所以，整理得，解得.所以的取值范围为.故选：AD．12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线的焦点为，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（  ）A．     B．       C．    D．与之间的距离为4【答案】ABC【详解】如图所示，由抛物线的光学性质可知，直线过焦点，即选项A正确；由题意可得，点的坐标为，点的坐标为，，即选项B正确；由抛物线的定义可知，，即选项C正确；与平行，与之间的距离，即选项D错误；故选：ABC 三、填空题（每小题5分，共20分） 13．椭圆的长轴长为______．【答案】414．函数在点处的切线方程为______.【答案】【详解】由函数可得，故在点处的切线的斜率为，故切线方程为，即，故答案为：.15．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为___________.【答案】【变式详解】的定义域为，.要使函数有两个极值点，只需有两个不同正根，并且在的两侧的单调性相反，在的两侧的单调性相反.由得，.令，，要使函数有两个极值点，只需和有两个交点.，令得：x>1；令得：0<x<1；所以在上单减，在上单增.当时，；当时，；作出和的图像如图，所以即实数的取值范围为.故答案为：16．已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为______.全科试题免费下载公众号《高中僧试题下载》【答案】原题：已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为______.【原题详解】令，，∴在上单调递增.∵，，∴，∴恒成立，令，只需，，∴单调递增，∴单调递减，时，的最大值为，∴，∴的最小值为.故答案为： 四、解答题（17题10分，其余每题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知在时有极值0.（1）求常数，的值；（2）求函数在区间上的值域.【详解】（1），可得，  -------1分由题时有极值0.可得：即-------3分解得：或，                                   当时，单调，不会有极值，故舍去. 经验证成立；-------5分（2）由（1）可知，，，     增 减 增  所以函数在和递增，递减. -------7分且，，，，-------9分可得值域为.-------10分18．在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦点为、，实轴长为.（1）求双曲线的标准方程；（2） 过点的直线与曲线交于，两点，且恰好为线段的中点，求直线的方程及弦的长.【详解】：（1）根据题意，焦点在轴上，且，，所以，-------3分双曲线的标准方程为；-------4分（2）过点的直线与曲线交于，两点，且恰好为线段的中点，当直线斜率不存在时，直线方程为，则由双曲线对称性可知线段的中点在轴上，所以不满足题意；-------5分当斜率存在时，设直线方程为，设，，则，化简可得，-------6分因为有两个交点，所以         化简可得恒成立，                                              -------8分因为恰好为线段的中点，则，化简可得，    -------9分所以直线方程为，即.                      -------10分此时，∴．    -------12分19．已知函数.(1)当时，证明：；(2)讨论的单调性.【详解】：（1）当时，令，  -------1分，  -------2分可得时，，此时函数单调递减；时，，此时函数单调递增，  -------3分时，函数取得极小值即最小值，．  -------4分∴，即  -------5分（2）函数的定义域为，，  -------7分当时， 时，，此时函数单调递增，时，，此时函数单调递减；  -------9分时，，，此时函数在单调递增；  -------10分时，时，，此时函数单调递增区间为；时，，此时函数单调递减．  -------12分综上，当时，函数在单调递增，在单调递减；当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减.当时，函数在上单调递增；  20．在新冠肺炎疫情期间，口罩是必不可少的防护用品．某小型口罩生产厂家为保障抗疫需求，调整了口罩生产规模．已知该厂每月生产口罩的固定成本为1万元，每生产x万件，还需投入万元的原材料费，全部售完可获得万元，当月产量不足5万件时，；当月产量不低于5万件时，，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩当月可以全部售完．(1)求月利润（万元）关于月产量（万件）的函数关系式，并求出月产量为3万件时，该厂这个月生产口罩所获得的利润；(2)月产量为多少万件时，该口罩生产厂家所获得月利润最大？最大约为多少万元？（精确到）参考数据：．【详解】：（1）当时； -------1分       当时，------2分 故月利润y关于月产量的函数关系式为-------3分当时，-------4分故月产量为3万件时，该厂这个月生产口罩所获得的利润为7.5万元．-------5分(2)当时，，故时，取得最大值，最大值为8万元；-------7分              当时，，．故时，，时，，所以在上单调递增，在上单调递减，-------9分故当时，取得最大值，且．-----10分         因为，所以当月产量约为8万件时，该口罩生产厂家所获得月利润最大，最大月利润约为8.9万元．-------12分21．已知函数.（1）若在上是增函数，求实数的取值范围；（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【详解】（1）依题，  故，      在上是增函数，在上恒成立. -------2分即：在上恒成立. 设，则当时，；当时，即在上单调递减；在在上单调递增   -------4分 即的取值范围为：-------5分（2）当时，恒成立，所以在上单调递增，且.-------6分因为，所以，则不等式可化为，-------7分即.令，因为，则问题等价于函数在上单调递增，-------8分即在上恒成立，即，.-------9分令，，则.令，解得，所以当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增；所以当时，函数取得最小值，且，所以当时，，-------11分所以.  -------12分22．已知点，，动点满足．记点的轨迹为曲线．（1）求的方程；（2）设为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别是，．证明：直线过定点．【详解】（1）设，则，，，，所以，可以化为，化简得．所以，的方程为．-------4分（2）由题设可设，，，由题意知切线，的斜率都存在，由，得，则，所以，直线的方程为，即，①-------4分因为在上，所以，即，②-------4分将②代入①得，-------6分所以直线的方程为.-------7分同理可得直线的方程为．-------8分因为在直线上，所以，又在直线上，所以，所以直线的方程为，-------11分故直线过定点．-------12分