2023年高考数学考前20天终极冲刺之函数的应用

这是一份2023年高考数学考前20天终极冲刺之函数的应用，共39页。

2023年高考数学考前20天终极冲刺之函数的应用
一．选择题（共8小题）
1．（2023•陕西模拟）已知偶函数f（x）满足f（x）＝f（8﹣x），且当x∈（0，4]时，，关于x的不等式f2（x）+af（x）＞0在[﹣20，20]上有且只有30个整数解，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2023•大通县二模）已知实数a≠1，函数若f（1﹣a）＝f（a﹣1），则a的值为（　　）
A． B． C． D．
3．（2022秋•烟台期末）函数的零点所在的区间为（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
4．（2022秋•安阳期末）已知函数的图像与直线y＝k﹣x有3个不同的交点，则实数k的取值范围是（　　）
A． B．（0，+∞） C． D．（0，2]
5．（2022秋•宜丰县校级期末）已知函数f（x）＝ax﹣ax（a＞1），且f（x）在[1，2]有两个零点，则a的取值范围为（　　）
A．（1，2] B．（1，e） C．[2，e） D．（e，e2]
6．（2022秋•大荔县期末）函数f（x）＝lnx+2x﹣8的零点一定位于下列哪个区间（　　）
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（5，6）
7．（2022秋•宣城期末）方程的根所在的区间是（　　）（参考数据ln2≈0.69，ln3≈1.10）
A．（1，2） B．（2，e） C．（e，3） D．（3，4）
8．（2022秋•雅安期末）通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y（单位：升/小时）与液体所处环境的温度x（单位：°C）近似地满足函数关系y＝eax+b（e为自然对数的底数，a，b为常数）．若该液体在10°C的蒸发速度是0.2升/小时，在20°C的蒸发速度是0.4升/小时，则该液体在30℃的蒸发速度为（　　）
A．0.5升/小时 B．0.6升/小时 C．0.7升/小时 D．0.8升/小时
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2022秋•十堰期末）某城市有一个面积为1km2的矩形广场，该广场为黄金矩形（它的宽与长的比为），在中央设计一个矩形草坪，四周是等宽的步行道，能否设计恰当的步行道宽度使矩形草坪为黄金矩形？下列选项不正确的是（　　）
A．步行道的宽度为m B．步行道的宽度为m
C．步行道的宽度为5m D．草坪不可能为黄金矩形
（多选）10．（2022秋•庆阳期末）现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过60℃．一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80℃，65℃，给出两个茶温T（单位：℃）关于茶泡好后置于室内时间t（单位：分钟，t∈N）的函数模型：①；②．根据所给的数据，下列结论中正确的是（　　）（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）
A．选择函数模型①
B．选择函数模型②
C．该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2分钟
D．该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2.5分钟
（多选）11．（2022秋•德州期末）牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是θ0（单位：℃），环境温度是θ1（单位：℃），其中θ0＞θ1、则经过t分钟后物体的温度θ将满足θ＝f（t）＝θ1+（θ0﹣θ1）•e﹣kt（k∈R且k＞0）．现有一杯100℃的热红茶置于10℃的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（　　）（参考数值ln2≈0.7，ln3≈1.1）
A．若f（3）＝40℃，则f（6）＝20℃
B．若，则红茶下降到55℃所需时间大约为6分钟
C．5分钟后物体的温度是40℃，k约为0.22
D．红茶温度从80℃下降到60°C所需的时间比从60℃下降到40℃所需的时间多
（多选）12．（2022秋•庐江县期末）已知函数f（x）＝x﹣1，g（x）＝．记max（a，b）＝，则下列关于函数F（x）＝max{f（x），g（x）}（x≠0）的说法正确的是（　　）
A．当x∈（0，2）时，F（x）＝x﹣1
B．函数F（x）的最小值为﹣2
C．函数F（x）在（﹣1，0）上单调递增
D．若关于x的方程F（x）＝m恰有两个不相等的实数根，则﹣2＜m＜﹣1或m＞1
三．填空题（共5小题）
13．（2022秋•遂宁期末）某商场以每件30元的价格购进一种商品，根据销售经验，这种商品每天的销量m（件）与售价x（元）满足一次函数m＝100﹣2x，若要每天获得最大的销售利润，则每件商品的售价应定为 　 　元．
14．（2022秋•遂宁期末）已知函数若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是 　 　．
15．（2023春•城区校级月考）已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝a有3个不同实根，则实数a取值范围为 　 　．
16．（2022秋•沧州期末）若正实数x0是关于x的方程ex+x＝ax+lnax的根，则＝　 　．
17．（2022秋•武陵区校级期末）已知函数，若f（x）﹣m＝0有两个实根x1，x2（x1＜x2），则的取值范围为 　 　．
四．解答题（共5小题）
18．（2022秋•沧州期末）已知函数，其中a∈R．
（1）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；
（2）设函数g（x）＝f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，试讨论函数g（x）的零点个数．
19．（2022秋•衢州期末）已知函数．
（1）若，判断f（x）的零点个数，并说明理由；
（2）记，求证：对任意x∈[0，1]，均有﹣M≤f（x）≤M．
20．（2022秋•济宁期末）流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病．了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究．经过2分钟菌落的覆盖面积为48mm2，经过3分钟覆盖面积为64mm2，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积y（单位：mm2）与经过时间x（单位：min）的关系现有三个函数模型：①y＝kax（k＞0，a＞1），②y＝logbx（b＞1），③（p＞0）可供选择．（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）
（1）选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式；
（2）在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过300mm2？（结果保留到整数）
21．（2022秋•商丘期末）如图，四边形ABCD是一块长方形绿地，AB＝3km，AD＝2km，EF是一条直路，交BC于点E，交AB于点F，且BE＝AF＝1km．现在该绿地上建一个标志性建筑物，使建筑物的中心到D，E，F三个点的距离相等．以点B为坐标原点，直线BC，BA分别为x，y轴建立如图所示的直角坐标系．
（1）求出建筑物的中心的坐标；
（2）由建筑物的中心到直路EF要开通一条路，已知路的造价为100万元/km，求开通的这条路的最低造价．附：．

22．（2022秋•安庆期末）2022年11月20日，备受全球球迷关注的第22届世界杯足球赛如期开幕，全球32支参赛队伍，将在64场比赛中争夺世界足球的最高荣誉大力神杯！某体育用品商店借此良机展开促销活动，据统计，该店每天的销售收入不低于2万元时，其纯利润y（单位：万元）随销售收入x（单位：万元）的变化情况如下表所示：
x（万元）
2
3
5
y（万元）



（1）根据表中数据，分别用模型y＝loga（x+m）+b（a＞0且a≠1）与建立y关于x的函数解析式；
（2）已知当x＝9时，y＝3.3，你认为（1）中哪个函数模型更合理？请说明理由．（参考数据：）

2023年高考数学考前20天终极冲刺之函数的应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2023•陕西模拟）已知偶函数f（x）满足f（x）＝f（8﹣x），且当x∈（0，4]时，，关于x的不等式f2（x）+af（x）＞0在[﹣20，20]上有且只有30个整数解，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据条件可得出函数周期为8，再由题意可确定半周期x∈（0，4]上有3个整数解，利用导数研究函数的单调性，根据1，2，3为不等式整数解列出不等式求解即可．
【解答】解：∵f（x）＝f（8﹣x），∴f（﹣x）＝f（8+x），
又函数为偶函数，∴f（x）＝f（8+x），即函数周期为T＝8，
因为不等式f2（x）+af（x）＞0在[﹣20，20]上有且只有30个整数解，所以不等式在（0，4]上恰有3个整数解，
又，可知时，f'（x）＞0，时，f'（x）＜0，
所以f（x）在上递增，在上递减，，所以1，2，3满足不等式，
故a＜0，且需解得．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题．
2．（2023•大通县二模）已知实数a≠1，函数若f（1﹣a）＝f（a﹣1），则a的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】分段函数的应用；函数的值．菁优网版权所有
【专题】计算题；分类讨论；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据分段函数的解析式，结合分段条件分a＜1和a＞1两种情况讨论，即可求解．
【解答】解：由题意，函数，
当a＜1时，由f（1﹣a）＝f（a﹣1）可得41﹣a＝21，即22﹣2a＝21，解得；
当a＞1时，由f（1﹣a）＝f（a﹣1）可得4a﹣1＝2a﹣（1﹣a），即22a﹣2＝22a﹣1，此时方程无解，
综上可得，实数a的值为．
故选：A．
【点评】本题主要考查分段函数及其应用，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于基础题．
3．（2022秋•烟台期末）函数的零点所在的区间为（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
【考点】函数零点的判定定理．菁优网版权所有
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据零点存在性定理f（a）f（b）＜0，在（0，+∞）为单调递减函数，结合f（2）＞0，f（3）＜0即可求解．
【解答】解：依题意，函数的定义域为（0，+∞），
而在（0，+∞）为单调递减函数，y＝﹣lnx在（0，+∞）为单调递减函数，
因为e3＞4，所以，即，
所以，，
所以f（2）⋅f（3）＜0，
所以由零点存在性定理可知，
函数在区间（2，3）有零点．
故选：C．
【点评】本题考查了函数零点的判定定理，考查运算求解能力，属于中档题．
4．（2022秋•安阳期末）已知函数的图像与直线y＝k﹣x有3个不同的交点，则实数k的取值范围是（　　）
A． B．（0，+∞） C． D．（0，2]
【考点】函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有
【专题】计算题；数形结合；分类讨论；数形结合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】作函数f（x）的大致图像（实线），平移直线y＝k﹣x，数形结合得出实数k的取值范围．
【解答】解：如图，作函数f（x）的大致图像（实线），

平移直线y＝k﹣x，由k﹣x＝x2+2x+2可得，x2+3x+2﹣k＝0，
，
故当时，直线与曲线y＝x2+2x+2（x≤0）相切；
当k＝0时，直线y＝﹣x经过点（0，0），且与曲线y＝x2+2x+2（x≤0）有2个不同的交点；
当k＝2时，直线y＝2﹣x经过点（0，2），且与f（x）的图像有3个不同的交点．
由图分析可知，当k∈（0，2]时，f（x）的图像与直线y＝k﹣x有3个不同的交点．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与分类讨论思想的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
5．（2022秋•宜丰县校级期末）已知函数f（x）＝ax﹣ax（a＞1），且f（x）在[1，2]有两个零点，则a的取值范围为（　　）
A．（1，2] B．（1，e） C．[2，e） D．（e，e2]
【考点】函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；数学运算．
【分析】根据给定条件，利用零点的意义等价转化，构造函数g（x）＝xlna﹣lnx﹣lna，再借助导数探讨函数g（x）在[1，2]有两个零点作答．
【解答】解：a＞1，x∈[1，2]，由f（x）＝0得，ax＝ax，则xlna＝lnx+lna，令g（x）＝xlna﹣lnx﹣lna，
依题意，函数g（x）在[1，2]有两个零点，显然g（1）＝0，而在[1，2]上单调递增，
则有，当lna﹣1≥0或，即a≥e或时，g（x）在[1，2]上单调递增或单调递减，
即有函数g（x）在[1，2]只有一个零点1，因此，此时当时，g'（x）＜0，当时，g'（x）＞0，
函数g（x）在上单调递减，在单调递增，则，
要函数g（x）在[1，2]有两个零点，当且仅当g（x）在上有一个零点，即有g（2）＝lna﹣ln2≥0，解得a≥2，
所以2≤a＜e，即a的取值范围是[2，e）．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查导数的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
6．（2022秋•大荔县期末）函数f（x）＝lnx+2x﹣8的零点一定位于下列哪个区间（　　）
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（5，6）
【考点】函数零点的判定定理；二分法的定义与应用．菁优网版权所有
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】利用零点存在定理直接判断．
【解答】连接：由题意可知，f（3）＝ln3﹣2＜0，f（4）＝ln4＞0，
故f（3）⋅f（4）＜0，又因函数f（x）＝lnx+2x﹣8在（0，+∞）上单调递增，
所以函数f（x）＝lnx+2x﹣8的零点一定位于区间（3，4）．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数零点存在性定理的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
7．（2022秋•宣城期末）方程的根所在的区间是（　　）（参考数据ln2≈0.69，ln3≈1.10）
A．（1，2） B．（2，e） C．（e，3） D．（3，4）
【考点】函数零点的判定定理．菁优网版权所有
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】由可得x+lnx﹣e＝0，利用零点存在定理可得出结论．
【解答】解：对于方程，有x＞0，可得x+lnx﹣e＝0，
令f（x）＝x+lnx﹣e，其中x＞0，
因为函数y＝x﹣e、y＝lnx在（0，+∞）上为增函数，故函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，
因为f（1）＝1﹣e＜0，f（2）＝2+ln2﹣e＜0，f（e）＝1＞0，
由零点存在定理可知，函数f（x）的零点在区间（2，e）内．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数零点存在性定理的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
8．（2022秋•雅安期末）通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y（单位：升/小时）与液体所处环境的温度x（单位：°C）近似地满足函数关系y＝eax+b（e为自然对数的底数，a，b为常数）．若该液体在10°C的蒸发速度是0.2升/小时，在20°C的蒸发速度是0.4升/小时，则该液体在30℃的蒸发速度为（　　）
A．0.5升/小时 B．0.6升/小时 C．0.7升/小时 D．0.8升/小时
【考点】根据实际问题选择函数类型．菁优网版权所有
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】由题意可得，求出a，b，再将x＝30代入即可得解．
【解答】解：由题意得，
两式相除得 e10a＝2，所以eb＝0.1，
当x＝30时，e30a+b＝（ e10a）3⋅eb＝0.8，
所以该液体在30°C的蒸发速度为0.8升/小时．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2022秋•十堰期末）某城市有一个面积为1km2的矩形广场，该广场为黄金矩形（它的宽与长的比为），在中央设计一个矩形草坪，四周是等宽的步行道，能否设计恰当的步行道宽度使矩形草坪为黄金矩形？下列选项不正确的是（　　）
A．步行道的宽度为m B．步行道的宽度为m
C．步行道的宽度为5m D．草坪不可能为黄金矩形
【考点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】设广场的宽为m，则长为am，步行道的宽度为zm，根据黄金矩形的比例关系列出方程，求出z＝0，从而得到D正确，ABC错误．
【解答】解：设该广场的宽为m，则长为am，
所以，
设步行道的宽度为zm，使得草坪为黄金矩形，
由于，
则，
解得：z＝0，
故草坪不可能为黄金矩形，D正确，ABC错误．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
（多选）10．（2022秋•庆阳期末）现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过60℃．一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80℃，65℃，给出两个茶温T（单位：℃）关于茶泡好后置于室内时间t（单位：分钟，t∈N）的函数模型：①；②．根据所给的数据，下列结论中正确的是（　　）（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）
A．选择函数模型①
B．选择函数模型②
C．该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2分钟
D．该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2.5分钟
【考点】根据实际问题选择函数类型．菁优网版权所有
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学建模．
【分析】将x＝2分别代入与，从而可判断AB；解不等式可得判断CD．
【解答】解：将x＝2代入，得T＝65；
将x＝2代入，得．
故选择函数模型①．
由，可得，
故该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2.5分．
故选：AD．
【点评】本题主要考查根据实际问题选择函数类型，考查函数思想与运算求解能力，属于中档题．
（多选）11．（2022秋•德州期末）牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是θ0（单位：℃），环境温度是θ1（单位：℃），其中θ0＞θ1、则经过t分钟后物体的温度θ将满足θ＝f（t）＝θ1+（θ0﹣θ1）•e﹣kt（k∈R且k＞0）．现有一杯100℃的热红茶置于10℃的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（　　）（参考数值ln2≈0.7，ln3≈1.1）
A．若f（3）＝40℃，则f（6）＝20℃
B．若，则红茶下降到55℃所需时间大约为6分钟
C．5分钟后物体的温度是40℃，k约为0.22
D．红茶温度从80℃下降到60°C所需的时间比从60℃下降到40℃所需的时间多
【考点】根据实际问题选择函数类型．菁优网版权所有
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】由题知θ＝f（t）＝10+90e﹣kt，根据指对数运算和指数函数的性质依次讨论各选项求解．
【解答】解：由题知θ＝f（t）＝10+90e﹣kt，
A选项：若f（3）＝40°C，即40＝10+90e﹣3k，所以，
则，A正确；
B选项：若，则，则，
两边同时取对数得，所以t＝10ln2≈7，
所以红茶下降到55°C所需时间大约为7分钟，B错误；
C选项：5分钟后物体的温度是40°C，即10+90⋅e﹣5k＝40，
则，得，所以，故C正确；
D选项：f（t）为指数型函数，如图，

可得红茶温度从80°C下降到60°C所需的时间（t2﹣t1）比从60°C下降到40°C所需的时间（t3﹣t2）少，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
（多选）12．（2022秋•庐江县期末）已知函数f（x）＝x﹣1，g（x）＝．记max（a，b）＝，则下列关于函数F（x）＝max{f（x），g（x）}（x≠0）的说法正确的是（　　）
A．当x∈（0，2）时，F（x）＝x﹣1
B．函数F（x）的最小值为﹣2
C．函数F（x）在（﹣1，0）上单调递增
D．若关于x的方程F（x）＝m恰有两个不相等的实数根，则﹣2＜m＜﹣1或m＞1
【考点】分段函数的应用；函数的最值及其几何意义．菁优网版权所有
【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用；逻辑推理；直观想象；数学运算．
【分析】得到函数F（x）＝，作出其图象逐项判断．
【解答】解：由题意得：F（x）＝，其图象如图所示：
由图象知：当x∈（0，2）时，F（x）＝，故A错误；
函数F（x）的最小值为﹣2，故B正确；
函数F（x）在（﹣1，0）上单调递增，故C正确；
方程F（x）＝m恰有两个不相等的实数根，则﹣2＜m＜﹣1或m＞1，故D正确；
故选：BCD．

【点评】本题考查了分段函数的应用，作出函数图象是解答本题的关键，属于中档题．
三．填空题（共5小题）
13．（2022秋•遂宁期末）某商场以每件30元的价格购进一种商品，根据销售经验，这种商品每天的销量m（件）与售价x（元）满足一次函数m＝100﹣2x，若要每天获得最大的销售利润，则每件商品的售价应定为 　40　元．
【考点】根据实际问题选择函数类型．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据题意求出某商场每天获得销售利润y关于售价x的函数关系式，再根据二次函数知识可求出结果．
【解答】解：设某商场每天获得销售利润为y（元），
则y＝（x﹣30）m＝（x﹣30）（100﹣2x）＝﹣2（x﹣40）2+200，
因为x＞30，所以当x＝40（元）时，y取得最大值为200（元）．
所以若要每天获得最大的销售利润，则每件商品的售价应定为40元．
故答案为：40
【点评】本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于中档题．
14．（2022秋•遂宁期末）已知函数若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是 　（1，2]∪（3，+∞）　．
【考点】函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】先求出和x2﹣3x+2＝0的根，再根据f（x）恰有2个零点，以及f（x）的解析式可得a的范围．
【解答】解：由，得2x＝8，得x＝3；
由x2﹣3x+2＝0，得（x﹣1）（x﹣2）＝0，得x＝1或x＝2，
因为f（x）恰有2个零点，
所以若x＝1和x＝2是函数f（x）的零点，则x＝3不是函数f（x）的零点，则a＞3；
若x＝1和x＝3是函数f（x）的零点，则x＝2不是函数f（x）的零点，则1＜a≤2，
若x＝2和x＝3是函数f（x）的零点，x＝1不是函数f（x）的零点，则不存在这样的a．
综上所述：a＞3或1＜a≤2，即实数a的取值范围是（1，2]∪（3，+∞）．
故答案为：（1，2]∪（3，+∞）．
【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题．
15．（2023春•城区校级月考）已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝a有3个不同实根，则实数a取值范围为 　（0，）　．
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【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】利用导数研究分段函数f（x）的性质，作出函数图形，数形结合即可求出结果．
【解答】解：因为x≥0时，f（x）＝，则f′（x）＝，令f′（x）＝0，则x＝1，
所以x∈（0，1）时，f′（x）＞0，则f（x）单调递增；
当x∈[1，+∞）时，f′（x）＜0，则f（x）单调递减；
且f（0）＝0，f（1）＝，x→+∞时，f（x）→0；
当x＜0时，f（x）＝3x﹣x3，则f′（x）＝3﹣3x2，
令f′（x）＝0，则x＝﹣1，所以x∈（﹣1，0）时，f′（x）＞0，则f（x）单调递增；
当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＜0，则f（x）单调递减；且f（0）＝0，f（﹣1）＝﹣4，x→﹣∞时，f（x）→+∞；
作出f（x）在R上的图象，如图：
由图可知要使f（x）＝a有3个不同的实根，则0＜a＜，
故答案为：（0，）．

【点评】本题考查了函数零点及数形结合思想的应用，作出函数的图象是解答本题的关键也是难点，属于中档题．
16．（2022秋•沧州期末）若正实数x0是关于x的方程ex+x＝ax+lnax的根，则＝　0　．
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【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】设f（x）＝ex+x，同构变形得到ex+x＝elnax+lnax，即f（x）＝f（lnax），从而得到x0＝lnax0，即，从而结果．
【解答】解：令f（x）＝ex+x，则f（x）在（0，+∞）上单调递增，
ex+x＝ax+lnax，即ex+x＝elnax+lnax，故f（x）＝f（lnax），
∵正实数x0是方程ex+x＝ax+lnax的根，
∴f（x0）＝f（lnax0），则x0＝lnax0，得，
即．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于基础题．
17．（2022秋•武陵区校级期末）已知函数，若f（x）﹣m＝0有两个实根x1，x2（x1＜x2），则的取值范围为 　　．
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【专题】计算题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】原问题等价于函数y＝f（x）与直线y＝m的图象有两个不同的交点，即求的值域即可．
【解答】解：作出函数y＝f（x）与y＝m的图象，如图所示：

原问题等价于函数y＝f（x）与直线y＝m的图象有两个不同的交点，
此时f（x1）＝m，，m∈（1，3），
∴，
由对勾函数的性质知，在上单调递减，在上单调递增，
所以当m∈（1，3），，
所以，
则．
故答案为：．
【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
四．解答题（共5小题）
18．（2022秋•沧州期末）已知函数，其中a∈R．
（1）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；
（2）设函数g（x）＝f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，试讨论函数g（x）的零点个数．
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【专题】计算题；分类讨论；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】（1）求出f（1），根据对数函数的单调性，列出不等式，求解即可得到答案；
（2）原题可转化为求方程g（x）＝0根的个数，结合g（x）的定义域，求方程（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1＝0根的个数．对a的取值范围分类讨论，得出（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1＝0根的个数，结合函数g（x）的定义域即可得出答案．
【解答】解：（1）因为f（1）＝log2（1+a）＜3＝log28，
所以0＜1+a＜8，即﹣1＜a＜7，
所以a的取值范围为（﹣1，7）．
（2）由已知可得，g（x）＝f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝．
求函数g（x）零点的个数，即求方程g（x）＝0根的个数，
由g（x）＝0，可得，
即，
整理可得，（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1＝0．
①当a＝4时，可化为x+1＝0，解得x＝﹣1，方程只有一个根，故此时函数g（x）有一个零点；
②当a＝3时，方程可化为x2+2x+1＝0，解得x＝﹣1，方程只有一个根，故此时函数g（x）有一个零点；
③当a≠4且a≠3时，解方程（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1＝0得，x＝﹣1或．
令，v（x）＝（a﹣4）x+2a﹣5．
则u（﹣1）＝v（﹣1）＝a﹣1，．
（ⅰ）a＞2且a≠4且a≠3，
则a﹣1＞0且2a﹣4＞0，此时有u（﹣1）＝v（﹣1）＞0，，故此时函数g（x）有两个零点；
（ⅱ）1＜a≤2，则a﹣1＞0，2a﹣4＜0，则u（﹣1）＝v（﹣1）＞0，，即不在函数g（x）的定义域内，故此时函数g（x）有一个零点；
（ⅲ）当a≤1，则a﹣1≤0，2a﹣4＜0，则u（﹣1）＝v（﹣1）≤0，，即此时﹣1和均不在函数g（x）的定义域内，故此时函数g（x）无零点．
综上，当a∈（﹣∞，1]时，g（x）无零点；当a∈（1，2]∪{3，4}时，g（x）有一个零点；当a∈（2，3）∪（3，4）∪（4，+∞）时，g（x）恰有2个零点．
【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．
19．（2022秋•衢州期末）已知函数．
（1）若，判断f（x）的零点个数，并说明理由；
（2）记，求证：对任意x∈[0，1]，均有﹣M≤f（x）≤M．
【考点】函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）结合对勾函数性质，分x＜﹣1和x＞﹣1两种情况讨论，即得解；
（2）由题得，由于f（x）在递减，在递增，所以再分，和三种情况讨论得证．
【解答】解：（1）因为，，结合对勾函数性质，
①1+x＜0，即x＜﹣1时，，此时f（x）＝0无解；
②1+x＞0，即x＞﹣1时，f（x）在上单调递减，在上单调递增，
故，
此时，f（x）＝0有两解：综上可知，f（x）有两个零点．
（2）证明：事实上，且，
因为，结合a＞0知f（x）在递减，在递增，
①若，即a≥1时，f（x）在[0，1]递增，故f（x）≤f（1）＝M成立，
另一方面f（x）≥f（0），结合f（0）+f（1）＞0知，f（x）≥f（0）＞﹣f（1）＝﹣M，故﹣M≤f（x）≤M成立．
②若，即时，f（x）在[0，1]递减，故f（x）≤f（0）＝M成立，
另一方面f（x）≥f（1），结合f（0）+f（1）＞0知，f（x）≥f（1）＞﹣f（0）＝﹣M，故﹣M≤f（x）≤M成立．
③若，即时，f（x）在递减，在递增，
故f（x）≤max{f（0），f（1）}＝M成立，
下面证明f（x）≥﹣M，只需证，
由，
（ⅰ）若f（0）≥f（1），即时，，
则，
注意到，由成立及成立，
可知成立，即此时f（x）≥﹣M成立．
（ⅱ）若f（0）＜f（1），即时，，
则，
注意到，由成立及成立，
可知，即此时f（x）≥﹣M成立．
结合（ⅰ）（ⅱ）可知﹣M≤f（x）≤M成立．
综上，对任意x∈[0，1]，均有﹣M≤f（x）≤M．
【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于难题．
20．（2022秋•济宁期末）流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病．了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究．经过2分钟菌落的覆盖面积为48mm2，经过3分钟覆盖面积为64mm2，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积y（单位：mm2）与经过时间x（单位：min）的关系现有三个函数模型：①y＝kax（k＞0，a＞1），②y＝logbx（b＞1），③（p＞0）可供选择．（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）
（1）选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式；
（2）在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过300mm2？（结果保留到整数）
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【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学建模；数学运算．
【分析】（1）根据题意，分析三个函数模型的增长速度快慢，选择y＝kax，并求出解析式；
（2）根据题意，，求出x的取值范围，进而得出结果．
【解答】解：（1）因为y＝kax（k＞0，a＞1）的增长速度越来越快，
y＝logbx（b＞1）和（p＞0）的增长速度越来越慢，
所以应选函数模型y＝kax（k＞0，a＞1）．
由题意得，解得，
所以该函数模型为（x≥0）；
（2）由题意得，即，
所以，
又，
所以至少经过9min培养基中菌落的覆盖面积能超过300mm2．
【点评】本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
21．（2022秋•商丘期末）如图，四边形ABCD是一块长方形绿地，AB＝3km，AD＝2km，EF是一条直路，交BC于点E，交AB于点F，且BE＝AF＝1km．现在该绿地上建一个标志性建筑物，使建筑物的中心到D，E，F三个点的距离相等．以点B为坐标原点，直线BC，BA分别为x，y轴建立如图所示的直角坐标系．
（1）求出建筑物的中心的坐标；
（2）由建筑物的中心到直路EF要开通一条路，已知路的造价为100万元/km，求开通的这条路的最低造价．附：．

【考点】根据实际问题选择函数类型．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学建模；数学运算．
【分析】（1）设出过点D，E，F的圆的一般方程，代入三个点的坐标，待定系数法求出圆的一般方程，化为标准方程，得到圆心，即建筑物的中心的坐标；
（2）求出，由垂径定理得到点H到EF的距离，从而求出开通的这条路的最低造价．
【解答】解：（1）由题可知E（1，0），F（0，2），D（2，3），
由题可知经过点D，E，F的圆的圆心H即为所建建筑物的中心，
设圆H的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
则，解得，
∴圆H的方程为x2+y2﹣3x﹣3y+2＝0，即，
∴建筑物的中心的坐标为．
（2）因为为建筑物的中心坐标，
设线段EF的中点为Q，由垂径定理得HQ的长度为点H到EF的最小距离，
∵，圆H的半径为，
∴点H到EF的距离为，
∴开通的这条路的最低造价为（万元）．
【点评】本题主要考查根据实际问题选择函数类型，考查圆的方程的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
22．（2022秋•安庆期末）2022年11月20日，备受全球球迷关注的第22届世界杯足球赛如期开幕，全球32支参赛队伍，将在64场比赛中争夺世界足球的最高荣誉大力神杯！某体育用品商店借此良机展开促销活动，据统计，该店每天的销售收入不低于2万元时，其纯利润y（单位：万元）随销售收入x（单位：万元）的变化情况如下表所示：
x（万元）
2
3
5
y（万元）



（1）根据表中数据，分别用模型y＝loga（x+m）+b（a＞0且a≠1）与建立y关于x的函数解析式；
（2）已知当x＝9时，y＝3.3，你认为（1）中哪个函数模型更合理？请说明理由．（参考数据：）
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【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用；数学建模；数学运算．
【分析】（1）根据已知数据列方程组求解即得；
（2）x＝9代入两个模型计算后比较可得．
【解答】解：（1）若选用y＝loga（x+m）+b，
则依题意可得，解得a＝2，m＝﹣1，，
则．
若选用，
则依题意可得，解得，，，则．
（2）对于函数，当x＝9时，（万元）；
对于函数，当x＝9时，（万元）；
因为|3.525﹣3.3|＞|3.25﹣3.3|，所以选用模型更合理．
【点评】本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于中档题．

考点卡片
1．基本不等式及其应用
【概述】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
【实例解析】
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b均为负数，则． B：． C：． D：．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时，＝，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y≤，
若x＜0时，﹣≤y＜0，
综上得，可以得出﹣≤y≤，
∴的最值是﹣与．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【基本不等式的应用】
1、求最值
例1：求下列函数的值域．

2、利用基本不等式证明不等式

3、基本不等式与恒成立问题

4、均值定理在比较大小中的应用



【解题方法点拨】
技巧一：凑项

点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）＝[2x•（8﹣2x）]≤（）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分离
例3：求y＝的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y＝＝＝（x+1）++5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2+5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x+的单调性．

技巧六：整体代换

点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方

点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
2．函数的最值及其几何意义
【知识点的认识】
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
【解题方法点拨】
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．
【命题方向】
本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识 点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．
3．函数的值
【知识点的认识】
函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围．
【解题方法点拨】
求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种：
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较
例题：求f（x）＝lnx﹣x在（0，+∞）的值域
解：f′（x）＝﹣1＝
∴易知函数在（0，1]单调递增，（1，+∞）单调递减
∴最大值为：ln1﹣1＝﹣1，无最小值；
故值域为（﹣∞，﹣1）
【命题方向】
函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题难度小，方法集中，希望同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒成立的问题为主．
4．函数零点的判定定理
【知识点的知识】
1、函数零点存在性定理：
一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．
特别提醒：
（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．
（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．
（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．

2、函数零点个数的判断方法：
（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：
①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；
②函数的零点是实数而不是数轴上的点．

（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．
5．函数的零点与方程根的关系
【函数的零点与方程根的关系】
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
6．二分法的定义与应用
【二分法的定义】
二分法 即一分为二的方法．设函数f（x）在[a，b]上连续，且满足f（a）•f（b）＜0，我们假设f（a）＜0，f（b）＞0，那么当x1＝时，若f（x1）＝0，这说x1为零点；若不为0，假设大于0，那么继续在[x1，b]区间取中点验证它的函数值为0，一直重复下去，直到找到满足要求的点为止．这就是二分法的基本概念．
【二分法的应用】
我们以具体的例子来说说二分法应用的一个基本条件：
例题：下列函数图象均与x轴有交点，其中能用二分法求函数零点的是

解：能用二分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，
有图象可得，只有③能满足此条件，
故答案为 ③．
在这个例题当中，所要求的能力其实就是对概念的理解，这也是二分法它惯用的考查形式，通过这个例题，希望同学们能清楚二分法的概念和常考题型．
【二分法求方程的近似解】
二分法在高中主要属于了解性的内容，拿二分法求近似解思路也比较固定，这里我们主要以例题来做讲解．
例：用二分法求方程在[1，2]上的近似解，取中点c＝1.5，则下一个有根区间是　[1.5，2]　．
解：令函数f（x）＝lnx﹣，由于f（1.5）＝ln（1.5）﹣＝（ln1.52﹣2）＜（lne2﹣2）＝0，即f（1.5）＜0，
而f（2）＝ln2﹣＝ln2﹣ln＝ln＝ln＞ln1＝0，即f（2）＞0，
故函数f（x）在[1.5 2]上存在零点，故方程在[1.5，2]上有根，
故答案为[1.5，2]．
通过这个例题，我们可以发现二分法的步奏，第一先确定f（a）•f（b）＜0的a，b点；第二，寻找区间（a，b）的中点，并判断它的函数值是否为0；第三，若不为0，转第一步．
7．分段函数的应用
【分段函数的应用】
分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样，有些甚至不是连续的．这个在现实当中是很常见的，比如说水的阶梯价，购物的时候买的商品的量不同，商品的单价也不同等等，这里面都涉及到分段函数．
【具体应用】
正如前面多言，分段函数与我们的实际联系比较紧密，那么在高考题中也时常会以应用题的形式出现．下面我们通过例题来分析一下分段函数的解法．
例：市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税．某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，年销售量为11.8万件．第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p%（0＜p＜100，即销售100元要征收p元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件元，预计年销售量将减少p万件．
（Ⅰ）将第二年政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；
（Ⅱ）要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p%的范围是多少？
（Ⅲ）在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？
解：（Ⅰ）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8﹣p）万件，
年销售收入为（11.8﹣p）万元，
政府对该商品征收的税收y＝（11.8﹣p）p%（万元）
故所求函数为y＝（11.8﹣p）p
由11.8﹣p＞0及p＞0得定义域为0＜p＜11.8…（4分）
（II）由y≥16得（11.8﹣p）p≥16
化简得p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得2≤p≤10．
故当税率在[0.02，0.1]内时，税收不少于16万元．…（9分）
（III）第二年，当税收不少于16万元时，
厂家的销售收入为g（p）＝（11.8﹣p）（2≤p≤10）
∵在[2，10]是减函数
∴g（p）max＝g（2）＝800（万元）
故当税率为2%时，厂家销售金额最大．
这个典型的例题当中，我们发现分段函数首先还是要有函数的功底，要有一定的建模能力，这个与分不分段其实无关．我们重点看看分段函数要注意的地方．第一，要明确函数的定义域和其相对的函数表达式；第二注意求的是整个一大段的定义域内的值域还是分段函数某段内部的值；第三，注意累加的情况和仅仅某段函数的讨论．
【考查预测】
修炼自己的内功，其实分不分段影响不大，审清题就可以了，另外，最好画个图来解答．
8．根据实际问题选择函数类型
【知识点的知识】
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．
2．用函数模型解决实际问题
（1）数据拟合：
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
（2）常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．
②反比例函数模型：y＝（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．
③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．
⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．
3．函数建模
（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．
（2）过程：如下图所示．

【典型例题分析】
典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（　　）
A．y＝0.025x B．y＝1.003x C．y＝l+log7x D．y＝x2
分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%，然后一一验证即可．
解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10，1000]时，
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%＝x，
A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；
B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；
C中，函数y＝l+log7x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7x≤x恒成立，故满足公司要求；
D中，函数y＝x2，易知满足①，当x＝400时，y＞5不满足公司要求；
故选C
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．

典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x＝（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：
（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t（万元）的函数；
（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）
分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．
（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．
解答：解：（1）由题意：3﹣x＝，
且当t＝0时，x＝1．
所以k＝2，所以3﹣x＝，…（1分）
生产成本为32x+3，每件售价，…（2分）
所以，y＝…（3分）
＝16x﹣＝，（t≥50）；…（2分）
（2）因为当且仅当，即t＝7时取等号，…（4分）
所以y≤50﹣8＝42，…（1分）
答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．

【解题方法点拨】
用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：
（1）解函数关系已知的应用题
①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．
（2）解函数关系未知的应用题
①阅读理解题意
看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；
②抽象函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．