2023年高考数学考前20天终极冲刺之导数

这是一份2023年高考数学考前20天终极冲刺之导数，共36页。
2023年高考数学考前20天终极冲刺之导数
一．选择题（共8小题）
1．（2023•自贡模拟）已知函数f（x）＝3x4﹣8x3+6x2，则f（x）（　　）
A．有2个极大值点
B．有1个极大值点和1个极小值点
C．有2个极小值点
D．有且仅有一个极值点
2．（2023•岳阳模拟）已知函数f（x）＝﹣2x3+3ax2+3x是定义在R上的奇函数，则函数f（x）的图像在点（﹣2，f（﹣2））处的切线的斜率为（　　）
A．﹣27 B．﹣25 C．﹣23 D．﹣21
3．（2023•柳州三模）已知f（x）＝x+e﹣x，g（x）＝xa﹣alnx（a＜0），若f（x）≥g（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，则实数a的最小值为（　　）
A．﹣2e B．﹣e C．﹣ D．﹣
4．（2023•大通县二模）已知函数f（x）＝x3﹣ax+2（a∈R），则下列说法错误的是（　　）
A．当a＜0时，函数f（x）不存在极值点
B．当a＝1时，函数f（x）有三个零点
C．点（0，2）是曲线y＝f（x）的对称中心
D．若y＝2x是函数f（x）的一条切线，则a＝1
5．（2023•自贡模拟）已知函数．若过点P（﹣1，m）可以作曲线y＝f（x）三条切线，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．（2023•沙坪坝区校级模拟）若，则（　　）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．b＞a＞c
7．（2022秋•宜丰县校级期末）已知函数存在极大值点和极小值点，则实数m可以取的一个值为（　　）
A．﹣3 B． C． D．
8．（2023春•秦淮区校级月考）过点P（0，﹣1）有三条直线和曲线y＝x3+ax2+bx（b∈R）相切，则实数a的取值范围是（　　）
A．（1，+∞） B．（3，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，3）
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2023春•永川区校级月考）下列求导运算错误的是（　　）
A．（3x）′＝3xln3 B．
C．（cosx）′＝sinx D．（e2x）'＝e2x
（多选）10．（2023•古冶区校级一模）若关于x的不等式在 （m，+∞）上恒成立，则实数m的值可能为（　　）
A． B． C． D．
（多选）11．（2022秋•徐州期末）连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点，拐点在统计学、物理学、经济学等领域都有重要应用．若f（x）的图象是一条连续不断的曲线，∀x∈（a，b），f（x）的导函数f'（x）都存在，且f'（x）的导函数f''（x）也都存在．若∃x0∈（a，b），使得f''（x0）＝0，且在x0的左、右附近，f''（x）异号，则称点（x0，f（x0））为曲线y＝f（x）的拐点．则以下函数具有唯一拐点的是（　　）
A．f（x）＝（x+1）2 B．f（x）＝x3+2x2+3x
C．f（x）＝xex D．f（x）＝lnx+x2+sinx
（多选）12．（2022秋•阳信县期末）已知函数f（x）＝x3﹣ax+2有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，则（　　）
A．a≥0
B．x1x2＜0
C．f（x1）＞f（x2）
D．f（x）的图象关于点（0，2）中心对称
三．填空题（共5小题）
13．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知点P（x0，y0）（0＜x0＜1）在函数的图象上，过点P作曲线y＝f（x）的两条切线l1，l2，若l1，l2的倾斜角互补，则x0＝　 　．
14．（2023•常德模拟）已知不等式ln（x+a）≤ex﹣a对∀x∈[1，+∞）恒成立，则a的取值范围为 　 　．
15．（2023春•城区校级月考）若函数f（x）＝（x2﹣mx+2）ex在上存在单调递减区间，则m的取值范围是 　 　．​
16．（2023春•沙坪坝区校级月考）已知函数f（x）＝，若不等式f（aex）≥2﹣f（lna﹣lnx）恒成立，则a的最小值为 　 　．
17．（2023春•万州区校级月考）已知函数f（x）的定义域为R，f（x）的导函数f′（x）＝（x﹣a）（x﹣2），若函数f（x）无极值，则a＝　 　．
四．解答题（共5小题）
18．（2023•新乡二模）已知函数f（x）＝x2lnx．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明：f（x）≥x﹣1．
19．（2023•西城区校级模拟）已知函数f（x）＝sinx﹣（x+a）cosx，函数g（x）＝，其中a∈R．
（1）讨论函数f（x）在（0，π）上的单调性；
（2）当a≥0时，证明：曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）有且只有一个公共点．
20．（2023•乐山模拟）已知函数f（x）＝aex﹣x2有两个极值点x1，x2（x1＜x2）．
（1）求a的取值范围；
（2）若ex1+（e﹣2）x2≥λx1x2，求λ的取值范围．
21．（2023•广东一模）已知函数f（x）＝xex+1．
（1）求f（x）的极值；
（2）当x＞0时，f（x）≥（a+1）x+lnx+2，求实数a的取值范围．
22．（2023•河南模拟）已知函数f（x）＝ex﹣x2﹣ax，a∈R．
（1）若f（x）为R上的增函数，求a的取值范围；
（2）若f（x）≥﹣x2+3x+b在x∈R内恒成立，b∈R，求2a+b的最大值．

2023年高考数学考前20天终极冲刺之导数
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2023•自贡模拟）已知函数f（x）＝3x4﹣8x3+6x2，则f（x）（　　）
A．有2个极大值点
B．有1个极大值点和1个极小值点
C．有2个极小值点
D．有且仅有一个极值点
【考点】利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】求导，根据导函数的符号求得函数的单调区间，再根据极值点的定义即可得解．
【解答】解：f'（x）＝12x3﹣24x2+12x＝12x（x2﹣2x+1）＝12x（x﹣1）2，
因为（x﹣1）2≥0（当且仅当x＝1时取等号），
则当x＜0时，f'（x）＜0，当x＞0时，f'（x）≥0，
所以函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0），
所以函数f（x）的极小值点为0，没有极大值点，
即函数f（x）有且仅有一个极值点．
故选：D．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题．
2．（2023•岳阳模拟）已知函数f（x）＝﹣2x3+3ax2+3x是定义在R上的奇函数，则函数f（x）的图像在点（﹣2，f（﹣2））处的切线的斜率为（　　）
A．﹣27 B．﹣25 C．﹣23 D．﹣21
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】先由奇函数的性质求a，再由导数的几何意义求切线的斜率．
【解答】解：因为函数f（x）＝﹣2x3+3ax2+3x是定义在R上的奇函数，
所以f（﹣x）＝﹣f（x），即﹣2（﹣x）3+3a（﹣x）2+3（﹣x）＝2x3﹣3ax2﹣3x，
所以2x3+3ax2﹣3x＝2x3﹣3ax2﹣3x，
所以a＝0，
所以f（x）＝﹣2x3+3x，故f'（x）＝﹣6x2+3，
所以f'（2）＝﹣21，
所以函数f（x）的图像在点（﹣2，f（﹣2））处的切线的斜率为﹣21．
故选：D．
【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，函数奇偶性的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
3．（2023•柳州三模）已知f（x）＝x+e﹣x，g（x）＝xa﹣alnx（a＜0），若f（x）≥g（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，则实数a的最小值为（　　）
A．﹣2e B．﹣e C．﹣ D．﹣
【考点】利用导数研究函数的最值；函数恒成立问题．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】f（x）≥g（x）⇔﹣x﹣e﹣x≤alnx﹣xa⇔lne﹣x﹣e﹣x≤lnxa﹣xa，构造函数h（t）＝lnt﹣t（0＜t＜1），求导判断单调性，从而得到xa≥e﹣x，即，再构造函数，求导判断单调性得到最大值，从而问题可解．
【解答】解：f（x）≥g（x）⇔﹣x﹣e﹣x≤alnx﹣xa⇔lne﹣x﹣e﹣x≤lnxa﹣xa，
即lnxa﹣xa≥lne﹣x﹣e﹣x在x∈（1，+∞）上恒成立，
易知当x∈（1，+∞），a＜0时，0＜xa＜1，0＜e﹣x＜1，
令函数h（t）＝lnt﹣t（0＜t＜1），则，函数h（t）在（0，1）上单调递增，
故有xa≥e﹣x，则在x∈（1，+∞）上恒成立，
令，则，
令F'（x）＞0，即1﹣lnx＞0，解得1＜x＜e，
令F'（x）＜0，即1﹣lnx＜0，解得x＞e，
所以在（1，e）上单调递增，在[e，+∞）上单调递减，
所以F（x）max＝F（e）＝﹣e，
所以a≥﹣e，即实数a的最小值为﹣e．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数恒成立问题，考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
4．（2023•大通县二模）已知函数f（x）＝x3﹣ax+2（a∈R），则下列说法错误的是（　　）
A．当a＜0时，函数f（x）不存在极值点
B．当a＝1时，函数f（x）有三个零点
C．点（0，2）是曲线y＝f（x）的对称中心
D．若y＝2x是函数f（x）的一条切线，则a＝1
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】当a＜0时，判断函数f（x）的单调性，可判断A；利用导数得到函数f（x）的单调性与极值，结合零点存在定理可判断B；利用函数对称性的定义可判断C；利用导数的几何意义可判断D．
【解答】解：对于A，当a＜0时，f′（x）＝3x2﹣a＞0，此时函数f（x）在R上单调递增，
所以当a＜0时，函数f（x）不存在极值点，故A对；
对于B，当a＝1时，f（x）＝x3﹣x+2，f′（x）＝3x2﹣1，
由f′（x）＜0，可得，由f′（x）＞0，可得或，
所以函数f（x）的增区间为，减区间为，
所以函数f（x）的极大值为，
极小值为，
又因为f（﹣2）＝﹣8+2+2＝﹣4＜0，
由零点存在定理可知，函数f（x）在区间有一个零点，
当时，，所以当a＝1时，函数f（x）有一个零点，故B错；
对于C，对任意的x∈R，f（﹣x）+f（x）＝（﹣x3+ax+2）+（x3﹣ax+2）＝4，
所以点（0，2）是曲线y＝f（x）的对称中心，故C对；
对于D，设y＝2x是函数f（x）的一条切线，设切点坐标为（t，t3﹣at+2），
又f′（x）＝3x2﹣a，由题意，可得f′（t）＝3t2﹣a＝2，①
所以曲线y＝f（x）在x＝t处的切线方程为y﹣（t3﹣at+2）＝2（x﹣t），
即y＝2x+t3﹣（a+2）t+2，则t3﹣（a+2）t+2＝0，②
联立①②可得a＝t＝1，故D对．
故选：B．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，函数的零点和切线方程，考查了转化思想，属中档题．
5．（2023•自贡模拟）已知函数．若过点P（﹣1，m）可以作曲线y＝f（x）三条切线，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】切点为，利用导数的几何意义求切线的斜率，设切线为：，可得，设，求g'（x），利用导数求g（x）的单调性和极值，切线的条数即为直线y＝m与g（x）图象交点的个数，结合图象即可得出答案．
【解答】解：设切点为，由可得，
所以在点处的切线的斜率为，
所以在点处的切线为：，
因为切线过点P（﹣1，m），所以，
即，
若过点P（﹣1，m）可以作曲线y＝f（x）三条切线，
则这个方程有三个不等根，
设，直线y＝m与g（x）图象有三个交点，
则
由g'（x）＞0可得﹣1＜x＜1，由g'（x）＜0可得：x＜﹣1或x＞1，
所以在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）上单调递减，在（﹣1，1）上单调递增，
当x趋近于正无穷，g（x）趋近于0，当x趋近于负无穷，g（x）趋近于正无穷，g（x）的图象如下图，且，

要使y＝m与的图象有三个交点，则．
则m的取值范围是：．
故选：A．
【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
6．（2023•沙坪坝区校级模拟）若，则（　　）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．b＞a＞c
【考点】利用导数研究函数的单调性；对数值大小的比较．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】构造函数f（x）＝ln（1+x）﹣，x∈（0，+∞），利用导数研究函数f（x）的单调性，可得a与c的大小关系．构造g（x）＝ln（1+x）﹣﹣1，x∈（0，+∞），利用导数研究函数g（x）的单调性，可得a与b的大小关系，进而得出结论．
【解答】解：构造函数f（x）＝ln（1+x）﹣，x∈（0，+∞），
f′（x）＝﹣＝＜0，
∴函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，
∴f（e）＜f（0）＝0，∴ln（1+e）＜，即a＜c．
构造g（x）＝ln（1+x）﹣﹣1，x∈（0，+∞），
g′（x）＝+＞0，∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，
g（2.5）＝ln3.5﹣，∵3.54﹣e5＞12.252﹣2.725＞0，
∴g（e）＞g（2.5）＞0，
∴a＞b，
综上可得：c＞a＞b．
故选：C．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、不等式的性质、转化方法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
7．（2022秋•宜丰县校级期末）已知函数存在极大值点和极小值点，则实数m可以取的一个值为（　　）
A．﹣3 B． C． D．
【考点】利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】求得f（x）的导数，可得f'（x）＝0有两个不等的正根，等价于g（x）＝f'（x）的最小值小于0，分别讨论m≥0、m＜0，求得g（x）的导数，判断g（x）的单调性和最值，解不等式可得m的取值范围，再结合选项即可得答案．
【解答】解：因为，x＞0，
所以f'（x）＝xex+m（1+lnx+x﹣1）＝xex+m（lnx+x），
由题意可得f'（x）＝0有两个不等的正根，
则g（x）＝f'（x）的最小值小于0，
又因为，x＞0，
当m≥0时，单调递增，不合题意；
当m＜0时，由图象可得，一定有变号的正零点，
令的根为x0，解得，
当0＜x＜x0时，g（x）单调递减，当x＞x0时，g（x）单调递增，
所以当x＝x0时，g（x）取极小值，且为最小值，
所以，
化为1﹣（lnx0+x0）＜0，
由于y＝lnx+x在（0，+∞）上单调递增，且x＝1时，y＝1，
所以lnx0+x0＞1的解为x0＞1，
则，
只有A选项才满足．
故选：A．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
8．（2023春•秦淮区校级月考）过点P（0，﹣1）有三条直线和曲线y＝x3+ax2+bx（b∈R）相切，则实数a的取值范围是（　　）
A．（1，+∞） B．（3，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，3）
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；数学运算．
【分析】由y＝x3+ax2+bx，得y′＝3x2+2ax+b，设切点为（t，t3+at2+bt），可得过切点的切线方程，代入P点坐标，整理得2t3+at2﹣1＝0，令g（t）＝2t3+at2﹣1，对a分类求该函数的极大值，再由极大值大于0求解实数a的取值范围．
【解答】解：由y＝x3+ax2+bx，得y′＝3x2+2ax+b，
设切点为（t，t3+at2+bt），则过切点的切线方程为y+1＝（3t2+2at+b）x，
∴t3+at2+bt+1＝（3t2+2at+b）t，
整理得2t3+at2﹣1＝0，令g（t）＝2t3+at2﹣1，
由题意得，g（t）有3个零点，g′（t）＝6t2+2at，
由g′（t）＝0，得t＝0或t＝−，
当a＝0时，函数g（t）只有一个零点，舍去；
当a＜0时，﹣＞0，由g′（t）＞0，得t＜0或t＞−，由g′（t）＜0，得0＜t＜−，
∴t＝0是函数g（t）的极大值点，由于g（0）＝﹣1＜0，函数g（t）没有3个零点，舍去；
∴a＞0，同理可得t＝﹣是函数g（t）的极大值点，由条件结合三次函数的性质可得：g（−）＝−1＞0，即a＞3．
∴实数a的取值范围是（3，+∞）．
故选：B．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2023春•永川区校级月考）下列求导运算错误的是（　　）
A．（3x）′＝3xln3 B．
C．（cosx）′＝sinx D．（e2x）'＝e2x
【考点】导数的运算．菁优网版权所有
【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用；数学运算．
【分析】利用求导公式求解．
【解答】解：对于A，（3x）′＝3xln3，故A正确；
对于B，＝1﹣，故B错误；
对于C，（cosx）'＝﹣sinx，故C错误；
对于D，（e2x）'＝2e2x，故D错误．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了导数的计算，属于基础题．
（多选）10．（2023•古冶区校级一模）若关于x的不等式在 （m，+∞）上恒成立，则实数m的值可能为（　　）
A． B． C． D．
【考点】利用导数研究函数的最值；函数恒成立问题．菁优网版权所有
【专题】分类讨论；转化思想；构造法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】原不等式可转化为xex≥，即xex≥ln•e，结合不等式构造函数，对其函数求导，结合导数分析函数的性质，可求．
【解答】解：因为不等式在 （m，+∞）上恒成立，
所以ex≥，即xex≥，
故xex≥ln•e，
由x＞m＞0可得＞1，ln＞0，
令t（x）＝xex，则t′（x）＝（x+1）ex，
故t（x）在（0，+∞）上单调递增，t（x）≥t（ln）等价于x≥ln，即，
所以m≥，
令F（x）＝，x＞0，
则F′（x）＝，
易得F（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
因为x＞m＞0，
所以当0＜m＜1时，F（x）在（m，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
故F（x）≤F（1）＝，
要使得原不等式成立，则，
当m≥1时，F（x）在（m，+∞）上单调递减，F（x）＜F（1）＝，符合题意，
综上，m的取值范围为{m|m}．
故选：CD．
【点评】本题主要考查了由不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．
（多选）11．（2022秋•徐州期末）连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点，拐点在统计学、物理学、经济学等领域都有重要应用．若f（x）的图象是一条连续不断的曲线，∀x∈（a，b），f（x）的导函数f'（x）都存在，且f'（x）的导函数f''（x）也都存在．若∃x0∈（a，b），使得f''（x0）＝0，且在x0的左、右附近，f''（x）异号，则称点（x0，f（x0））为曲线y＝f（x）的拐点．则以下函数具有唯一拐点的是（　　）
A．f（x）＝（x+1）2 B．f（x）＝x3+2x2+3x
C．f（x）＝xex D．f（x）＝lnx+x2+sinx
【考点】利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】根据拐点的定义及零点存在定理对选项求二阶导函数，判断其是否有异号零点即可．
【解答】解：选项A：f'（x）＝2（x+1），f''（x）＝2≠0，
根据拐点定义可知，y＝f（x）没有拐点；
选项B：f'（x）＝3x2+4x+3，
即f''（x）＝6x+4＝0，解得，
且时，f''（x）＜0，时，f''（x）＞0，
故为y＝f（x）的拐点；
选项C：f'（x）＝（x+1）ex，
令f''（x）＝（x+2）ex＝0，解得x＝﹣2，
且x∈（﹣∞，﹣2）时，f''（x）＜0，x∈（﹣2，+∞）时，f''（x）＞0，
故（﹣2，f（﹣2））为y＝f（x）的拐点；
选项D：，，
因为，f''（1）＝1﹣sin1＞0，
所以，使得f''（x0）＝0成立，
由于f''（x0）在（0，+∞）是连续不断可导的，
所以f''（x0）在（0，+∞）有异号函数值，
故y＝f（x）存在拐点．
故选：BCD．
【点评】本题以新定义为载体，主要考查了导数与单调性关系的应用，属于中档题．
（多选）12．（2022秋•阳信县期末）已知函数f（x）＝x3﹣ax+2有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，则（　　）
A．a≥0
B．x1x2＜0
C．f（x1）＞f（x2）
D．f（x）的图象关于点（0，2）中心对称
【考点】利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】根据函数由有两个极值点可得导函数有2个不同的零点即可判断A，B，根据导函数讨论函数的单调性可判断C，根据奇函数g（x）＝x3﹣ax与f（x）＝x3﹣ax+2的关系判断D．
【解答】解：由题可得f'（x）＝3x2﹣a＝0有两个不相等的实数根，
所以a＞0，A错误；
根据题意x1，x2为3x2﹣a＝0的两个根，所以x1x2＝＜0，B正确；
因为x1＜x2，且x1，x2为3x2﹣a＝0的两个根，
所以由f′（x）＝3x2﹣a＞0，得x＜x1或x＞x2，
由f'（x）＝3x2﹣a＜0，得x1＜x＜x2，
所以函数f（x）在（﹣∞，x1）单调递增，（x1，x2）单调递减，（x2，+∞）单调递增，
所以f（x1）＞f（x2）成立，C正确；
因为g（x）＝x3﹣ax为奇函数，所以g（x）＝x3﹣ax关于（0，0）对称，
所以f（x）＝g（x）+2＝x3﹣ax+2关于（0，2）对称，D正确，
故选：BCD．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查函数的零点，考查运算求解能力，属于中档题．
三．填空题（共5小题）
13．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知点P（x0，y0）（0＜x0＜1）在函数的图象上，过点P作曲线y＝f（x）的两条切线l1，l2，若l1，l2的倾斜角互补，则x0＝　　．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】方程思想；综合法；导数的概念及应用；数学运算．
【分析】设l1，l2分别与函数f（x）相切于点P（x0，y0），Q（x1，y1），根据题意可得f'（x1）＝﹣f'（x0），由此可建立关于x0，x1的方程组，解出即可．
【解答】解：当0＜x＜1时，，当x≥1时，，
设l1，l2分别与函数f（x）相切于点P（x0，y0），Q（x1，y1），
由于l1，l2的倾斜角互补，则f'（x1）＝﹣f'（x0），
即，解得．
故答案为：．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
14．（2023•常德模拟）已知不等式ln（x+a）≤ex﹣a对∀x∈[1，+∞）恒成立，则a的取值范围为 　（﹣1，e﹣1]　．
【考点】利用导数研究函数的最值；函数恒成立问题．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】根据条件，由函数的定义域得到a＞﹣1，再将原不等式转化为x∈[1，+∞）时，ln（x+a）﹣ex+a≤0恒成立，构造函数f（x）＝ln（x+a）﹣ex+a（x≥1），利用导数结合与y＝ex在（﹣a，+∞）上的函数图像讨论f（x）的最大值，从而得到关于a的不等式，即可求解．
【解答】解：由题意得：要使ln（x+a）≤ex﹣a有意义，则x＞﹣a，
当x∈[1，+∞）时，ln（x+a）﹣ex+a≤0恒成立，即﹣a＜1，所以a＞﹣1，
当a＞﹣1时，令f（x）＝ln（x+a）﹣ex+a（x≥1），
要使不等式ln（x+a）≤ex﹣a对∀x∈[1，+∞）恒成立，
则a＞﹣1时，函数f（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，
又，可知 f'（x）在（﹣a，+∞）上是减函数，
当x＞﹣a时，与y＝ex在（﹣a，+∞）上的函数图像必有一个交点，
设其横坐标为x0，则有，即，
当﹣a＜x0≤1时，x≥1时，的函数图像在y＝ex下方，
则f'（x）＜0，所以f（x）在[1，+∞]单调递减，所以f（x）≤f（1）＝ln（a+1）﹣e+a；
当x0＞1时，1≤x＜x0时，的函数图像在y＝ex上方，x＞x0时，的函数图像在y＝ex下方，
所以1≤x＜x0时，f'（x）＞0；x＞x0时，f'（x）＜0；
则f（x）在[1，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，
所以．
要使a＞﹣1时，函数f（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，
则a＞﹣1时，；
①当a＞﹣1时，不等式ln（a+1）﹣e+a≤0，
设g（a）＝ln（a+1）+a﹣e，a∈（﹣1，+∞），
可知g（a）在（﹣1，+∞）上单调递增，又g（e﹣1）＝ln（e﹣1+1）+e﹣1﹣e＝0，
所以﹣1＜a≤e﹣1时，g（a）＝ln（a+1）+a﹣e≤0成立，
故a＞﹣1时，ln（a+1）﹣e+a≤0，解得﹣1＜a≤e﹣1；
②当a＞﹣1时，不等式（x0∈（1，+∞）），则，
又在x0∈（1，+∞）上单调递增，则x0＞1时，，
所以a＞﹣1时，不等式，解得﹣1＜a≤e+1，
综上所述，a的取值范围为（﹣1，e﹣1]．
故答案为：（﹣1，e﹣1]．
【点评】本题主要考查函数恒成立求参数范围问题，利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于难题．
15．（2023春•城区校级月考）若函数f（x）＝（x2﹣mx+2）ex在上存在单调递减区间，则m的取值范围是 　（2，+∞）　．​
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【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；逻辑推理．
【分析】由函数f（x）＝（x2﹣mx+2）ex在上存在单调递减区间，存在x∈[﹣，1]，f′（x）≤0，分离参数后利用基本不等式可求．
【解答】解：因为函数f（x）＝（x2﹣mx+2）ex在上存在单调递减区间，
所以存在x∈[﹣，1]，f′（x）≤0，
因为f′（x）＝（2x﹣m）ex+（x2﹣mx+2）ex＝[x2+（2﹣m）x+2﹣m]ex，
所以x2+（2﹣m）x+2﹣m≤0在x∈[﹣，1]上有解，
令t＝x+1，则t∈[]，
故2﹣m≤﹣＝＝﹣（t+﹣2）在t∈[]上有解，
因为﹣（t+﹣2）+2＝0，当且仅当t＝，即t＝1时取等号，
所以2﹣m＜0，
所以m＞2．
故答案为：（2，+∞）．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
16．（2023春•沙坪坝区校级月考）已知函数f（x）＝，若不等式f（aex）≥2﹣f（lna﹣lnx）恒成立，则a的最小值为 　　．
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【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】构造，易知函数g（x）为奇函数，且在R上单调递增，进而可将问题转化为g（aex）≥﹣g（lna﹣lnx）＝g（lnx﹣lna）恒成立，进一步转化可得，令，求得函数m（x）的最小值即可得解．
【解答】解：，
设，
则，
所以函数g（x）为奇函数，
又，
而y＝2023x为增函数，则g（x）为R上的增函数，
不等式f（aex）≥2﹣f（lna﹣lnx）恒成立，可等价于f（aex）﹣1≥1﹣f（lna﹣lnx）恒成立，
即g（aex）≥﹣g（lna﹣lnx）＝g（lnx﹣lna）恒成立，
又g（x）为R上的增函数，则恒成立，即，
令h（x）＝xex（x＞0），易知函数h（x）在（0，+∞）上单调递增，
则，即，
令，则，
易知函数m（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
则m（x）min＝m（1）＝e，
所以，则，
所以a的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查函数性质的综合运用，考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查不等式的恒成立问题，考查同构思想及分离变量思想，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
17．（2023春•万州区校级月考）已知函数f（x）的定义域为R，f（x）的导函数f′（x）＝（x﹣a）（x﹣2），若函数f（x）无极值，则a＝　2　．
【考点】利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】分类讨论；分类法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】根据题意，分a＜2，a＝2和a＞2判断函数f（x）的单调性，再求出极值即可．
【解答】解：当a＜2时，在区间（﹣∞，a），（2，+∞）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，
在区间（a，2）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，
所以f（x）的极大值点为a，极小值点为2．
当a＝2时，f′（x）＝（x﹣2）2≥0，f（x）在R上单调递增，无极值；
当a＞2时，f（x）在区间（﹣∞，2），（a，+∞）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，
在区间（2，a）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，
所以f（x）的极大值点为2，极小值点为a．
故答案为：2．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查了分类讨论思想，属中档题．
四．解答题（共5小题）
18．（2023•新乡二模）已知函数f（x）＝x2lnx．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明：f（x）≥x﹣1．
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【专题】整体思想；构造法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）求导得f'（x）＝x（2lnx+1），令f'（x）＝0，根据f′（x）的正负即可得f（x）的单调区间；
（2）由题意可得即证明，令，利用导数证明g（x）min≥0即可．
【解答】（1）解：因为f（x）＝x2lnx，x＞0，
所以f′（x）＝2xlnx+x＝x（2lnx+1），
由f'（x）＝0，得．
当时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0．
故f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）证明：f（x）＞x﹣1等价于．
令函数，则．
当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增．
故g（x）≥g（1）＝0，
即f（x）≥x﹣1．
【点评】本题主要考查了导数与单调性的应用，还考查了不等式的证明，体现了转化思想的应用，属于中档题．
19．（2023•西城区校级模拟）已知函数f（x）＝sinx﹣（x+a）cosx，函数g（x）＝，其中a∈R．
（1）讨论函数f（x）在（0，π）上的单调性；
（2）当a≥0时，证明：曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）有且只有一个公共点．
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【专题】分类讨论；转化思想；构造法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】（1）讨论a≥0、﹣π＜a＜0、a≤﹣π三种情况，利用导数得出单调性；
（2）构造函数h（x）＝f（x）﹣g（x），讨论a＝0、a＞0两种情况，确定h（x）的单调性，从而由h（x）的零点个数证明曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）有且只有一个公共点．
【解答】（1）解：f'（x）＝cosx﹣cosx+（x+a）sinx＝（x+a）sinx，
当a≥0时，f'（x）＝（x+a）sinx＞0，则函数f（x）在（0，π）上单调递增，
当﹣π＜a＜0，即0＜﹣a＜π时，若f'（x）＞0时，x∈（﹣a，π），
若f'（x）＜0时，x∈（0，﹣a），
即函数f（x）在（0，﹣a）上单调递减，在（﹣a，π）上单调递增，
当a≤﹣π，即﹣a≥π时，f'（x）＝（x+a）sinx≤0，函数f（x）在（0，π）上单调递减，
综上，当a≥0时，函数f（x）在（0，π）上单调递增，
当﹣π＜a＜0，函数f（x）在（0，﹣a）上单调递减，在（﹣a，π）上单调递增，
当a≤﹣π，函数f（x）在（0，π）上单调递减；
（2）证明：设，
题设等价于证明函数h（x）有且仅有一个零点，h'（x）＝（x+a）sinx﹣x2﹣ax＝（x+a）（sinx﹣x），
设t（x）＝sinx﹣x，t'（x）＝cosx﹣1≤0，则函数t（x）在R上单调递减，又t（0）＝0，
则当x＜0时，t（x）＞0；当x＞0时，t（x）＜0；
1°当a＝0时，h'（x）＝x⋅t（x）≤0，则函数在R上单调递减，又h（0）＝0，
故此时函数h（x）有且仅有一个零点；
2°当a＞0时，函数h（x）在（﹣∞，﹣a）上单调递减，在（﹣a，0）上单调递增，
在（0，+∞）上单调递减，h（﹣a）＜h（0）＝﹣a＜0，
则当x∈（﹣a，+∞）时，h（x）＜0恒成立；
当x＜﹣a且x＜﹣1时，，，
则，函数h（x）在上存在一个零点，
此时函数h（x）有且仅有一个零点；
综上即证．
【点评】本题主要考查了导数与单调性的应用，解决问题（2）时，关键在于将两个函数的交点问题，转化为函数h（x）的零点问题，利用导数得出单调性，进而确定零点个数．
20．（2023•乐山模拟）已知函数f（x）＝aex﹣x2有两个极值点x1，x2（x1＜x2）．
（1）求a的取值范围；
（2）若ex1+（e﹣2）x2≥λx1x2，求λ的取值范围．
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【专题】整体思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】（1）根据题意转化为方程有两个不同的实根，设，求得，求得函数μ（x）的单调性和极大值，进而求得a的取值范围；
（2）由（1）得到，得出，令，得到，求得，令φ（x）＝[（e﹣2）t2+e]lnt﹣2t（e﹣2）t2+e，取得，再令，利用导数求得φ'（t）的单调性，进而得出h（t）单调递性和最小值，即可求解．
【解答】（1）解：f'（x）＝aex﹣2x，
由题意得方程f'（x）＝0有两个不同的实数根，即有两个不同的实数根，
设，对其求导得，
当x＜1时，μ'（x）＞0，μ（x）单调递增，当x＞1时，μ'（x）＜0，μ（x）单调递减，
所以x＝1时，函数μ（x）取得极大值，极大值为，
又因为x＜0时，μ（x）＜0，x＞0时，μ（x）＞0，且x→+∞时，μ（x）→0，
所以方程有两个不同的实数根时，可得，
即函数f（x）有两个极值点时，a的取值范围是；
（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值点x1，x2是方程aex﹣2x＝0的两根，且，
则有，
两式相除，可得，可得，
又由ex1+（e﹣2）x2≥λx1x2，可得，
所以，
令t＝，则t＞1，
令h（t）＝＝，t＞1，
原不等式可转化为λ≤h（t）恒成立，
因为，
令φ（x）＝[（e﹣2）t2+e]lnt﹣2t（e﹣2）t2+e，
则φ′（x）＝2（e﹣2）tlnt﹣2﹣（e﹣2）t+，
令p（x）＝2（e﹣2）tlnt﹣2﹣（e﹣2）t+，
易得在（1，+∞）上单调递增，
又由p'（1）＜0，p'（e）＞0，则存在t0∈（1，e），使得p′（t0）＝0，
当t∈（1，t0）时，p′（t）＜0，则p（t）单调递减；当t∈（t0，+∞）时，p′（t）＞0，则p（t）单调递增，
又φ'（1）＝0，φ'（e）＞0，所以存在t1∈（1，e），使得φ'（t）＝0
当t∈（1，t1）时，φ'（t）＜0，则φ（t）单调递减，
当t∈（t1，+∞）时，φ'（t）＞0，则φ（t）单调递增，
又φ（1）﹣φ（e）＝0，所以当t∈（1，e）时，φ（t）＜0，则h'（t）＜0，h（t）单调递减，
当t∈（e，+∞）时，φ（t）＞0，则h'（t）＞0，h（t）单调递增，
所以当t＝e时，，所以λ≤（e﹣1）2，
故实数λ的取值范围为（﹣∞，（e﹣1）2]．
【点评】本题主要考查了函数极值存在条件的应用，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．
21．（2023•广东一模）已知函数f（x）＝xex+1．
（1）求f（x）的极值；
（2）当x＞0时，f（x）≥（a+1）x+lnx+2，求实数a的取值范围．
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【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】（1）先求导数，利用导数判断单调性，根据单调性得出极值；
（2）原问题转化为不等式xex+1﹣lnx﹣x﹣2≥ax在x∈（0，+∞）上恒成立，通过研究函数y＝xex+1﹣lnx﹣x﹣2单调性求得y＝xex+1﹣lnx﹣x﹣2的最小值为0，从而求出a≤0．
【解答】解：（1）求导得f'（x）＝（x+1）ex+1，
所以当f'（x）＞0时，x＞﹣1，当f'（x）＜0时，x＜﹣1，
所以f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增，
所以f（x）有极小值f（﹣1）＝﹣1，无极大值．
（2）由题知不等式xex+1≥（a+1）x+lnx+2在x∈（0，+∞）上恒成立，
则原问题等价于不等式xex+1﹣lnx﹣x﹣2≥ax在x∈（0，+∞）上恒成立，
记g（x）＝xex+1﹣lnx﹣x﹣2，
则，
记，则恒成立，
所以h（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，又，
所以存在，使得h（x0）＝0，
即当x＜x0时，h（x）＜0，此时g'（x）＜0；当x＞x0时，h（x）＞0，此时g'（x）＞0，
所以g（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
由，得，
即，
所以，
①当a≤0时，
因为g（x）＝xex+1﹣lnx﹣x﹣2≥0，ax≤0，所以不等式恒成立，
所以a≤0；
②当a＞0时，
因为存在，使得g（x0）＝0，而ax0＞0，
此时不满足xex+1﹣lnx﹣x﹣2≥ax，
所以a无解．
综上所述，a≤0，即实数a的取值范围是（﹣∞，0]．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值与最值，考查运算求解能力，属于难题．
22．（2023•河南模拟）已知函数f（x）＝ex﹣x2﹣ax，a∈R．
（1）若f（x）为R上的增函数，求a的取值范围；
（2）若f（x）≥﹣x2+3x+b在x∈R内恒成立，b∈R，求2a+b的最大值．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】分类讨论；转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】（1）f（x）＝ex﹣x2﹣ax，a∈R，利用导数的运算法则可得f′（x），根据f（x）为R上的增函数，可得f′（x）≥0在R上恒成立，通过分离参数，利用导数研究函数的单调性与极值，进而得出a的取值范围．
（2）f（x）≥﹣x2+3x+b在x∈R内恒成立，b∈R⇔ex﹣（a+3）x﹣b≥0在x∈R内恒成立，化为b≤ex﹣（a+3）x，2a+b≤ex﹣（a+3）x+2a，令g（x）＝ex﹣（a+3）x+2a，x∈R，a∈R，利用导数研究函数的单调性与极值，进而得出结论．
【解答】解：（1）f（x）＝ex﹣x2﹣ax，a∈R．
f′（x）＝ex﹣2x﹣a，
∵f（x）为R上的增函数，
∴f′（x）＝ex﹣2x﹣a≥0在R上恒成立，
∴a≤ex﹣2x．
令u（x）＝ex﹣2x，x∈R，
u′（x）＝ex﹣2，
令u′（x）＝ex﹣2＝0，解得x＝ln2，
可得函数u（x）在（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，
∴x＝ln2时，函数u（x）取得极小值即最小值，u（ln2）＝2﹣2ln2，
∴a≤2﹣2ln2，
∴a的取值范围是（﹣∞，2﹣2ln2]．
（2）f（x）≥﹣x2+3x+b在x∈R内恒成立，b∈R⇔ex﹣（a+3）x﹣b≥0在x∈R内恒成立，
化为b≤ex﹣（a+3）x，
∴2a+b≤ex﹣（a+3）x+2a，
令g（x）＝ex﹣（a+3）x+2a，x∈R，a∈R，
g′（x）＝ex﹣（a+3），x∈R，
当a+3≤0时，g′（x）＞0，函数g（x）在R上单调递增，x→﹣∞时，g（x）→﹣∞时，不符合题意，舍去；
当a+3＞0时，令g′（x）＝0，解得x0＝ln（a+3），
函数g（x）在（﹣∞，ln（a+3））上单调递减，在（ln（a+3），+∞）上单调递增，
∴x＝ln（a+3）时，函数g（x）取得极小值即最小值，
g（ln（a+3））＝a+3﹣（a+3）ln（a+3）+2a＝3a+3﹣（a+3）ln（a+3），
令a+3＝t＞0，则3a+3﹣（a+3）ln（a+3）＝3t﹣tlnt﹣6＝h（t），
h′（t）＝3﹣lnt﹣1＝2﹣lnt，
令h′（t）＝3﹣lnt﹣1＝2﹣lnt＝0，解得t＝e2．
可得t＝e2时，函数h（t）取得极大值即最大值，h（e2）＝3e2﹣2e2﹣6＝e2﹣6，
∴2a+b的最大值为e2﹣6．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及最值、方程与不等式的解法、转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

考点卡片
1．函数奇偶性的性质与判断
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（　　）
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶 D．与p有关
解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．
因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数．
故选B．
【命题方向】函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．
2．函数恒成立问题
【知识点的认识】
恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．例：要使函数f（x）＝ax^2+1恒大于0，就必须对a进行限制﹣﹣令a≥0，这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，先分离参数的话做题较简单
【解题方法点拨】
一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量和求导．
例：f（x）＝x2+2x+3≥ax，（x＞0）求a的取值范围．
解：由题意可知：a≤恒成立
即a≤x++2
⇒a≤2+2
【命题方向】
恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题，它比较全面的考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．
3．对数值大小的比较
【知识点归纳】
1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．
2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较
3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）
4．导数的运算
【知识点的知识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′＝*（logae）＝（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′＝．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′＝．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）

【典型例题分析】
题型一：和差积商的导数
典例1：已知函数f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（　　）
A．0 B．2014 C．2015 D．8
解：f′（x）＝acosx+3bx2，
∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2
∴f′（x）为偶函数；
f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0
∴f（2014）+f（﹣2014）
＝asin（2014）+b•20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；
∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8
故选D．

题型二：复合函数的导数
典例2：下列式子不正确的是（　　）
A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′＝ln2
C．（2sin2x）′＝2cos2x D．（）′＝
解：由复合函数的求导法则
对于选项A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx成立，故A正确；
对于选项B，成立，故B正确；
对于选项C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正确；
对于选项D，成立，故D正确．
故选C．

【解题方法点拨】
1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．
2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．
5．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．

【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（　　）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：f（x）＞2x+4，
即f（x）﹣2x﹣4＞0，
设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B

题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ）（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴

【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
6．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．

2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．

3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．

4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．


【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
7．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）＝在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．

【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
8．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
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