2023年高考数学考前20天终极冲刺之数列

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2023年高考数学考前20天终极冲刺之数列
一．选择题（共8小题）
1．（2023•柳州三模）2022年10月16日上午10时，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂隆重开幕．某单位组织全体党员在报告厅集体收看党的二十大开幕式，认真聆听习近平总书记向大会所作的报告．已知该报告厅共有10排座位，共有180个座位数，并且从第二排起，每排比前一排多2个座位数，则最后一排的座位数为（　　）
A．23 B．25 C．27 D．29
2．（2022秋•汉中期末）在等差数列{an}中，设其前n项和为Sn，若a3+a11＝4，则S13＝（　　）
A．4 B．13 C．26 D．52
3．（2023春•兴国县校级月考）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝an﹣n，则a4＝（　　）
A．﹣3 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣6
4．（2023•郑州模拟）已知数列{an}满足，则a2023＝（　　）
A．﹣1 B．2 C． D．3
5．（2022秋•宣城期末）在数列{an}中，已知，当n≥2时，，则a3＝（　　）
A．﹣3 B． C． D．5
6．（2022秋•金安区校级期末）已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2022秋•玉溪期末）已知等比数列{an}满足an+2﹣2an＝0，anan+1＜0，a1＝2，则a6的值为（　　）
A．4 B． C．8 D．
8．（2022秋•丹阳市校级期末）数列{an}满足，n∈N*，则数列{an}的前20项和为（　　）
A．100 B．110 C．160 D．200
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2023春•卧龙区校级月考）已知Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝，且an+1（2﹣an）＝2，则（　　）
A．a3＝
B．{an}是周期数列且周期为4
C．S4＝
D．S21＝
（多选）10．（2022秋•宁德期末）已知等比数列{an}的公比，等差数列{bn}的首项b1＝9，若a7＞b7且a8＞b8，则以下结论正确的有（　　）
A．a8＞0 B．b8＜0 C．a7＞a8 D．b7＞b8
（多选）11．（2022秋•惠民县期末）已知数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝3，Sn+1＝2Sn+n，则下列结论正确的是（　　）
A．an+1＞Sn B．{an+1}是等比数列
C．是单调递增数列 D．Sn≥2an
（多选）12．（2022秋•宣城期末）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＜0，S7＝S12，则（　　）
A．数列{an}是递减数列 B．a10＝0
C．Sn＜0时，n的最大值是18 D．S2＜S16
三．填空题（共5小题）
13．（2023•西宁二模）已知Sn为等差数列{an}的前n项和．若S12＜0，a5+a7＞0，则当Sn取最大值时，n的值为 　 　．
14．（2023•陕西模拟）设数列{an}，{bn}均为等差数列，它们的前n项和分别为Sn，Tn，若，则＝　 　．
15．（2023•柳州三模）已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an+2﹣an＝（﹣1）n+2，则数列{an}的前30项和为 　 　．
16．（2023春•东湖区校级月考）在等差数列{an}中，S4＝21，an﹣3+an﹣2+an﹣1+an＝67，Sn＝286，则n＝　 　．
17．（2023•广西模拟）有穷数列{an}共有k项，满足a1＝27，a2＝737，且当n∈N*，3≤n≤k时，，则项数k的最大值为 　 　．
四．解答题（共5小题）
18．（2023•沙坪坝区校级模拟）记数列{an}的前n项和为Sn，且＝S1S3．
（1）若a1＝1，a3＝2，求S2；
（2）若{an}是等差数列，证明：a1＝0．
19．（2023•香坊区校级一模）设正项数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且Sn+Sn﹣1＝（n≥2，n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn＝，若数列{bn﹣λn+1}为等比数列，求实数λ的值．
20．（2023•常德模拟）已知数列{an}满足（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足，求{bn}的前n项和Sn．
21．（2023•广东一模）已知各项都是正数的数列{an}，前n项和Sn满足．
（1）求数列{an}的通项公式．
（2）记Pn是数列的前n项和，Qn是数列的前n项和．当n≥2时，试比较Pn与Qn的大小．
22．（2023•河东区一模）设{an}是等差数列，{bn}是各项均为正数的等比数列，b1＝﹣a1＝a3﹣b2＝a4﹣b3＝1．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）{an}的前n项和为Sn，求证：；
（3）求．

2023年高考数学考前20天终极冲刺之数列
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2023•柳州三模）2022年10月16日上午10时，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂隆重开幕．某单位组织全体党员在报告厅集体收看党的二十大开幕式，认真聆听习近平总书记向大会所作的报告．已知该报告厅共有10排座位，共有180个座位数，并且从第二排起，每排比前一排多2个座位数，则最后一排的座位数为（　　）
A．23 B．25 C．27 D．29
【考点】等差数列的前n项和；排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】根据题意转化为等差数列问题，应用等差数列通项公式和前n项和公式，基本量运算即可求解．
【解答】解：根据题意，把各排座位数看作等差数列，
设等差数列通项为an，首项为a1，公差为d，
则d＝2，S10＝180，
因为，
所以a1＝9，即得a10＝a1+9d＝9+9×2＝27．
故选：C．
【点评】本题主要考查了等差数列的求和公式及通项公式在实际问题中的应用，属于基础题．
2．（2022秋•汉中期末）在等差数列{an}中，设其前n项和为Sn，若a3+a11＝4，则S13＝（　　）
A．4 B．13 C．26 D．52
【考点】等差数列的前n项和．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】利用等差数列的性质可得a3+a11＝a1+a13＝4，结合等差数列的求和公式可得结果．
【解答】解：∵a3+a11＝a1+a13＝4，
∴，
故选：C．
【点评】本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题．
3．（2023春•兴国县校级月考）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝an﹣n，则a4＝（　　）
A．﹣3 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣6
【考点】数列递推式．菁优网版权所有
【专题】计算题；整体思想；转化法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．
【分析】本题根据a1＝1及递推公式逐项代入即可计算出a4的值，得到正确选项．
【解答】解：由题意，
可得a1＝1，
a2＝a1﹣1＝1﹣1＝0，
a3＝a2﹣2＝0﹣2＝﹣2，
a4＝a3﹣3＝﹣2﹣3＝﹣5．
故选：B．
【点评】本题主要考查根据递推公式求某项的值．考查了整体思想，转化与化归思想，迭代法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属基础题．
4．（2023•郑州模拟）已知数列{an}满足，则a2023＝（　　）
A．﹣1 B．2 C． D．3
【考点】数列递推式．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．
【分析】直接根据数列的递推关系式求解数列的周期，即可求解结论．
【解答】解：∵数列{an}满足，
∴a2＝1﹣＝1﹣＝﹣1，
a3＝1﹣＝1﹣＝2，
a4＝1﹣＝1﹣＝，
......．
可得数列{an}的周期为3，
又2023＝3×674+1，
∴a2023＝a1＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于基础题．
5．（2022秋•宣城期末）在数列{an}中，已知，当n≥2时，，则a3＝（　　）
A．﹣3 B． C． D．5
【考点】数列递推式．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理；数学运算．
【分析】由递推关系依次求a2，a3即可得出答案．
【解答】解：∵当n≥2时，，，
∴，解得a2＝5，
又，解得．
故选：C．
【点评】本题考查数列的递推式，考查转化思想，考查运算能力，属于基础题．
6．（2022秋•金安区校级期末）已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】根据等差数列的前n项和的特点和条件可设Sn＝kn（2n+70），Tn＝kn（n+3），然后算出a7、b6即可得答案．
【解答】解：因为＝，所以可设Sn＝kn（2n+70），Tn＝kn（n+3），k≠0，
所以a7＝S7﹣S6＝588k﹣492k＝96k，b6＝T6﹣T5＝54k﹣40k＝14k，
所以．
故选：A．
【点评】本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题．
7．（2022秋•玉溪期末）已知等比数列{an}满足an+2﹣2an＝0，anan+1＜0，a1＝2，则a6的值为（　　）
A．4 B． C．8 D．
【考点】等比数列的通项公式；等比数列的性质．菁优网版权所有
【专题】整体思想；分析法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】由anan+1＜0得出q＜0，再由通项结合an+2﹣2an＝0得出q，进而得出a6的值．
【解答】解：设公比为q，∵anan+1＜0，∴，
∵an+2﹣2an＝0，∴，
即2qn﹣1（q2﹣2）＝0，解得，
∴．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式，属于基础题．
8．（2022秋•丹阳市校级期末）数列{an}满足，n∈N*，则数列{an}的前20项和为（　　）
A．100 B．110 C．160 D．200
【考点】数列的求和．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算．
【分析】利用数列递推式，列举得到数列{an}的前20项满足S4，S8﹣S4，S12﹣S8，…是等差数列，即可得出答案．
【解答】解：∵，
∴a1＝a1，a2＝a1+1，a3＝﹣a2+2＝﹣a1+1，a4＝a3+3＝﹣a1+4，
∴a1+a2+a3+a4＝6，
同理可得a5+a6+a7+a8＝14，a9+a10+a11+a12＝22，
∴数列{an}的前20项满足S4，S8﹣S4，S12﹣S8，…是以6为首项，8为公差的等差数列，
则数列{an}的前20项和为．
故选：B．
【点评】本题考查数列的求和，考查转化思想，考查运算能力，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2023春•卧龙区校级月考）已知Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝，且an+1（2﹣an）＝2，则（　　）
A．a3＝
B．{an}是周期数列且周期为4
C．S4＝
D．S21＝
【考点】数列递推式；数列的求和．菁优网版权所有
【专题】综合题；转化思想；转化法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．
【分析】先将题干递推公式进行转化，然后逐项代入即可判断选项A的正确性，进一步逐项代入即可发现数列{an}是以4为最小正周期的周期数列，即可判断选项B的正确性，再根据前4项的值进行求和，判断选项C的正确性，最后根据周期数列的性质推导出S21的结果，即可判断选项D的正确性．
【解答】解：依题意，由an+1（2﹣an）＝2，
可得an+1＝，
∵a1＝，
∴a2＝＝＝﹣4，
a3＝＝＝，故选项A错误；
a4＝＝＝，
a5＝＝＝，
a6＝＝＝﹣4，
•••
故数列{an}是以4为最小正周期的周期数列，故选项B正确；
∴S4＝a1+a2+a3+a4＝﹣4++＝，故选项C正确；
∵21÷4＝5••••••1，
∴S21＝5×+＝，故选项D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查周期数列的判定及求和问题．考查了转化与化归思想，迭代法，周期数列的性质运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
（多选）10．（2022秋•宁德期末）已知等比数列{an}的公比，等差数列{bn}的首项b1＝9，若a7＞b7且a8＞b8，则以下结论正确的有（　　）
A．a8＞0 B．b8＜0 C．a7＞a8 D．b7＞b8
【考点】等比数列的性质．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】根据给定条件，确定数列{an}相邻两项的特性判断AC；再判断等差数列{bn}单调性判断BD作答．
【解答】解：因为等比数列{an}的公比，则，，而a1的正负不确定，
因此不能确定a7和a8的正负及大小关系，AC错误；
显然a7和a8异号，又a7＞b7且a8＞b8，则b7，b8中至少有一个是负数，而b1＝9＞0，
于是等差数列{bn}的公差d＜0，即数列{bn}单调递减，因此b7＞b8，且b8＜0，BD正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质，属于基础题．
（多选）11．（2022秋•惠民县期末）已知数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝3，Sn+1＝2Sn+n，则下列结论正确的是（　　）
A．an+1＞Sn B．{an+1}是等比数列
C．是单调递增数列 D．Sn≥2an
【考点】数列递推式．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理；数学运算．
【分析】由已知得出an+1＝Sn+n，可判断A选项的正误；利用等比数列的定义可判断B选项的正误；利用数列的单调性可判断C选项的正误；利用作差法可判断D选项的正误．
【解答】解：对于A：∵Sn+1＝2Sn+n，
∴an+1＝Sn+n，故an+1＞Sn，故A正确；
对于B：Sn+1＝2Sn+n，Sn＝2Sn﹣1+n﹣1（n≥2），
两式相减得an+1＝2an+1，即an+1+1＝2（an+1）（n≥2），
又n＝1，则S2＝2S1+1⇒3+a1＝2a1+1⇒a1＝2，a2+1≠2（a1+1），
∴数列{an+1}从第二项开始成等比数列，公比为2，
故n≥2时，，即，
故an＝，故B错误；
对于C：由选项B得an＝，
∴当n＝1时，S1＝2，
当n≥2时，，
∴Sn＝，
令cn＝＝，
则n≥2时，，即cn+1＞cn，
又，则数列{cn}单调递增，即数列{}是单调递增数列，故C正确；
对于D：当n≥2时，，
S1＜2a1显然成立，故Sn＜2an恒成立，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查数列的递推式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
（多选）12．（2022秋•宣城期末）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＜0，S7＝S12，则（　　）
A．数列{an}是递减数列 B．a10＝0
C．Sn＜0时，n的最大值是18 D．S2＜S16
【考点】等差数列的前n项和．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】根据等差数列的性质和前n项求和公式可得得a1＝﹣9d，d＞0，结合通项公式和前n项求和公式计算，依次判断选项即可．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
由S7＝S12，得7a1+21d＝12a1+66d，
解得a1＝﹣9d，因为a1＜0，所以d＞0．
A：由d＞0，可得an+1﹣an＝d＞0，
所以等差数列{an}为递增数列，故A错误；
B：a10＝a1+9d＝0，故B正确；
C：Sn＝na1+＝﹣9nd+﹣＝（n2﹣19n），
由Sn＜0可得n2﹣19n＜0，所以0＜n＜19，
所以n的最大值是18，故C正确；
D：S2＝2a1+d＝﹣18d+d＝17d，S16＝16a1+＝16×（﹣9d）+＝﹣24d，
由d＞0，得S2＞S16，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于中档题．
三．填空题（共5小题）
13．（2023•西宁二模）已知Sn为等差数列{an}的前n项和．若S12＜0，a5+a7＞0，则当Sn取最大值时，n的值为 　6　．
【考点】等差数列的前n项和．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】利用等差数列{an}前项和公式和等差数列{an}数列的对称性，可得到a6＞0，a7＜0，从而得出结果．
【解答】解：因为，
所以a6+a7＜0，又a5+a7＝2a6＞0，
所以a6＞0，所以a7＜0，则（Sn）max＝S6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查等差数列前n项和公式，等差数列的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
14．（2023•陕西模拟）设数列{an}，{bn}均为等差数列，它们的前n项和分别为Sn，Tn，若，则＝　　．
【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】利用等差数列的性质与前n项和公式求解即可．
【解答】解：因为数列{an}，{bn}均为等差数列，
所以，
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题．
15．（2023•柳州三模）已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an+2﹣an＝（﹣1）n+2，则数列{an}的前30项和为 　465　．
【考点】数列的求和；数列递推式．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】根据递推公式得出奇数项数列和偶数项数列各为等差数列，分组求和即可得出前30项和．
【解答】解：当n为奇数时，an+2﹣an＝1，{a2n﹣1}是首项为1，公差为1的等差数列；
当n为偶数时，an+2﹣an＝3，{a2n}是首项为2，公差为3的等差数列，
∴S30＝（a1+a3+⋅⋅⋅+a29）+（a2+a4+⋅⋅⋅+a30）＝．
故答案为：465．
【点评】本题考查等差数列的定义与求和公式的应用，分组求和法，属基础题．
16．（2023春•东湖区校级月考）在等差数列{an}中，S4＝21，an﹣3+an﹣2+an﹣1+an＝67，Sn＝286，则n＝　26　．
【考点】等差数列的前n项和．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】由等差数列的性质可得S4+（an﹣3+an﹣2+an﹣1+an）＝4（a1+an），进而求出a1+an的值，再利用等差数列的前n项和公式求解即可．
【解答】解：∵数列{an}为等差数列，
∴S4+（an﹣3+an﹣2+an﹣1+an）＝（a1+a2+a3+a4）+（an﹣3+an﹣2+an﹣1+an）＝4（a1+an）＝88，
即a1+an＝22，
∴，
解得n＝26．
故答案为：26．
【点评】本题主要考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和公式，属于基础题．
17．（2023•广西模拟）有穷数列{an}共有k项，满足a1＝27，a2＝737，且当n∈N*，3≤n≤k时，，则项数k的最大值为 　200　．
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【专题】转化思想；转化法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理；数学运算．
【分析】分析数列为有穷数列，且an﹣1≠0，所以项数最大的项ak＝0，利用累加法可得即可得解．
【解答】解：当3≤n≤k时，anan﹣1＝an﹣1an﹣2﹣（n﹣1），
∵有穷数列{an}，，an﹣1≠0，
∴当项数k最大时，ak＝0，则k﹣1＝ak﹣1ak﹣2，ak﹣1ak﹣2＝ak﹣2ak﹣3﹣（k﹣2），ak﹣2ak﹣3＝ak﹣3ak﹣4﹣（k﹣3），⋯，a3a2＝a2a1﹣2，
将以上各式相加得k﹣1＝a1a2﹣[（k﹣2）+（k﹣3）+⋯+2]，即，，即（k﹣2）（k+1）＝198×201，则k＝200．
故答案为：200．
【点评】本题考查数列的递推式，考查转化思想，考查运算能力和逻辑推理能力，属于中档题．
四．解答题（共5小题）
18．（2023•沙坪坝区校级模拟）记数列{an}的前n项和为Sn，且＝S1S3．
（1）若a1＝1，a3＝2，求S2；
（2）若{an}是等差数列，证明：a1＝0．
【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质．菁优网版权所有
【专题】证明题；对应思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】（1）将a1＝1，a3＝2代入＝S1S3，得到﹣S2﹣2＝0，求解即可．
（2）利用等差数列的前n项和公式求出d2+a1d+＝0，再配方即可求解．
【解答】解：（1）∵＝S1S3，∴＝a1（S2+a3），
∵a1＝1，a3＝2，∴﹣S2﹣2＝0，
∴S2＝2或S2＝﹣1；
证明：（2）∵{an}是等差数列，＝S1S3，
∴（2a1+d）2＝a1（3a1+3d），
即d2+a1d+＝0，∴（d+a1）2+＝0，
∴（d+a1）2＝0且＝0，
∴a1＝0．
【点评】本题考查了等差数列的前n项和公式，属于中档题．
19．（2023•香坊区校级一模）设正项数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且Sn+Sn﹣1＝（n≥2，n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn＝，若数列{bn﹣λn+1}为等比数列，求实数λ的值．
【考点】数列递推式；等比数列的性质；数列的求和．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算．
【分析】（Ⅰ）利用数列递推式，求出a2，变形可得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）＝0，可得数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，即可得出答案；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得an＝n，则bn＝＝++...++，利用错位相减法可得bn＝n﹣1+，结合题意，即可得出答案．
【解答】解：（Ⅰ）∵Sn+Sn﹣1＝①，an＞0，
∴当n＝2时，S2+S1＝a，即a﹣a2﹣2＝0，解得a2＝2，
当n≥3时，Sn﹣1+Sn﹣2＝a②，
由①﹣②得Sn﹣Sn﹣2＝（an+an﹣1）（an﹣an﹣1），即（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）＝0，
∵an+an﹣1＞0，
∴an﹣an﹣1＝1，
又a2﹣a1＝1，则数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴an＝n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得an＝n，则bn＝＝++...++，
∴2nbn＝1+2×2+3×22+...+n•2n﹣1③，
2n+1bn＝1×2+2×22+3×23+...+n•2n④，
由③﹣④得﹣2nbn＝1+2+22+...+2n﹣1﹣n•2n＝﹣n•2n＝（1﹣n）2n﹣1，
∴bn＝n﹣1+，
∴bn﹣λn+1＝n﹣1+﹣λn+1＝+（1﹣λ）n，
令cn＝bn﹣λn+1＝+（1﹣λ）n，
∵数列{bn﹣λn+1}为等比数列，
∴c＝c1•c3，即+2（1﹣λ）＝（+1﹣λ）（+3﹣3λ），解得λ＝1，
∴cn＝bn﹣λn+1＝，
∴＝，即数列{bn﹣λn+1}为等比数列，
∴λ＝1．
【点评】本题考查数列递推式和等比数列的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20．（2023•常德模拟）已知数列{an}满足（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足，求{bn}的前n项和Sn．
【考点】数列的求和；数列递推式．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．
【分析】（1）先令n＝1，求得a1，再根据所给的式子当n≥2时，将n替换n﹣1，和原式作差得到an＝4﹣3n，即可求解；
（2）由（1）得到bn＝＝（﹣），利用裂项相消求和即可求解．
【解答】解：（1）由题可知（n∈N*），
当n＝1时，a1＝1；
当n≥2时，＝，
两式相减得：＝﹣＝，
即an＝4﹣3n，
经检验，当n＝1时，a1＝1也符合上式；
故数列{an}的通项公式为：an＝4﹣3n，n∈N*．
（2）由（1）得：bn＝＝（﹣），
Sn＝b1+b2+…+bn＝（﹣1﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣1﹣）＝，
故{bn}的前n项和Sn＝．
【点评】本题主要考查数列递推式，数列的求和，考查裂项求和法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
21．（2023•广东一模）已知各项都是正数的数列{an}，前n项和Sn满足．
（1）求数列{an}的通项公式．
（2）记Pn是数列的前n项和，Qn是数列的前n项和．当n≥2时，试比较Pn与Qn的大小．
【考点】数列的求和；数列递推式．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】（1）根据Sn与an的关系，结合等差数列的通项公式进行求解即可；
（2）根据裂项相消法，结合等比数列前n项和、二项式定理进行求解即可．
【解答】解：（1）当n＝1时，，所以a1＝1或a1＝0（舍去），
当n≥2时，有
两式相减得，
整理得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）＝an+an﹣1，
因为{an}的各项都是正数，所以an﹣an﹣1＝1，
所以{an}是首项为1，公差为1的等差数列，
所以an＝1+1⋅（n﹣1）＝n；
（2）由（1）得，则，
所以，
由（1）得，
所以，
因为，
所以，故，
所以当n≥2时，Pn＜Qn．
【点评】本题考查等差数列的定义与通项公式的应用，裂项求和法的应用，属中档题．
22．（2023•河东区一模）设{an}是等差数列，{bn}是各项均为正数的等比数列，b1＝﹣a1＝a3﹣b2＝a4﹣b3＝1．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）{an}的前n项和为Sn，求证：；
（3）求．
【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．
【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式列出方程组，解之即可求解；
（2）结合已知条件可得Sn＝n（n﹣2），则，由（1）可知，进而得证；
（3）利用错位相减法即可求解．
【解答】解：（1）设an＝a1+（n﹣1）d，，q＞0，n∈N*
由已知a1＝﹣1，b1＝1，，解为q＝d＝2，an＝2n﹣3，．
（2）证明：由已知，
左式，右式，
∴．
（3）由已知，
①，
②，
②﹣①为，
∴．
【点评】本题主要考查等比数列与等差数列的综合，错位相减求和法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．

考点卡片
1．等差数列的性质
【等差数列】
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1+n（n﹣1）或Sn＝ （n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap+aq（p，q，m都为自然数）

例：已知等差数列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6为方程x2﹣10x+16＝0的两个实根．
（1）求此数列{an}的通项公式；
（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．
解：（1）由已知条件得a3＝2，a6＝8．
又∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，
∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．
∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．
∴数列{an}的通项公式为an＝2n﹣4．
（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．
∴268是此数列的第136项．
这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式an＝a1+（n﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．

【等差数列的性质】
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有
as+at＝2ap；
（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
2．等差数列的前n项和
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1+n（n﹣1）d或者Sn＝
【例题解析】
eg1：设等差数列的前n项和为Sn，若公差d＝1，S5＝15，则S10＝　　
解：∵d＝1，S5＝15，
∴5a1+d＝5a1+10＝15，即a1＝1，
则S10＝10a1+d＝10+45＝55．
故答案为：55
点评：此题考查了等差数列的前n项和公式，解题的关键是根据题意求出首项a1的值，然后套用公式即可．
eg2：等差数列{an}的前n项和Sn＝4n2﹣25n．求数列{|an|}的前n项的和Tn．
解：∵等差数列{an}的前n项和Sn＝4n2﹣25n．
∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，
该等差数列为﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3项为负，其和为S3＝﹣39．
∴n≤3时，Tn＝﹣Sn＝25n﹣4n2，
n≥4，Tn＝Sn﹣2S3＝4n2﹣25n+78，
∴．
点评：本题考查等差数列的前n项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．其实方法都是一样的，要么求出首项和公差，要么求出首项和第n项的值．
【考点点评】
等差数列比较常见，单独考察等差数列的题也比较简单，一般单独考察是以小题出现，大题一般要考察的话会结合等比数列的相关知识考察，特别是错位相减法的运用．
3．等比数列的性质
【等比数列】
（又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）． 注：q＝1 时，an为常数列．
等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：①第n项的通项公式，an＝a1qn﹣1，这里a1为首项，q为公比，我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点．②求和公式，Sn＝，表示的是前面n项的和．③若m+n＝q+p，且都为正整数，那么有am•an＝ap•aq．

例：2，x，y，z，18成等比数列，则y＝　　．
解：由2，x，y，z，18成等比数列，设其公比为q，
则18＝2q4，解得q2＝3，
∴y＝2q2＝2×3＝6．
故答案为：6．
本题的解法主要是运用了等比数列第n项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某两项的值然后求出公比，继而可以以已知项为首项，求出其余的项．关键是对公式的掌握，方法就是待定系数法．
【等比数列的性质】
（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak•al＝am•an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．
4．等比数列的通项公式
【知识点的认识】
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1•qn﹣1
3．等比中项：
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项． G2＝a•b （ab≠0）
4．等比数列的常用性质
（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak•al＝am•an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．
5．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1+n（n﹣1）d或Sn＝
②等比数列前n项和公式：

③几个常用数列的求和公式：

（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即＝（）．

（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．

【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn＝（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：

＝
＝．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Sn＝＝n2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn＝＝＝＝，
∴Tn＝＝＝，
即数列{bn}的前n项和Tn＝．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．

【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
6．数列递推式
【知识点的知识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an＝．
在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
3、数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an＝．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
（3）已知a1•a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，＝．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知＝f（n）求an，用累乘法：an＝（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an＝的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
7．等差数列与等比数列的综合
【知识点的知识】
1、等差数列的性质
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有
as+at＝2ap；
（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．

2、等比数列的性质．
（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak•al＝am•an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．
8．排列、组合及简单计数问题
【知识点的知识】
1、排列组合问题的一些解题技巧：
①特殊元素优先安排；
②合理分类与准确分步；
③排列、组合混合问题先选后排；
④相邻问题捆绑处理；
⑤不相邻问题插空处理；
⑥定序问题除法处理；
⑦分排问题直排处理；
⑧“小集团”排列问题先整体后局部；
⑨构造模型；
⑩正难则反、等价转化．
对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：
①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．

2、排列、组合问题几大解题方法：
（1）直接法；
（2）排除法；
（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；
（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；
（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；
（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；
（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；
（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；
（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有；
（10）指定元素排列组合问题：
①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合；
②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合；
③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合．