2022-2023学年吉林省长春市南湖实验中学七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年吉林省长春市南湖实验中学七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列旗子中，不是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  已知，则下列式子一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  只用下列正多边形地砖中的一种，能够铺满地面的是(    )

A. 正十边形 B. 正八边形 C. 正六边形 D. 正五边形

5.  利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案，如图中的图案是由图中的基本图形以点为旋转中心，顺时针旋转次而生成的，每一次旋转的角度均为，则至少为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，，添加下列条件中的一个后，能判定与全等的有(    )
；
；
；
．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

7.  如图，为锐角三角形，点在边上，，试作点，使点在边上，且，以下是甲、乙两人的作法：
甲：分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点、，直线交于点，则点即为所求．
乙：以点为圆心，以长为半径画弧，交于点点不与点重合，则点即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列说法正确的是(    )

A. 两人皆错误 B. 两人皆正确 C. 甲正确，乙错误 D. 甲错误，乙正确

8.  如图，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点恰好在边上，交于点，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  在方程中，用含的代数式表示，则 ______ ．

10.  正五边形每个内角的度数为______．

11.  已知的两边长分别为和，若它的第三边长为奇数，则的周长为______ ．

12.  如图，在四边形中，，，将、分别平移到和的位置，若，，则的长为______ ．

13.  如图，在中，的垂直平分线分别交、于、两点，若，的周长是，则的周长为______ ．

14.  如图，在中，，平分，交于点，点、分别为、上的动点，若，的面积为，则的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
解方程：
；
．

16.  本小题分
解方程组：
；
．

17.  本小题分
解不等式组：
；
．

18.  本小题分
如图，图、图均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为，点、、均为格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
在图中，关于直线对称后得到，画出；
在图中，将绕点逆时针旋转后得到，画出．

 

19.  本小题分
如图，于点，于点，点在边上，，．
求证：≌；
若，，则的面积为______ ．

20.  本小题分
定义：规定，例如：，．
______ ；
解不等式组：；
若关于的不等式组恰好有三个整数解，则的取值范围为______ ．

21.  本小题分
如图，，，，直线、交于点．
求证：；
请补全下面证明过程：

将图中的绕点顺时针旋转到图的位置时，中的结论是否依然成立？请说明理由．

 

22.  本小题分
为了传承雷锋精神，某中学向全校师生发起“献爱心”募捐活动，准备向西部山区学校捐赠篮球、足球两种体育用品若购买个篮球和个足球需用元；若购买个篮球和个足球需用元．
求每个篮球和每个足球各多少元；
在本次捐款活动中，共收到捐款共元，若购买篮球和足球共个，且支出不超过元，求篮球最多能买多少个．

23.  本小题分
【问题提出】
如图，在中，，，求边上的中线的取值范围．
【问题解决】
经过组内合作交流小明得到了如下的解决方法：延长到点，使，连接，经过推理可知≌
由已知和作图得到≌的理由是______ ．
A.边边边
B.边角边
C.角边角
D.斜边直角边
的取值范围为______ ．
【方法总结】
解题时若条件中出现“中点”或“中线”，则可以考虑将中线加倍来构造全等三角形，从而将分散的已知条件转换到同一个三角形中，我们称这种添加辅助线的方法为“倍长中线法”．
【应用】
如图，在中，点为边的中点，点在边上，与相交于点，，求证：．
【拓展】
如图，在中，，平分，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，则的面积为______ ．
 

24.  本小题分
如图，在长方形中，，，点在的延长线上，，动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动；同时动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动过点作交于点，连接设点的运动时间为秒．
当点与点重合时，求的值；
用含的代数式表示线段的长；
当的大小等于的一半时，求的值；
当的大小等于的一半时，直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项B、、中的图形都是轴对称图形，选项A中的图形不是轴对称图形．
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为，
．
故选：．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，故A不符合题意；
当时，，
当时，，
故B不符合题意；
，
，故C符合题意；
，
，故D不符合题意；
故选：．
根据不等式的基本性质进行逐一判断即可．
本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由平面镶嵌的知识可知，只用一种正多边形能够铺满地面的是正三角形或正四边形或正六边形，
故选：．
本题意在考查学生对平面镶嵌知识的掌握情况．
本题意在考查学生对平面镶嵌知识的掌握情况，体现了学数学用数学的思想．有部分考生根据直觉认为是正八边形，其实由平面镶嵌的知识可知只用一种正多边形能够铺满地面的是正三角形或正四边形或正六边形．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意，顺时针或逆时针旋转角度，依次旋转次而组成，
这个图形可以由一个基本图形绕中心依次旋转四次旋转而得到，
每次旋转的度数为除以为，即旋转角是的倍数，
故旋转角的最小值是．
故选：．
根据图形间的关系可得答案．
此题主要考查了利用旋转设计图案，正确得出旋转角的度数是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：添加条件，又，，由能判定与全等，故符合题意；
添加条件，又，，由能判定与全等，故符合题意；
添加条件，又，，由能判定与全等，故符合题意；
添加条件，又，，由能判定与全等，故符合题意．
故选：．
根据题意和图形，可以得到，，然后根据各个选项中的条件，结合全等三角形的判定定理即可求解．
本题考查三角形全等的判定方法，普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，直角三角形可用定理，注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
 

7.【答案】 

【解析】解：甲的作法，如图，

由作图可知垂直平分，
，
，
，
，
甲的作法正确；
乙的作法，如图，

由作图可知，
，
，
乙的作法正确，
甲、乙两人的作法都正确．
故选：．
甲的作法，由作图可知垂直平分，得到，因此，由三角形内角和定理得到，乙的作法，由等腰三角形的性质得到，由补角的性质推出．
本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，基本作图，关键是由作图得到垂直平分．
 

8.【答案】 

【解析】解：由旋转的性质得到：≌，，
，
，
．
故选：．
由旋转的性质得到：≌，，由此，由三角形内角和定理求出，由对顶角的性质得到．
本题考查旋转的性质，关键是旋转的性质得到≌，．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故答案为：．
移项后将的系数化为即可求解．
本题考查解二元一次方程，将作为已知量进行求值是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：方法一：，
；
方法二：，
，
所以，正五边形每个内角的度数为．
故答案为：．
方法一：先根据多边形的内角和公式求出内角和，然后除以即可；
方法二：先根据正多边形的每一个外角等于外角和除以边数，再根据每一个内角与相邻的外角是邻补角列式计算即可得解．
本题考查了正多边形的内角与外角的关系，注意两种方法的使用，通常利用外角和与每一个外角的关系先求外角的度数更简单一些．
 

11.【答案】 

【解析】解：设第三边长为，
根据三角形的三边关系，则有，
即，
第三边长是奇数，
，
所以周长．
故答案为：．
可先求出第三边的取值范围，找出其中为奇数的数，即为第三边的长，再将三者相加即可得出周长的值．
此题考查了三角形的三边关系，同时能够根据奇数这一条件熟练找到第三边的值是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据平移的性质得：，，
又，
四边形，四边形均为平行四边形，
，，
，
．
故答案为：．
首先证明四边形，四边形均为平行四边形，从而得，，进而得，据此可得出的长．
此题主要考查了图形得平移变换及性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，理解图形得平移变换及性质是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：是的垂直平分线，，
，，
的周长为，
，
，
的周长．
故答案为：．
根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，过点作于点，如图：

，平分，
且平分，
是线段的垂直平分线，
，
，
根据“垂线段最短”得：，
即当点在线段上时，为最小，最小值为线段的长，
的面积为，，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
首先连接，过点作于点，再根据等腰三角形的性质得是线段的垂直平分线，从而得，则，然后根据“垂线段最短”得，据此可得出当点在线段上时，为最小，最小值为线段的长，最后根据三角形的面积求出即可．
此题主要考查了轴对称，最短路线，垂线段的性质，等腰三角形的性质熟练掌握等腰三角形的性质，理解“垂线段最短”是解答此题的关键．
 

15.【答案】解：，
，
，
，
；
，
，
，
，
，
． 

【解析】先去括号，移项、合并同类项后将的系数化为即可求解；
先去分母，再去括号，移项、合并同类项后将的系数化为即可求解．
本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
 

16.【答案】解：，
得，，
解得，
把代入得，，
解得，
方程组的解是；
，
得，，
得，，
得，，
把代入得，，
方程组的解是． 

【解析】直接利用加减消元法解二元一次方程组即可；
根据加减消元法解二元一次方程组即可．
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
，
，
，
；
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为可得；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】解：如图中，即为所求；
在图中，即为所求．
 

【解析】根据轴对称变换的性质分别作出的对应点即可；
利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可．
本题考查作图旋转变换，轴对称变换等知识，解题的关键是利用旋转变换，轴对称变换正确作出图形．
 

19.【答案】 

【解析】证明：，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌；
由知≌，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得，
，
，
的面积为，
故答案为：．
根据垂线的定义得出，根据同角的余角相等证得，再根据即可证得和全等；
由中≌得出，在中根据勾股定理求出的长，即可得出的长，再根据直角三角形的面积公式计算即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：由题意，，
．
故答案为：．
由题意，原不等式组可化为，
由得，；
由得，．
原不等式组的解集为：．
由题意，原不等式组可化为，
由得，；
由得，．
原不等式组的解集为：．
又恰好有三个整数解，
．
．
故答案为：．
依据题意，根据所给关系，由，即可判断得解；
依据题意，将原不等式组转化为，解不等式组可以得解；
依据题意，将原不等式组转化为，再由不等式组恰好有三个整数解，从而可得的取值范围．
本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，解题时要熟练掌握并准确计算是关键．
 

21.【答案】   

【解析】证明：在与中，
，
≌，
，
，
，
，
．
故答案为：，．
解：如图，中的结论依然成立，理由如下：
，
，
，
，，
≌，
，
，
，
．

由全等三角形的性质推出，由三角形外角的性质得到；
由≌，得到，由对顶角相等得到，由三角形内角和定理得到，即可证明问题．
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，旋转的性质，关键是证明≌．
 

22.【答案】解：设篮球的单价是元，足球的单价是元，
根据题意，可得，
解得：，
篮球的单价是元，足球的单价是元；
设该校可以购买个篮球，则可以购买个足球，
依题意得：，
解得：，
又为非负整数，
的最大值为．
答：该校最多可以购买个篮球． 

【解析】设篮球的单价是元，足球的单价是元，根据“购买个篮球和个足球需用元；购买个篮球和个足球需用元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设该校可以购买个篮球，则可以购买个足球，根据总价单价数量，结合购买篮球和足球的总费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再结合为非负整数即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

23.【答案】     

【解析】【问题解决】解：由作图的过程知，，，，
则≌，
故答案为：；
解：≌，则，
在中，，
即，
即，
故答案为：；

【方法总结】
【应用】证明：如图，延长至，使，

同理可得：≌，
，，
，
，
，
即；
【拓展】解：如图，
过点作交于点，
，
，，
≌，
，，
平分，，
则，，
，
，
则，
，
则为等腰直角三角形，
则，
则，
则的面积，
故答案为：．
【问题解决】由作图的过程知，，，，即可求解；
由≌，则，得到，即可求解；
【方法总结】【应用】证明≌，即可求解；
【拓展】证明≌，得到，求出，，即可求解．
本题考查了倍长中线法解题，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握倍长中线法，灵活进行三角形全等的证明，是解题的关键．
 

24.【答案】解：，，
，
当点与点重合时，，
，
解得；
当时，，
当时，，
综上所述：当时，；当时，；
，
的一半为，
当时，，解得，
时，的大小等于的一半；
当时，，解得，
时，的大小等于的一半；
综上所述：或时，的大小等于的一半；
设的角平分线与交于点，
，
，
，
，
，
，，
，
当时，时，解得，
时，的大小等于的一半；
当时，，解得，
时，的大小等于的一半；
综上所述：或时，的大小等于的一半． 

【解析】由题意可知当点与点重合时，，则，求出即可；
分两种情况讨论：当时，，当时，，再将给出条件代入即可；
分两种情况讨论：当时，，此时时，的大小等于的一半当时，，此时时，的大小等于的一半；
设的角平分线与交于点，根据角平分线和平行的性质可得，则，再分两种情况讨论：当时，时，时，的大小等于的一半；当时，，时，的大小等于的一半．
本题考查四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，根据点的运动情况分类讨论是解题的关键．