2024高考数学第一轮复习：专题2.5 对数与对数函数（原卷版）

2.5  对数与对数函数

思维导图

知识点总结

知识点一　对数运算性质

如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：

(1)loga(M·N)＝      ；

(2)loga＝    ；

(3)logaMn＝    (n∈R)．

知识点二　换底公式

1．logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．

2．对数换底公式的重要推论：

(1)logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)；

(2)＝logab(a>0，且a≠1，b>0)；

(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．

知识点三　对数函数的概念

一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是    ．

知识点　对数函数的图象和性质

对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：

典型例题分析

考向一 对数运算性质的应用

例1　计算下列各式：

(1)log5；(2)log2(32×42)；

(3)log535－2log5＋log57－log5.

反思感悟　对数式化简与求值的基本原则和方法

(1)基本原则

对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．

(2)两种常用的方法

①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；

②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．

考向二 对数换底公式的应用

例2　(1)计算：(log43＋log83)log32＝________.

(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645.(用a，b表示)

反思感悟　利用换底公式化简与求值的思路

考向三 对数函数的概念及应用

例3(1)下列给出的函数：

①y＝log5x＋1；

②y＝logax2(a>0，且a≠1)；③

④y＝log3；⑤y＝logx(x>0，且x≠1)；

⑥其中是对数函数的为(　　)

A．③④⑤  B．②④⑥  C．①③⑤⑥  D．③⑥

(2)已知对数函数的图象过点M(8,3)，则f ＝________.

反思感悟　判断一个函数是否为对数函数的方法

对数函数必须是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：

(1)对数式系数为1.

(2)底数为大于0且不等于1的常数．

(3)对数的真数仅有自变量x.

考向四 对数函数的图象问题

例4　(1)函数y＝x＋a与y＝logax的图象可能是下图中的(　　)

反思感悟　现在画图象很少单纯依靠描点，大多是以常见的函数为原料加工，所以一方面要掌握一些平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点．

考向五 反函数

例5　函数f(x)与g(x)互为反函数，若f(x)＝(x<0)．求函数g(x)的解析式，定义域、值域．

反思感悟　互为反函数的常用结论

(1)同底的指数函数、对数函数互为反函数．

(2)若f(x)与g(x)互为反函数，则f(x)的定义域、值域分别为g(x)的值域、定义域．

(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．

考向六  解对数不等式

例6　解下列关于x的不等式：

(1)

(2)loga(2x－5)>loga(x－1)．

反思感悟　对数不等式的三种考查类型及解法

(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论．

(2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解．

(3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．

基础题型训练

一、单选题

1．通过科学研究发现：地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为，则和的关系为（    ）

A． B． C． D．

2．已知，函数与的图像只可能是（    ）

A． B．

C． D．

3．已知，则的大小关系为(     )

A． B． C． D．

4．设，，则（    ）

A． B．

C． D．

5．已知函数，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

6．已知函数，若实数满足，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

7．已知，且，则（    ）

A． B．

C． D．

8．已知函数，则（    ）

A．在单调递增

B．在单调递增，在单调递减

C．的图象关于直线对称

D．函数的最小值为0

三、填空题

9．若，则a=__________.

10．函数的定义域为________.

11．已知函数（且），若对，，都有．则实数a的取值范围是___________．

12．已知，设，则的大小关系为（用“<”号连接）______．

四、解答题

13．已知函数.

(1)若函数的最小值为，求实数的值；

(2)若函数，用定义证明函数在上单调递减.

14．已知，用对数的定义证明公式：．

15．已知，a=，，求的值．

16．设为奇函数，a为常数．

（1）求a的值．

（2）若，不等式恒成立，求实数m的取值范围．

提升题型训练

一、单选题

1．已知函数且，则函数恒过定点（    ）

A． B． C． D．

2．已知函数，则的值为（    ）

A． B． C． D．9

3．已知满足则（    ）

A． B． C． D．

4．已知 <1，那么a的取值范围是(　　)

A．0<a< B．a>

C．<a<1 D．0<a<或a>1

5．已知，，，则下列不等式正确的是（       ）

A． B．

C． D．

6．若，，，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

7．下列命题是真命题的是（    ）

A．若幂函数过点，则

B．，

C．，

D．命题“，”的否定是“，”

8．下列函数中，值域是的是（    ）

A． B． C． D．

三、填空题

9．已知三个式子，，同时成立，则的取值范围为________．

10．______．

11．方程的解为___________.

12．已知函数，则使不等式成立的的取值范围是_______________

四、解答题

13．求下列各式的值：

（1）；

（2）．

14．已知函数.

(1)判断函数的奇偶性，并进行证明；

(2)若实数满足，求实数的取值范围.

15．（1）将根式化为分式指数幂的形式；

（2）若求的值.

16．对于在区间上有意义的函数f(x)，若满足对任意的，有恒成立，则称f(x)在上是“友好”的，否则就称f（x）在上是“不友好”的.现有函数

(1)当a=1时，判断函数f(x)在上是否“友好”；

(2)若函数f(x)在区间(1≤m≤2)上是“友好”的，求实数a的取值范围

(3)若关于x的方程的解集中有且只有一个元素，求实数a的取值范围.