2024高考数学第一轮复习：6.4 数列的综合应用(解析版)

这是一份2024高考数学第一轮复习：6.4 数列的综合应用(解析版)，共24页。试卷主要包含了　求通项公式，求和公式及其应用，求参数问题等内容，欢迎下载使用。
6.4 数列的综合应用
思维导图

典型例题分析
考向一 　求通项公式
(2019课标Ⅱ理,19,12分)已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.
(1)证明:{an+bn}是等比数列,{an-bn}是等差数列;
(2)求{an}和{bn}的通项公式.
解析　(1)证明:由题设得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),
即an+1+bn+1=12(an+bn).
又因为a1+b1=1,
所以{an+bn}是首项为1,
公比为12的等比数列.
由题设得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,
即an+1-bn+1=an-bn+2.
又因为a1-b1=1,
所以{an-bn}是首项为1,公差为2的等差数列.
(2)由(1)知,an+bn=12n-1,an-bn=2n-1.
所以an=12[(an+bn)+(an-bn)]=12n+n-12,
bn=12[(an+bn)-(an-bn)]=12n-n+12.
思路分析　(1)将两递推关系式左、右两边相加可得an+1+bn+1=12(an+bn),从而证得数列{an+bn}为等比数列;将两递推关系式左、右两边相减可得an+1-bn+1=an-bn+2,从而证得数列{an-bn}为等差数列.(2)由(1)可求出{an+bn},{an-bn}的通项公式,从而得an,bn.

考向二 求和公式及其应用
(2016课标Ⅰ文,17,12分)已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=13,anbn+1+bn+1=nbn.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求{bn}的前n项和.
解析　(1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=13,得a1=2, (3分)
所以数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1. (5分)
(2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn得bn+1=bn3, (7分)
因此{bn}是首项为1,公比为13的等比数列. (9分)
记{bn}的前n项和为Sn,
则Sn=1-13n1-13=32-12×3n-1. (12分)

考向三 求参数问题
已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;
(2)若S5=3132,求λ.
解析　(1)由题意得a1=S1=1+λa1,
故λ≠1,a1=11-λ,a1≠0. (2分)
由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan,即an+1(λ-1)=λan.由a1≠0,λ≠0得an≠0,所以an+1an=λλ-1.
因此{an}是首项为11-λ,公比为λλ-1的等比数列,于是an=11-λλλ-1n-1. (6分)
(2)由(1)得Sn=1-λλ-1n.
由S5=3132得1-λλ-15=3132,即λλ-15=132.
解得λ=-1. (12分)
思路分析　(1)先由题设利用an+1=Sn+1-Sn得到an+1与an的关系式,要证数列是等比数列,关键是看an+1与an之比是否为一常数,其中说明an≠0是非常重要的.(2)利用第(1)问的结论解方程求出λ.

考向四 构造法在数列中的应用
数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.
(1)设bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列;
(2)求{an}的通项公式.
解析　(1)证明:由an+2=2an+1-an+2得,
an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2.
又b1=a2-a1=1,
所以{bn}是首项为1,公差为2的等差数列. (5分)
(2)由(1)得bn=1+2(n-1),即an+1-an=2n-1. (8分)
于是∑k=1n(ak+1-ak)=∑k=1n(2k-1),
所以an+1-a1=n2,即an+1=n2+a1.
又a1=1,所以{an}的通项公式为an=n2-2n+2. (10分)
评析　本题着重考查等差数列的定义、前n项和公式及“累加法”求数列的通项等基础知识,同时考查运算变形的能力.

考向五 数列求和的综合问题
(2021全国乙文,19,12分)设{an}是首项为1的等比数列,数列{bn}满足bn=nan3.已知a1,3a2,9a3成等差数列.
(1)求{an}和{bn}的通项公式;
(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和.证明:Tn