2024年中考数学专题复习——专题五 函数与几何综合

这是一份2024年中考数学专题复习——专题五 函数与几何综合，共31页。试卷主要包含了边形的最大面积;等内容，欢迎下载使用。
2024年中考数学专题复习
专题五 函数与几何综合
第01讲 反比例函数与几何综合
课前预习
1. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在坐标原点，边在轴的负半轴上，，顶点的坐标为，反比例函数的图象与菱形对角线交于点，连接，当轴时，的值是 .
提示：
（1）抓住关键点（关键点是指函数图象与几何图形的交点）；
（2）几何特征、函数特征互转（借助点的纵坐标求解的长，进而求解，的长）；
（3）由关键点的坐标求解的值.
2. 尝试证明以下反比例函数模型.




结论：
结论：


结论：

知识精讲
一、反比例函数与几何综合的处理思路
1. 从关键点入手。通过关键点坐标和横平竖直线段长的互相转化，可将函数特征与几何特征综合在一起进行研究。
2. 对函数特征和几何特征进行转化、组合，列方程求解。若借助反比例函数模型，能快速将函数特征转化为几何特征。
与反比例函数相关的几个模型，在解题时可以考虑调用。




结论：
结论：




结论：

结论：





精讲精练
1. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，，函数的图象与线段交于点.若，则直线的解析式为 .




第1题图
第2题图

2. 如图，正方形的顶点，在反比例函数（）的图象上，顶点，分别在轴、轴的正半轴上，在其右侧作正方形，顶点在反比例函数（）的图象上，顶点在轴的正半轴上，则点的坐标为 .
3. 如图，的顶点，的坐标分别是，，顶点，在双曲线（）上，边交轴于点，且四边形的面积是面积的5倍，则 .







4. 如图，将边长为10的等边三角形放置于平面直角坐标系中，是边上的动点（不与端点，重合），作于点，若点，都在双曲线（，）上，则的值为 .




第 4 题图
第 5 题图

5. 如图，已知动点在函数的图象上，轴于点，轴于点，延长至点，使，延长至点，使. 直线分别交轴，轴于点，. 当时，图中阴影部分的面积为 .
6. 如图，等腰直角三角形的顶点，在轴上，，，反比例函数的图象分别与，交于点，.连接，当时，点的坐标为 .




第 6 题图
第 7 题图

7. 如图，，是双曲线上的点，且，两点的横坐标分别为，，直线交轴于点，交轴于点. 若，则的值为 .




8. 如图，已知四边形是平行四边形，，，两点的坐标分别是，，，两点在反比例函数的图象上，则的值为 .




第 8 题图
第 9 题图

9. 如图，，是双曲线上的两点，过点作轴，交于点，垂足为. 若的面积为1，为的中点，则的值为（ ）

A.
B.
C. 3

D. 4

10. 如图，已知在平面直角坐标系中，是坐标原点，点是函数图象上一点，的延长线交函（，是不等于0的常数）的图象于点，点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为，连接，交轴于点，连接，，，若的面积等于6，则由线段，，，所围成的图形的面积等于（ ）

A. 8

B. 10

C.
D.






11. 如图，已知点，在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，，在轴的两侧，，，与的距离为5，则的值是 .

12. 如图，直线与轴，轴分别交于，两点，点与原点关于直线对称. 反比例函数的图象经过点，点，且点位于点左侧. 过点作轴，轴的垂线，分别交直线于，两点，则的值为 .

13. 如图，正方形的顶点在 轴的正半轴上，反比例函数 在第一象限的图象经过顶点和边上的点 ，过点 的直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，则点 的坐标是 .

14. 如图，直线 与双曲线 交于点 ，将直线 向上平移 4 个单位长度后，与 轴交于点 ，与双曲线 交于点 . 若 ，则 的值为 .

15. 如图，已知直线 与双曲线 交于两点，点 的坐标为 为第一象限内双曲线 上一点. 若 的面积为 6 ，则点 的坐标为 .

16. 如图， 为双曲线 上的一点，过点 作 轴、 轴的 垂线，分别交直线 于两点，若直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，则 的值为 .


第02讲 函数性质综合运用
课前预习
1. 填空.
（1）如果我们将方程组中的两个方程看作是两个函数，则方程组的解恰好对应两个函数图象的 ；方程的根对应两个函数图象交点的 .
特别地，一元二次方程的根是二次函数 的图象与 交点的横坐标.当时，二次函数的图象与轴有 个交点；当时，与轴有 个交点；当时，与轴有 个交点.
（2）与的交点个数为 .
2. 借助二次函数图象，数形结合回答下列问题：
（1）当时，抛物线开口 ，图象以对称轴为界，当 时，随的增大而增大；该二次函数有最 值，是 ；
（2）当时，抛物线开口 ，图象以对称轴为界，当 时，随的增大而增大；该二次函数有最 值，是 .
（3）已知二次函数. 当时，的取值范围为 ；当时，的取值范围为 .
备注：二次函数的顶点坐标为.









知识精讲
表达式与坐标
①坐标代入表达式，得方程或不等式
②借助表达式设坐标
①判断，，，等字母的符号
函数 图像与性质 ②借助图象比大小、找范围
③图象平移：左加右减，上加下减
函数与方程、不等式
将方程、不等式转化为函数
数形结合，借助图象分析
第一步：设坐标
利用所在函数表达式或坐标间关系
横平竖直 第二步：坐标相减
竖直线段：纵坐标相减，上减下
表达线段长
水平线段：横坐标相减，右减左
①倾斜程度不变
斜放置
借助相似，利用竖直线段长表达
②倾斜程度变化
勾股定理：
精讲精练
1. 抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如表所示.

…
-3
-2
-1
0
1
…

…
-6
0
4
6
6
…
给出下列说法：①抛物线与轴的交点为；②抛物线的对称轴在轴的右侧；③抛物线一定经过点；④在对称轴左侧，随增大而减小；⑤一元二次方程的解为或.由表可知，正确的说法有 个.
2. 已知二次函数（为常数），在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为5，则的值为（ ）

A. 5或1
B. -1或5
C. 1或-3
D. 1或3

3. 已知二次函数的图象的顶点在第四象限，且过点，当为整数时，的值为（ ）

A.或1
B.或1
C.或
D.或






4. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线. 给出下列结论：①；②；③；④若点，，在该函数图象上，则；⑤若方程的两根为和，且，则. 其中正确的结论有 （填写序号）.

5. 若，（）是关于的一元二次方程的两个根，且，则，，，的大小关系为 .
6. 设关于的方程有两个不相等的实数根，，且，那么的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

7. 若关于的方程的两根都在-1和3之间（不含-1，3），则的取值范围是 .
8. 已知二次函数与轴只有一个交点，且图象过，两点，则的值为（ ）

A. 16
B. 18
C. 20
D. 25

9. 如图，在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于，两点，点是轴上一动点，过点作轴的垂线，交双曲线于点，交直线于点，当长为1时，点的坐标为 .

10. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，点在轴上，点的纵坐标为3. 点是直线下方的抛物线上一动点（不与点，重合），过点作轴的垂线，交直线于点，作于点. 设点的横坐标为.
（1）设线段的长为，则与之间的函数关系式为 .
（2）线段长的最大值为 .

11. 如图，抛物线与轴的正半轴交于点，交轴于点.点为抛物线上一个动点，过点作轴的垂线，过点作于点，连接.当为等腰直角三角形时，线段的长为 .

12. 如图，边长为8的正方形的两边在坐标轴上，以点为顶点的抛物线经过点，点是抛物线上点，间的一个动点（含端点），过点作于点，点的坐标为，连接. 在变化过程中，与的差为定值，则 .


13. 某班“数学兴趣小组” 对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整.
（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：

…
-3

-2
-1
0
1
2

3
…

…
3


-1
0
-1
0

3
…
其中， .
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分.
（3）观察函数图象，写出两条函数的性质.
（4）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与轴有 个交点，所以对应方程有 个实数根；
②方程有 个实数根；
③关于的方程有4个实数根时，的取值范围是 .












第03讲 二次函数之面积问题
课前预习
1. 如图，直线经过点，，点的坐标为，则的面积为 .

提示：利用点的坐标求面积，需要将点的坐标转化为横平竖直的线段长，常考虑作横平竖直的线对图形进行割补.
具体操作：
（1）过点作轴，交于点；
（2）借助，的坐标求解的长；
（3）以为底，则，两点间的水平距离为高，即.




















知识精讲
一、二次函数之面积问题的处理思路
1. 分析目标图形的点、线、图形特征；
2. 依据特征、原则对图形进行割补、转化；
3. 设计方案，求解、验证。
面积问题的处理思路：公式、割补、转化。
坐标系背景下问题的处理原则： ， 。
二、二次函数之面积问题的常见模型
1. 割补法——铅垂法求面积：






2. 转化法——借助平行线转化：




若，
当，在同侧时，
.
若，
当，在异侧时，
平分.

精讲精练
1. 如图 1，抛物线经过，，三点. 点是直线上方抛物线上的点（不与，重合），过点作轴交线段于点，连接，.
（1）若设点的横坐标为，四边形的面积为，则与的函数关系式为 .
（2）四边形的最大面积为 ，此时点的坐标为 .

图1

图2（备用）









2. 如图 1 ，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点，点的坐标为，直线与抛物线交于另一点.
（1）若是直线上方抛物线上的一个动点，则面积的最大值为 .
（2）在直线下方的抛物线上有一动点，当时，点的坐标为 .

图1

图2（备用）

图3（备用）


3. 如图 1，已知抛物线与轴交于，两点，点在点的右侧，且点的坐标为，与轴的负半轴交于点，顶点为.连接，，.
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）若点在抛物线上，且以点，，以及另一点为顶点的平行四边形的面积为12 ，设的横坐标为，求的值.

图1

图2（备用）

图3（备用）


4. 如图，抛物线经过 三点.
(1) 求抛物线的解析式.
(2) 点 是直线上抛物线上的点（不与重合），过点作轴交线段于点，若点的横坐标为，请用含的代数式表示的长.
(3) 在 (2) 的条件下，连接，是否存在点，使 四边形的面积最大? 若存在，求出点的坐标及四 边形的最大面积; 若不存在，请说明理由.

图1


图2（备用）


图3（备用）


5. 如图，抛物线 与直线 交于两点，其中 点坐标为 .
(1) 若 是直线上方抛物线上的一个动点，求 面 积的最大值.
(2) 在直线 $A C$ 下方的抛物线上，是否存在点 ，使得 ? 如果存在，求出点 的坐标; 如果不存在，请说 明理由.


























6. 如图，抛物线 与 轴交于 $A，B$ 两点，与直线 交于点 和点 .
(1) 若点 在抛物线上，且以点以及另一点 为 顶点的平行四边形的面积为 12 ，求两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，若点是轴下方抛物线上的一动 点，当 的面积最大时，请求出 的最大面积及 此时点的坐标..

图1

图2（备用）

图3（备用）


7. 如图，抛物线 与 轴交于 $A，B$ 两点，与 轴 交于点 ，对称轴与抛物线交于点 ，与直线交于点 ，连接.
（1）在抛物线上是否存在异于点的一点 ，使 与 的面积相等? 若存在，求出点 的坐标; 若不存在，请说明理由.
(2) 在第一象限对称轴右侧的抛物线上是否存在一点 ，使 与 的面积相等? 若存在，求出点 的坐标; 若不存在，请说明理由..
























8. 如图，已知抛物线 与 轴交于点 和点 . 与 轴交于点 .
(1) 求抛物线的解析式.
(2) 如图，已知点.
①在 轴下方的抛物线上是否存在点 ，使得 ? 若存在，求出点 的坐标; 若不存在，请说明理由.
②在抛物线上是否存在点 (点 在 轴的左侧)，使得 ? 若存在，求出点 的坐标; 若不存在，请说明理由.



















第04讲 二次函数与几何综合
课前预习
1. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，点的坐标为. 若点在直线上运动，点在直线上运动，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，点的坐标为 .

提示：
（1）分析定点（，），动点（，），属于两定两动的平行四边形存在性问题.
（2）连接两定点得定线段，考虑：①若定线段作为平行四边形的边，则通过平移确定点的坐标；②若定线段作为平行四边形的对角线，则绕定线段中点旋转，利用中点坐标公式确定点的坐标.
（3）利用函数特征和几何特征求解后，结合图形进行验证.



















知识精讲
1. 解决“函数与几何综合”问题，一般是将 和 综合在一起进行研究。
思路一：研究函数，可以从相关的 出发，将 转化为 ，再结合其图像的 ，把函数特征转移到几何图形中建方程求解；
思路二：研究几何图形，可以把图形中 的特征转化为 ，把几何特征集中到函数上建方程求解。
2. 整合信息时的两个环节
（1）研究函数表达式。二次函数关注 ，一次函数关注 。
（2） 。找特殊图形、特殊位置关系，寻求边长和角度信息。

































精讲精练
1. 如图 1，已知二次函数的图象与轴交于点，，且经过点，连接，二次函数图象的对称轴记为.
（1）点是二次函数图象上一动点，当的面积为时，点关于的对称点为，求点的坐标.
（2）在（1）的条件下，能否在二次函数图象和直线上分别找到点，，使得以点，，，为顶点的四边形为平行四边形.若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由.

图1

图2（备用）

图3（备用）

2. 如图 1，抛物线经过的三个顶点，已知轴，点在轴上，点在轴上，且.
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标；
（3）已知点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标.

图1

图2（备用）

图3（备用）

图4（备用）


3. 如图，抛物线 经过 的三个顶 点，已知 轴，点 在 轴上，点 在 轴上，且 .
(1) 求抛物线的解析式;
(2) 已知点在轴上，点在抛物线上，且以为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标.

图1

图2（备用）

图3（备用）

图4（备用）




4. 如图，已知抛物线 与 轴交于 $A，B$ 两点，点 在点 的右侧，且点 的坐标为 ，与 轴的负半 轴交于点 ，顶点为 . 连接 .
(1) 求抛物线的解析式;
(2) 已知点 在抛物线的对称轴上，点 在抛物线上，且以为顶点的四边形是平行四边形，求点 的坐标.

图1

图2（备用）












5. 如图，已知抛物线 的顶点坐标为 ，且与 轴交于点 ，与 轴交于两点（点在点 的右侧)，点 是该抛物线上一动点，从点 出发沿抛物线向点 运动 (点 与点 不重合)，过点 作 轴，交于点 .
(1) 求该抛物线的函数关系式.
(2) 当 是直角三角形时，求点 的坐标.
(3) 在 (2) 的条件下，若点 在 轴上，点 在抛物线上，是否存在以为顶点的四边形是平行四边形? 若 存在，求出点 的坐标; 若不存在，请说明理由.



















6. 如图，在平面直角坐标系中，点在 轴上，点在 轴上，且 ，抛物线 经过三点，直线与抛物线交于另一点 .
(1) 求这条抛物线的解析式.
(2) 若 为抛物线上一动点， 为直线上一动点，是否 存在点 ，使以为顶点的三角形是等腰直角三角形? 若存在，求出所有点 的坐标; 若不存在，请说明理由

图1

图2（备用）

图3（备用）