贵州省铜仁市2020-2021学年高一下学期期末质量监测数学试卷

2020～2021学年高一年级下学期期末质量监测试卷

数学

本试卷共8页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.不等式(x－1)(x＋4)<0的解集为

A.{x|x<－4或x>1}    B.{x|－1<x<4}    C.{x|x<－1或x>4}    D.{x|－4<x<1}

2.已知等比数列{an}中，首项为2，公比为2，则a10＝

A.20     B.512     C.1024     D.2021

3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A＝45°，B＝60°，b＝，则a＝

A.2     B.     C.1     D.

4.下列命题正确的是

A.棱柱的底面一定是平行四边形       B.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥

C.棱锥的底面一定是三角形           D.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱

5.直线l经过原点O和点A(1，－1)，则直线l的倾斜角是

A.45°     B.135°     C.45°或135°     D.－45°

6.两圆C1：x2＋y2＝1与C2：(x－3)2＋y2＝4的公切线条数为

A.1     B.2     C.3     D.4

7.直线x＋3y＋3＝0与直线mx＋2y－4＝0垂直，则m的值为

A.－6     B.     C.6     D.－

8.两直线a与b是异面直线，b//c，则a，c的位置关系是

A.平行或相交     B.异面或平行     C.平行或异面或相交     D.异面或相交

9.如果实数x，y满足条件，则z＝2x＋y的最大值为

A.1     B.2     C.5     D.6

10.已知a，b，c表示直线，α表示平面，给出下列命题：

①若a//α，b//α，则a//b；②若bα，a//b，则a//α；③若a⊥c，b⊥c，则a⊥b；④若a⊥α，b⊥a，则a//b。其中正确的命题个数是

A.0     B.1     C.2     D.3

11.如图，一个空间几何体三视图均为直角边长为1的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为

A.3π     B.π     C.π     D.4π

12.若当x∈[－2，2]时，不等式|kx－＋6|≥恒成立，则实数k的取值范围是

A.[－2，2]                         B.[－，]

C.(－∞，－]∪[，＋∞)       D.[－1，1]

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知直线l1：x－my＋1＝0，l2：2x－6y＋5＝0，且l1//l2，则m的值为           。

14.已知直线ax＋by－1＝0(a>0，b>0)平分圆(x－2)2＋(y－1)2＝16的圆周，则的最小值为           。

15.已知圆柱的上下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则该圆柱的体积为           。

16.已知P(a，b)为圆O：x2＋y2＝9上第二象限的动点，直线PA，PB与圆O的另一个交点分别为A，B，且直线PA，PB的斜率之和为0，则直线AB的斜率是           。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分10分)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1，求线段BD1的长。

18.(本小题满分12分)已知△ABC的顶点坐标为A(－5，－1)，B(－1，1)，C(－2，3)。

(1)试判断△ABC的形状；

(2)求AC边上的高所在直线的方程。

19.(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠CAB＝60°，AC＝AB＝AA1且D，E分别是BC，CC1的中点。

(1)求证：CA1//平面ADB1；

(2)求证：BE⊥平面ADB1。

20.(本小题满分12分)在锐角△ABC中a，b，c是角A，B，C的对边，且sinC＝cos(A－C)＋cosB。

(1)求角A的大小；

(2)若a＝2，△ABC的面积是3，求b＋c。

21.(本小题满分12分)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2(n∈N*)，数列{bn}满足b1＝2，bn＋1＝3bn＋2。

(1)求数列{an}的通项公式；并证明：数列{bn＋1}是等比数列；

(2)设数列{cn}满足cn＝an·(bn＋1)，求数列{cn}的前n项和为Tn。

22.(本小题满分12分)已知过原点O的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B。

(1)求圆C1的圆心坐标；

(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；

(3)是否存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由。

参考答案

一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）

一、    填空题（每小题5分，共20分）

13、  3       14、 8      15、       16、

三、解答题：（共计70分）

17. （本小题满分10分）

解：因为在长方体中，，，，

连接，在中，有，5分

又因为在长方体中，平面，

所以，在中，.9分

. ……………10分

也可以直接由长方体性质得： .（10分）

18.（本小题满分12分）

解：（1）  .  ..2分  

 ，2分  (如果求AC的斜率，不扣分，不加分）

，，

         为直角三角形   ………………………………………6分

  （2）因为 ,所以, 边上高线所在直线的斜率为..9分

      直线的方程是，即………………12分

19.（本小题满分12分）

解：（1）如图，连接，交于，连接

        则，为的中点，因为为的中点

      所以，为三角形的中位线， ……………4分

      又 平面， 平面，

所以， 平面. ………………………6分

（2）,,

 为的中点，所以

以因为为直棱柱，所以………8分

,,

∵∽，

,即,

,所以,. …………………………12分

20.（本小题满分12分）

解（1）在锐角中， ，

则，由，

可得，

得 ，（没有指出锐角或 

则在锐角中， ……………………………………6分

（2）由（1）知，且，得，…………7分

由余弦定理得，又，…………………………9分

那么，

则，可得.……………………12分

21.（本小题满分12分）

解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.

检验，当n＝1时a1＝1＝2×1－1符合. 所以an＝2n－1(n∈N*).………………3分

当n≥2时，因为bn＋1＝3bn＋2，则＝＝3，而b1＋1＝3，

所以数列{bn＋1}是等比数列，且首项为3，公比为3. ……………6分

(2)由(1)得bn＋1＝3×3n－1＝3n，cn＝an·(bn＋1)＝(2n－1)·3n，…………………………7分

所以Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn－1＋cn，

即 Tn＝1×3＋3×32＋5×33＋…＋(2n－3)·3n－1＋(2n－1)·3n, ①………………………8分

3Tn＝1×32＋3×33＋5×34＋…＋(2n－3)·3n＋(2n－1)·3n＋1，②

由①－②得：－2Tn＝1×3＋2(32＋33＋…＋3n－1＋3n)－(2n－1)·3n＋1，……………10分

－2Tn＝1×3＋2·－(2n－1)·3n＋1＝－6－(2n－2)·3n＋1，

则Tn＝3＋(n－1)·3n＋1，

所以Tn＝3＋(n－1)·3n＋1.　 ………………………………………………12分

另解：因为cn＝an(bn＋1)＝(2n－1)·3n＝[(n＋1)－2]·3n＋1－(n－2)·3n，

设dn＝(n－2)·3n，则cn＝dn＋1－dn，

所以Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn－1＋cn＝(d2－d1)＋(d3－d2)＋…＋(dn＋1－dn)

＝dn＋1－d1＝[(n＋1)－2]·3n＋1－(1－2)·31＝3＋(n－1)·3n＋1，

所以Tn＝3＋(n－1)·3n＋1.

22.（本小题满分12分）

解：(1)因为圆的方程可化为，

所以圆心坐标为(3,0). ………………………………………………4分

 (2)设点,则， .

由题意可知直线l的斜率必存在, 设直线l的方程为.

将上述方程代入圆的方程，化简得.

因为.

所以.

由解得又,所以.

所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为 .…没有…扣1分..8分

(3)存在实数k满足条件.由(2)知,曲线C是在区间上的一段圆弧.

如图，，，,直线过定点G(4,0).

联立直线的方程与曲线C的方程,消去整理得.

由,解得,

此时直线l与曲线C相切,由根与系数的关系易得切点的横坐标为,

又， ，由图可知要使直线与曲线C只有

一个交点,则.

故的取值范围为.……如没有…扣1分………………………12分