2022-2023学年河南省开封市杞县高中高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省开封市杞县高中高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知复数满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知圆锥的底面半径为，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  复数在复平面内对应的点所在的象限为(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

4.  对于向量、，“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5.  用斜二测画法作一个边长为的正方形，则其直观图的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  设复数的辐角的主值为，虚部为，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知向量，，，若，，三点不能构成三角形，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知斜三棱柱的一个侧面的面积为，该侧面与其相对侧棱的距离为，则此斜三棱柱的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是(    )

A.
B.
C. 的共轭复数为
D. 是关于的方程的一个根

10.  已知向量，满足，，且，则(    )

A.  B.
C. 与的夹角为 D. 与的夹角为

11.  已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则下列说法正确的是(    )

A. 圆锥的高是 B. 圆锥的母线长是
C. 圆锥的表面积是 D. 圆锥的体积是

12.  在中，角、、的对边分别为、、，下列说法正确的是(    )

A. 若，则只有一解
B. 若，则是锐角三角形
C. 若，则
D. 若，则的形状是等腰或直角三角形

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知非零向量，满足，，其中，则          ．

14.  已知复数，是方程的两个根，则 ______ ．

15.  在中，角，，所对的边分别为，，，，且面积为，若，则 ______ ．

16.  已知圆柱的全面积为，圆柱内有一平行于圆柱轴的截面，截面面积为，且截面上的两条母线将圆柱侧面分成两部分的表面积之比为：，则圆柱的体积是______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
如图，在菱形中，．
若，求的值；
若，，求．

18.  本小题分
已知复数，其中为虚数单位，．
若是纯虚数，求的值；
在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围．

19.  本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且满足．
求角；
若为边的中点，且，，求的周长．

20.  本小题分
如图，正三棱锥中，，，点，分别为，的中点，一只蚂蚁从点出发，沿三棱锥侧面爬行到点，求：
该三棱锥的体积与表面积；
蚂蚁爬行的最短路线长．

21.  本小题分
已知向量，．
若，求的值；
若，求与的夹角的余弦值．

22.  本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，求周长的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：设，，，
因为，
所以，
所以，解得，，
所以．
故选：．
首先设复数，再根据复数模的公式，以及复数相等，即可求解．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：圆锥的底面半径，侧面展开图的圆心角为，
，可得母线长，
圆锥的高．
故选：．
由扇形弧长公式求圆锥的母线长，再根据圆锥的母线、高和底面半径的关系求高．
本题考查圆锥及其侧面展开图，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
所以复数对应的点坐标为，该点是第三象限点，
故选：．
利用复数除法化简复数，再根据复数的几何意义即可得到答案．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为时一定有，
即由“”可以推出“”，
但时，两个向量不一定相等，
如零向量与任意非零向量都平行，但不相等，
所以由“”不能推出“”，
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
利用向量平行和相等可以进行判断．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
根据斜二测画法的原则得到直观图的对应边长关系，即可求出相应的面积．
本题主要考查利用斜二测画法画空间图形的直观图，利用斜二测画法的原则是解决本题的关键，比较基础．
【解答】
解：根据斜二测画法的原则可知，，
 

对应直观图的面积为，
故选：．
 

6.【答案】 

【解析】解：复数的辐角的主值为
设复数
虚部为




故选：．
将复数设为三角形式，据虚部为求出复数的模，求出复数的三角形式，利用棣莫弗定理求出
本题考查复数的三角形式与代数形式及复数的棣莫弗定理．
 

7.【答案】 

【解析】解：、、三点不能构成三角形；
、、三点共线；
存在实数，使，
，
；
；

解得．
故选：．
根据条件便知，，三点共线，从而有存在实数，使，这样可求出的坐标代入上式，便可建立关于和的二元一次方程组，解方程组即可得出的取值．
本题考查的知识要点：共线向量基本定理，向量减法的几何意义，以及向量坐标的减法和数乘运算
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，两个斜三棱柱组成一个四棱柱，
以斜三棱柱的一个侧面为四棱柱的底面，
面积为，高，四棱柱的体积，
则此斜三棱柱的体积为．

故选：．
通过补体，两个斜三棱柱组成一个四棱柱，求四棱柱的体积，斜三棱柱的体积是四棱柱的体积的一半．
本题考查斜三棱柱的体积的求解，属中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：因为，所以，故A正确；
因为，故B正确；
因为的共轭复数为，故C错误；
因为方程，
所以方程的根为，故D正确．
故选：．
利用复数的相关概念以及复数的运算进行计算求解．
本题主要考查复数的相关概念以及复数的运算，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，且，
，即，即，故A正确；
，与不垂直，故B错误；
，且，与的夹角为，故C正确，D错误．
故选：．
由已知求得判断；再由数量积是否为判断；由数量积求两个向量的夹角判断与．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查运算求解能力，是中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：设圆锥的母线长为，
圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，
由圆锥的底面圆周长等于半圆的弧长，
得，解得，即圆锥的母线长为，高为，
故A错误，B正确；
该圆锥的表面积，故C错误；
圆锥的体积，故D正确．
故选：．
设圆锥的母线长为，由圆锥的底面圆周长等于半圆的弧长求得，然后求高，再由表面积公式与体积公式求解圆锥的表面积与体积，则答案可求．
本题考查圆锥的结构特征，考查圆锥表面积与体积的求法，是基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，若，
则由正弦定理可得，，即，解得，
又为内角，则，即只有一解，选项A正确；
对于，若，则，
则，则为锐角，即为锐角，
但角，未知，故不能判断为锐角三角形，选项B错误；
对于，若，则由正弦定理可知，，选项C正确；
对于，若，则，
即，即，
化简可得，，则或，
则为等腰三角形或直角三角形，选项D正确．
故选：．
对于，由正弦定理可得，由此可判断选项A；对于，由平面向量的数量积可知为锐角，但不能判断，的大小，由此可判断选项B；由正弦定理可直接判断选项C；根据余弦定理化简可得或，由此判断选项D．
本题考查正余弦定理的运用，考查平面向量的数量积以及命题的真假判断，考查运算求解能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了利用向量的数量积求向量的模，考查了计算能力，属于基础题．
根据，即可得出．

【解答】

解：，
，
．
故答案为：．

14.【答案】 

【解析】解：由复数，是方程的两个根，则不妨取，
故．
故答案为：．
由题意求出，，代入化简，可得答案．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：，解得：；
又，代入得：或；
根据余弦定理得：，
解得：；
故答案为：．
根据三角形面积解得，代入解得或；然后根据余弦定理求得．
本题考查了三角形的面积公式和余弦定理的应用，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：根据题意，因为截面上的两条母线将圆柱侧面分成两部分的表面积之比为：，
可知由圆柱底面圆心向截面与底面的两个交点连线形成的圆心角，即弦所对的圆心角，
设底面半径为，则弦，
设圆柱的高为，则，
解得或舍，
所以圆柱的体积．
故答案为：
依题意画出图形，根据面积之比求出弦所对的圆心角，从而求出，设底面半径为、圆柱的高为，根据面积公式得到方程组，解得、，最后根据体积公式计算可得．
本题考查圆柱的结构特征，涉及圆柱的表面积、体积的计算，属于基础题．
 

17.【答案】解：因为在菱形中，．
故，
故，所以．
显然，
所以
，
因为菱形，且，，故，．
所以．
故式．
故． 

【解析】本题考查平面向量基本定理以及数量积的运算，考查运算能力，属于基础题．

结合向量线性运算的几何意义，用表示出向量，即可求出，的值，问题可解；

将也用表示，结合已知求得，然后结合数量积的定义求解即可．

18.【答案】解：若是纯虚数，
则，解得；
在复平面内对应的点在第二象限，
则，解得，
故的取值范围为． 

【解析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解；
根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查纯虚数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．
 

19.【答案】解：在中因为，
由正弦定理得，
所以，
即，
又因为，，，所以，
所以．
取边的中点，连接，则，
且，，
在中，由余弦定理得：，
解得，所以．
在中，由余弦定理得：，
所以的周长为． 

【解析】由正弦定理将边化角，然后利用内角和定理将转化成即可求解；分别在两个三角形中用余弦定理即可求解出各边长，从而求出周长．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
 

20.【答案】解：，，
，，，
，，，
，平面，
三棱锥的体积为，
三棱锥的表面积为．
情况一，如图，连接，线段的长度即蚂蚁爬行的最短路线长，

中，，，，
由余弦定理得，
即，解得；
情况二，如图，连接，，线段的长度即蚂蚁爬行的最短路线长，

，，，
由余弦定理得，
，
，则，
，
蚂蚁爬行的最短路线长为． 

【解析】将当作底面，将当作三棱锥的高，由三棱锥体积公式即可求出三棱锥的体积，再求出各个面的面积，由面积公式能求出三棱锥的表面积；
将与延展开，使得两个三角形在同一个平面上，连接，再由余弦定理能求出蚂蚁爬行的最短路线长．
本题考查三棱锥的体积、表面积、展开图等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

21.【答案】解：因为，所以，
即，所以或．
若，则若，即，
所以，
所以，即．
所以，，，
． 

【解析】由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，计算求得的值．
由题意，利用两个向量垂直的性质求出的值，再利用两个向量夹角公式，求得结果．
本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，两个向量夹角公式，属于基础题．
 

22.【答案】解：，由倍角公式得，
由余弦定理，，化简得，
则，由，得．
由正弦定理得：，
，，，

，
由，，
，即当且仅当时，等号成立，
从而周长的取值范围是． 

【解析】已知等式结合倍角公式和余弦定理，化简得，可求；
结合正弦定理表示出和，进而将周长表示为关于角的正弦函数，利用正弦函数性质以及的范围即可求得答案．
本题主要考查解三角形，正余弦定理的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．