2022-2023学年河南省郑州市金水区励德双语学校高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省郑州市金水区励德双语学校高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本题共9小题，共45分）

1.  在中，角，，所对的边分别为，，，且，则角的大小是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  复数在复平面内对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3.  已知复数，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  设向量，满足，，则  (    )

A.  B.  C.  D.

5.  经过空间任意三点作平面(    )

A. 只有一个 B. 可作二个
C. 可作无数多个 D. 只有一个或有无数多个

6.  用一个平面去截正方体，截面的形状不可能是(    )

A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 正方形 D. 正六边形

7.  已知正三角形的边长为，那么的直观图的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  用与球心距离为的平面去截球，所得截面圆的面积为，则球的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  在中，，，若是直角三角形，则的值可能为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本题共3小题，共15分）

10.  下面关于复数的四个说法中，正确的有(    )

A.  B.
C.  的共轭复数为  D.  的虚部为

11.  两条直线，满足，，则与平面的关系是(    )

A.  B. 与相交 C. 与不相交 D.

12.  如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列命题中，正确的有(    )

A. 平面 B. 平面
C. 平面平面 D. 平面平面

三、填空题（本题共4小题，共20分）

13.  体积为的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球面的表面积为          ．

14.  在中，，，，则的值为______．

15.  是虚数单位，复数_____  ．

16.  如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得已知山高，则山高________．

 

四、简答题（本题共6小题，共70分）

17.  已知平面向量，．
Ⅰ若，求；
Ⅱ若，求与所成夹角的余弦值．

18.  已知复数是纯虚数．
求的值；
若，求复数的模．

19.  在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，且．
求的大小；
求的面积．

20.  如图，在长方体中，，，分别是，，的中点，求证：平面．

21.  在中，角，，的对边分别为，，，已知．
求角的大小；
若，，求及的面积．

22.  如图，四棱锥中，底面，，，，分别为，的中点，．
证明：平面平面；
求三棱锥的体积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由，
得，
，
．
故选：．
根据余弦定理求得的值，进而求得角．
此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为，
所以复数在复平面内对应的点位于第四象限．
故选：．
根据复数的除法运算，化简复数，即可根据复数的几何意义，得出答案．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
则．
故选：．
根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了向量的数量积  性质的基本应用，属于基础题．
由
，代入已知可求．
【解答】
解：，，

故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：当三点在一条直线上时，过这三点的平面能作无数个；
当三点不在同一条直线上时，过这三点的平面有且只有一个；
过空间的任意三点作平面，只有一个或有无数多个．
故选：．
讨论三点在一条直线上时和三点不在同一条直线上时，过三点的平面能作多少即可．
本题考查了空间中确定平面的条件是什么，解题时应根据平面的基本公理与推理进行解答，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查学生作图能力，判断能力，以及空间想象能力，明确几何图形的特征是解好本题的关键，属于基础题．
画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，即可判断选项．
【解答】
解：画出截面图形如图：

显然正三角形，正方形，正六边形都可以画出，可以画出三角形但不是直角三角形；
故选B．  

7.【答案】 

【解析】解：如图所示

直观图的高为
，
底边长为；
所以的面积为：
．
故选：．
作出原图三角形与直观图形，再求直观图形的面积即可．
本题考查了平面图形的直观图形画法与直观图形的面积计算问题，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查球的表面积，考查勾股定理的运用，比较基础．
求出截面圆的半径为，利用截面圆的面积为，可得，即可求出球的表面积．
【解答】
解：设半径为，则截面圆的半径为，
截面圆的面积为，，
球的表面积．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：若为直角，则即，
所以，解得；
若为直角，则即，
因为，所以，
解得；
若为直角，则，即
所以，
所以，解得或；
综合可得，的值可能为．
故选：．
若是直角三角形，分析三个内角都有可能是直角，分别讨论三个角是直角的情况，根据向量垂直的坐标公式，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
对于，，故A错误；
对于，，故B正确；
对于，，故C错误；
对于，的虚部为．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，先对化简，即可依次求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】

【试题解析】
【分析】
以正方体为载体，列举所有情况，由此能求出与平面的关系．
本题考查线面关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是基础题．
【解答】
解：在正方体中，
，平面，平面，
，平面，平面，
两条直线，满足，，
则与平面的关系是或，
与不相交．
故选C．
  

12.【答案】 

【解析】解：把正方体的平面展开图还原成正方体，
对于，显然与平面相交，所以不可能平行于平面，故A错误；
对于，显然与平面相交，所以不可能平行于平面，故B错误；
对于，，，，、平面，
平面平面，故C正确；
对于，，，，、平面，
平面平面，故D正确．
故答案为：．
把正方体的平面展开图还原成正方体，由此能求出结果．
本题主要考查了正方体的平面展开图，考查了线面平行和面面平行的判定定理，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查正方体的外接球的表面积的求法，考查正方体、球等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
先求出该正方体的棱长，再求出球半径，由此能求出该球面的表面积．

【解答】

解：体积为的正方体的顶点都在同一个球面上，
该正方体的棱长，
球半径，
该球面的表面积．
故答案为：．

14.【答案】 

【解析】解：由余弦定理可知，
解得，或舍去
故答案为：．
利用余弦定理可得关于的方程，求得即可．
本题主要考查了余弦定理的应用．属基础题．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查复数的四则运算，属于基础题．
利用复数的四则运算法则，直接计算即可得出答案．

【解答】

解： 
，
故答案为：．

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考察了正弦定理的应用，考察了解三角形的实际应用，属于中档题．由题意，可先求出的值，从而由正弦定理可求的值，在中，，，从而可求得的值．
【解答】
解：在中，，，所以
在中，，，从而，
由正弦定理得，，因此，
在中，，，由，
得．
故答案为．  

17.【答案】解：Ⅰ平面向量，
若，则，
解得；
Ⅱ若，则，
即，
解得，
，
与所成夹角的余弦值为
． 

【解析】本题考查了平面向量的共线定理与数量积应用问题，是基础题．
Ⅰ由平面向量的共线定理列方程求出的值；
Ⅱ根据平面向量垂直的坐标表示列方程求出，再计算与所成夹角的余弦值．
 

18.【答案】解：根据题意，复数，
若复数是纯虚数，
则，解可得；
由的结论，，
则，
故． 

【解析】根据题意，由复数的计算公式可得，由纯虚数的定义可得，解可得的值，即可得答案；
根据题意，先求出，据此由复数模的计算公式计算可得答案．
本题考查复数的计算，涉及纯虚数的定义，属于基础题．
 

19.【答案】解：由余弦定理得，即，
即，即，
将代入整理得，即，
解得或或舍，
因为，
所以，即，
所以不合题意，舍去，
所以，，
所以，
因为，
所以．
． 

【解析】利用余弦定理把表示成边的关系，然后解方程组即可求出，，，再利用余弦定理可求的值，结合的范围即可求解的值．
直接利用三角形面积公式计算即可．
此题考查了二倍角的余弦函数公式，余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．
 

20.【答案】证明：如图，取的中点，连接，，
，分别是，的中点，
，
又平面，
平面，
平面，
又是的中点，
，
又平面，
平面，
平面，
又平面，平面，，
平面平面，
又平面，
平面．
 

【解析】根据面面平行的判定定理和面面平行的性质证明即可．
本题考查线面平面的证明，考查面面平行的判定定理，属于基础题．
 

21.【答案】本题满分为分
解：，
由正弦定理可得：，可得：，
，
，
，
分
，，，
由余弦定理可得：，整理可得：，
解得：或舍去，
的面积分 

【解析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得，结合，可得，由于，可求的值．
由已知利用余弦定理可得：，解得的值，进而利用三角形的面积公式即可计算得解．
本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
 

22.【答案】证明：由已知为的中点，且，所以，
因为，所以，
又因为，所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为面，面，
所以平面．
在中，因为，分别为，的中点，所以，
因为面，面，所以面，
因为，所以平面平面．
解：由已知为中点，，
又因为，所以，
因为，，
所以三棱锥的体积． 

【解析】推导出，，从而四边形为平行四边形，，进而平面再推导出面，由此能证明平面平面．
由为中点，得，从而，由此能求出三棱锥的体积．
本题考查面面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．