【中职专用】高中数学 高教版2021·拓展模块一上册 2.2.3 向量的数乘运算（教案）-

这是一份【中职专用】高中数学 高教版2021·拓展模块一上册 2.2.3 向量的数乘运算（教案）-，共7页。教案主要包含了设计意图等内容，欢迎下载使用。


学习重难点
教材分析
向量数乘运算是继向量的加法、向量的减法运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，另外本节的向量共线定理是用法较多的一个定理.
学情分析
学生已经在前边学习了向量的加法、减法运算，对几何方法也有了一定的认识，但学生学习的自主性较差，学习有依赖性，且学习的信心不足，要鼓励学生积极参与研究，主动去发现问题与解决问题．
教学工具
教学课件
课时安排
1课时
教学过程
（一）创设情境，生成问题
情境与问题
．
在2004年奥运会上,刘翔以12.91s的成绩获得男子 110m跨栏比赛冠军,成为第一个获得径赛直道项目冠军的亚洲人.男子110m跨栏,从第1栏到第9栏,每相邻两栏之间间隔9.14m.记第1栏到第2栏的位移为s1,第1栏到第3栏的位移为s2,……,从第1栏到第9栏的位移为s8,如图所示.试问,位移s1,s2,…,s8,具有怎样的关系？
容易看出，位移s1、s2的方向相同，它们的模满足| s2|=2| s1|因此，位移s2是位移s1与位移s1的和，即s2= s1+ s1.沿用运算习惯，即为 s2=2 s1，类似地，可以得到，s3=3 s1，…，s8=8 s1.
【设计意图】借助实例说明向量数乘运算，渗透课程思政教育.
（二）调动思维，探究新知
一般地，实数λ与向量a的乘积仍是一个向量,记作λa. λa的模为|λa|= |λ||a|.
当λ>0时, λa的方向与a的方向相同；
当λ<0时, λa的方向与a的方向相反；
当λ=0时,因为 λa=0,所以其方向是任意的.
求一个数λ与向量a的乘法运算称为数与向量的乘法运算,简称数乘运算.
上述定义表明,当 λ>0时,向量λa可以看作由向量a伸长或缩短λ倍得到；当 λ<0时,向量 λa可以看作由向量−a 伸长或缩短|λ|倍得到. 这是向量数乘运算的几何意义．
容易验证,对于任意向量a、b及任意实数 λ、μ,向量的数乘运算满足以下法则:
(λμ) a=λ(μa)= μ (λa)
(λ+μ) a=λa +μa
λ(a+b)= λa+λb
可以看出,向量λa与向量a平行.反之,若有一个向量b与向量a(a≠0)平行,则向量b与a的关系如下：
b=0时，b=0a；
当b与a方向相同时，记λ=，则有b=λa;
当b与a方向相反时，记λ=-，则有b=λa.
因此当a≠0时，a∥b存在实数λ，使得b=λa.
【设计意图】求λ的过程中可以帮助学生理解向量平行的充要条件.
（三）巩固知识，典例练习
【典例1】计算：
（1）
（2）
（3）
解: （1）
（2）
（3）
【典例2】如图所示,O为▱ABCD两条对角线的交点, 试用向量a、b表示向量.
解: 根据向量的加法、减法法则,可得
由于O为▱ABCD两条对角线的交点，可知，
于是有
【设计意图】例1帮助学生体会数与向量的乘法运算和数与字母乘法运算的类似性，例2加深对向量运算法则及其几何意义的理解，也为线性表示做准备.
（四）巩固练习，提升素养
【巩固】在平行四边形ABCD中，O为两对角线交点如图，＝a ，＝b，试用a, b表示向量、
分析 因为,，所以需要首先分别求出向量与.
解 ＝a＋b,＝b −a，
因为O分别为AC，BD的中点，所以
（a＋b）＝a＋b，
＝＝（b −a）＝−a+b．
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
一般地，若向量c=λa+μb(λ、μ均为实数),则称向量c可以由向量a、b线性表示.
如例2中，向量可以由向量a, b线性表示为
（五）巩固练习，提升素养
1. 计算：
（1）
（2）
（3）
2．根据已知条件，试用向量a表示向量b.

如图所示，向量a、b不共线，画出有向线段，使
4. 如图所示，▱ABCD两条对角线的交点为M，＝a ，＝b，试用向量a、b分别表示向量
5．化简：
6．已知向量i、j分别为轴上的单位向量，试判断下列向量a、b是否共线
（六）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.自我反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？


（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？


（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？


【设计意图】培养学生反思学习过程的能力
（七）作业布置，继续探究
(1)读书部分： 教材章节2.2.3；
(2)书面作业： P32习题2.2的5，6，7.
（八）教学反思

知识
能力与素养
掌握数乘运算的定义，会用相应的运算法则，向量平行的充要条件.
体会数形结合、分类讨论等数学思想，进一步培养学生归纳、类比、迁移能力，增加学生的数学应用意识和创新意识．
重点
难点
向量数乘运算及其几何意义
向量平行的充要条件