【中职专用】（北师大版2021·基础模块上册）高中数学2.5.2不等式与复杂实际问题（练习）

2.5.2不等式与复杂实际问题

同步练习

1. 某工厂生产的产品每件单价是80元，直接生产成本是60元该工厂每月其他开支是50000元如果该工厂计划每月至少获得200000元的利润，假定生产的全部产品都能卖出，则每月的产量至少是多少？
   [解析] 设每月生产x件产品，则总收人为80x元，直接生产成本为60x元，每月利润为 80x-60x-50000 

=20x-50000（元）.
       依题意，x应满足不等式 20x-50000＞200000,

解得  x≥12500.

因此，该工厂每月至少要生产12500件产品．

2.某公司计划下一年度生产一种新型设备．下面是各部门提供的数据信息：

人事部：明年生产工人不多于80人，每人毎年2400工时计算；市场部：预测明年销售量至少为10000台；技术部：生产一台设备，平均要用12个工时，每台机器需要安装某种主要部件5个；供应部：今年年终这种主要部件的库存是2000件，明年能采购到这种主要部件80000件．

根据上述信息，明年公司的生产量可能是多少？
[解析]  设明年生产x台这种新型设备，则依题意得解得

这个不等式组的解是x≤16000．考虑到明年的销售量至少是10000台，我们可得到明年这个公司

的产量的取值范围是满足10000≤x≤16000的整数．

3.某地电信商运营商推出一种流量套餐：20元包国内流量200M，超出200M后，国内流量0,25元/M，1G内60元封顶.假设每月使用流量不超过1G.请写出每月费用y元与使用流量x（M）之间的函数关系.（1G=1024M）

[解析]由题意可知：当使用流量x不超过200M时，应付费用为20元；当使用流量x超过200M时，应付费用为20+0.25(x-200)元；当20+0.25(x-200)=60时，解得x=360M,故当使用流量x超过360M且不超过1G时应付费用60元.

所以每月费用y元与使用流量x（M）之间的函数关系：

.

4. 某部门每天房租、员工工资等固定成本为200元，每桶水进价为5元，销售单价x（元）与日销售量y1（桶）之间关系如下表。

（1）写出销售单价x（元）与日销售量y1（桶）之间关系式；

（2）销售单价x（元）与日销售利润y2（桶）之间关系件；

根据数据说明此部定价为多少时可获得最大销售利润，为多少？

[解析]（1）由表可知，随着每桶水进价提高1元，即提高（x-5）次，日销量减少40桶，日销售量首项为480，公差为-40的等差数列，则

y1=480+（x-5-1）×(-40)=-40x+720.（5≤x≤18，x∈N）；

（2）日销售利润=总利润-固定成本，即

y2=（x-5)(-40x+720）-200=-40x2+920x-3800；

（3）当时，可获得最大销售利润1490元；

∴当价格定在11.5元时，此部可获得最大利润1490元.

5. 某超市购进一批商品，其成本为每千克5元.根据市场调查，日销售量y（kg）与每千克销售单价x（元）之间函数关系为y=-100x+1500.

（1）设日销售利润为（不考虑其他因素）w元，请写出w与x之间的函数关系式，并定出售价范围，使其盈利；

（2）售价为多少时，求这种商品的利润最高？

[解析]（1）w与x之间的函数关系式： w  =（-100x+1500)(x-5)

=-100x2+2000x-7500；

因为w＞0，得出5＜x＜15；

所以当售价5＜x＜15时，商家实现盈利；

（2）由（1）得：w =-100x2+2000x-7500=-100(x-10)2+2500；

考察二次函数，∵a=-100＜0，∴当x=10时，w最大=2500元；

所以售价为10元时，这种商品的利润最高为2500元.

6. 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为30元/千克，物价部门规定其销售单价不得高于70元/千克，也不得低于30元/千克．市场调查发现：当单价为70元/千克时，每天销售60千克，单价每降低1元，每天多售出2千克．在销售过程中，每天还要支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计算）．设销售单价为 x 元，每天获利为 y 元．

(1）写出 y 与 x 的函数关系式，并求出销售单价为多少时，一天的获利最大？

(2）若将这种化工原料全部售出，比较按每天获利最多方式销售和按销售单价最高方式销售这两种情况，哪一种总的获利较多，多多少？

[解析]（1）y=[60+(70-x)×2](x-30)-500=-2x2+260x-6500

=-2(x-65)2+1950.（30≤x≤70）；

∴当单价为65元时，日获得利润最大；

（2）当日获利最大时：单价为65元，日均销售为60+（70-65）×2 = 70 kg；将这种原料全部售出需

7000  ÷70=100天，总获利为1950×100=195000元；单价为70元，日均销售为60 kg；将这种原料全部售出需7000÷60≈117天，总获利为（70-65）×7000-117×500=221500元；

∴当售价最高时，获利最多，多26500元.

7.一场足球比赛中，某球员在球门正前方15m处挑射，球的飞行方向正对球门，假设球的飞行轨迹为抛物线，即球飞行高度y（m）与飞行距离x(m)之间满足二次函数关系，且已知当x=5时，y=6；x=7时，y=7.

（1）求此函数的解析式；

（2）已知球门横梁高2.5m，若球在飞行过程中无人阻挡，则此次射门能否进球？

（3）当球的飞行距离x∈[6,11]时，求球的高度最大值.

[解析]（1） 设二次函数方程为y=ax2+bx+c，由题意可知，此函数过原点（0,0），

又∵x=5时，y=6；x=7时，y=7；

∴代入可得到解得

∴y关于x的函数解析式.

（2）由题意知，当x=15时，＞2.5；

∴此次射门不能形成进球；

（3）由（1）得，

∵对称轴x=8.5∈[6,11]；

∴当x=8.5时，y=7.225为最大值；

当球的飞行距离x∈[6,11]时，求球的高度最大值为7.225m.

8. 某学院营销专业的创业小组学生购进一批服装，每件进价是60元，在销售过程中他们发现，当每件的售价为75元时，日销售量为85件，当每件的售价为90元时，日销售量为70件，假设日销售量 P（件）与每件售价 x（元/件）之间的函数关系为 P = kx + b .（每件售价不低于进价，且货源充足）

（1）求 P 与 x 之间的函数关系式；

（2）设每天的利润为 y（元），若不考虑其他费用，则每件售价为多少时，每天的利润最大？最大利润是多少？

[解析]（1）由题意可知解得k=-1，b=160，

∴P=-x+160（60≤x≤160）.

（2） ∵y=P（x-60）=-(x-110)2+2500，此函数为开口向下的抛物线，

∴当x=110时，y取得最大值2500；

∴每件售价为110元时，每天的利润最大为2500元，

9.某玩具厂生产一种玩具，每日最高产量为40只，且全部售出，若产量x只的成本R（元）是x的一次函数.生产10只成本为800元，生产15只成本为950元；玩具单价为P元，且P=-2x+170.

（1）将R的函数式；

（2）每日产量为多少时，其日利润为1750元；

（3）每日产量为多少时，获日利润为最大，为多少.

[解析]（1）R= 30x+500（1＜x≤40）.

（2）利润y=Px-R=（-2x+170）x-（30x+500）；

令y=1750，解得x=25，x=45（舍去）；

（3）y=Px-R=-2（x-35)2+1950；

考察二次函数，∵a=-2＜0，∴当x=35时，y最大=1950元；

∴每日产量为35时，获日利润为最大，为1950元.

10.某一车辆制造厂引进了一条新能源电动车整车装配流水线，这条流水线生产的车辆数x（单位：辆）与创收的价值y（单位：元）之间有如下的关系：y= -20x2+2200x.若厂家计划毎周利用该流水线创收不低于60000元，则每周可能生产多少辆电动车？
[解析]  由题意知毎周利用该流水线创收不低于60000元可得 -20x2+2200x≥60000，

整理得       -x2+110x-3000≥0，即x2-110x+3000≤0，

不等式可化为 (x-50)(x-60)≤0，

解得 50≤x≤60.

由于50≤x≤60，故每周可能生电动车取大于等于50且小于等于60的整数时，毎周利用该流水线创收不低于60000元.

11.有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是        ．

[解析].设桶的容积为升，那么第一次倒出8升纯农药液后，桶内还有升纯农药液，用水补满后，桶内纯农药液的浓度．

第二次又倒出4升药液，则倒出的纯农药液为升，此时桶内有纯农药液升．

依题意，得≤，

由于，因而原不等式化简为，即. 解得，

又，∴；故答案为：.

12.如图,某公路隧道横截面为二次函数的图象,其最大高度为6米,底部宽度OM为12米,现以O点为原点,OM所在的直线为x轴建立直角坐标系.

(1)    求此二次函数的解析式;

(2)    若要搭建一个矩形“支撑架”AD - DC - CB,使C,D两点在二次函数图象上,A,B两点在地面OM上,则这个“支撑架”总长的最大值是多少?                                           

[解析]（1）由题意知，二次函数的解析式设为y=a(x-6)2+6；

          ∵抛物线y=a(x-6)2+6过点（0,0），

∴代入得0=a(0-6)2+6，解得；

∴二次函数的解析式为y=(x-6)2+6=-x2+2x；

（2） 设点A（m，0），则点B坐标（12-m，0），

∴点C坐标（12-m，-m2+2m）,点D坐标（m，-m2+2m）；

则支撑架总长为AD+DC+CB=(-m2+2m)+(12-m)+(-m2+2m)=-m2+2m+12=-(m-3)2+15；

∵二次函数图象的开口向下，

∴当m=3m时，这个“支撑架”总长取得的最大值是15m.

13.两边靠墙的角落有一个区域,边界线正好是椭圆轨迹的部分,如图所示.现要设计一个长方形花坛,要求其不靠墙的顶点正好落在椭圆的轨迹上，椭圆方程为.

（1）求长方形面积S与边长x的函数关系式；

（2）求当边长x为多少时,面积S有最大值,并求其最大值.

[解析]（1）设长方形的长为x，则宽为，

∴长方形面积S与边长x的函数关系式；

（3）；

∴当x2=2时，即x=，面积S有最大值1.

14.某电器公司为促进一种新型加湿器的销售，推出了新的团购销售方案，方案如下：每次团购活动中，人数不超过30人时，每台加湿器售价600元；团购人数超30人时，每超过1人，每台加湿器的售价降低10元(即团购人数31人时，每台售价590元；团购人数32人时，每台售价580元，以此类推)，每次团购人数不超过 70 人．

（1）写出每次团购人数x(人)与加湿器销售单价y(元)之间的函数关系式；

（2）求该电器公司在一次团购活动中，团购人数为多少时，销售收入最大，并求出最大值．

[解析]（1）团购人数x(人)与加湿器销售单价y(元)之间的函数关系式为：

即

（2）设团购人数为x人时，销售收入为y元，则

①当x≤30 时，ymax=600×30=18000(元)；

②当 30＜x≤70 时，y=-10x2＋900x=-10(x-45)2＋20250,

当x=45 时，ymax=20250,

综上所述，当x=45 时，ymax＝20250，即团购人数为45 人时，销售收入最大，最大为20250元．