【中职专用】高中数学 人教版2021·基础模块上册 3.1.3函数的单调性（教案）

3.1.3  函数的单调性

课  型

新授课

课  时

1

授课班级

授课时间

授课教师

教材分析

教材来源：“十四五”职业教育国家规划教材，人民教育出版社出版，高中一年级基础模块上册第三章；

教材内容：包括函数、一次函数和二次函数、函数的应用；

地位与作用：本节内容为高中一年级基础模块上册第三章开端，系学生高中数学的重点内容，高考中的必然考查部分，难度适中，主要是在集合及初中变量与函数知识的基础上，以一次函数和二次函数为例，学习函数的概念和研究函数的方法.用集合的观点重新审视函数概念、下定义并研究其性质.培养学生通过结合函数图像的作用研究函数，养成“遇数思形，以形助数”思考习惯，并运用函数知识解决现实生活中遇到的问题.

学情分析

1. 14~16岁年龄段学生身心都有较大程度发展，情感更加丰富，认知发展变化迅速，逻辑思维、记忆能力逐步提高；
2. 通过函数单调性学习，理解增函数与减函数的概念、单调性、函数的单调区间，提高运用函数的解析式判断函数单调性的能力；
3. 职教高考学生在初中学业水平偏弱，因此在本节课教学中需通过复习初中所学函数随自变量增大而变化的趋势来渗透增函数、减函数、函数的单调区间，形成“偶数思形，以形助数”思考习惯，掌握应用函数的解析式判断函数单调性的能力.

学习目标

1. 理解函数单调性的概念，掌握增函数与减函数的图像特征，掌握函数单调性的判断方法；
2. 学生运用分组探讨、合作学习，理解增函数、减函数、函数的单调区间，形成“偶数思形，以形助数”思考习惯，掌握应用函数的解析式判断函数单调性的能力；
3. 通过本节课学习，使学生养成乐于学习、勇于探索的良好品质。

学习重难点

1. 理解函数的单调性的概念
2. 掌握增函数、减函数的图像特征
3. 掌握函数单调性的判断方法

教学方法

讲授法、谈话法、谈论法

课前准备

教师：认真备课，设计教学方法，创设问题情境，做好授课过程中出现的突发状况预案；

学生：认真预习教材，标记预习中不清楚、模糊的知识点，准备笔记本；

教学媒体

教学课件PPT、多媒体展板

教学过程

第一课时

教学环节

教师活动设计

学生活动设计

设计意图

活动一：

创设情境

生成问题

问题导入：我们知道，“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课題。德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似图3-7所示的记忆规律．

如果我们以x表示时间间隔（单位：h),y表示记忆保持量，则不难看出，图3-7中，y是的函数，记这个函数为y =f(x).
    这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？

根据问题思考，

并尝试利用所学知识解答。

通过创设问题情境，使学生回忆上节课知识，并引出本节课所讲内容。

活动二：

调动思维

探究新知

上述问题情境中的函数f(x）反映出记忆的如下规律：随着时间间隔x的增大，记忆保持量y将减小.

给定一个函数，人们有时候关心的是，函数值会随着自变量増大而怎样变化，类似的内容我们在初中曾经接触过.

如果在给定的区间上自变量增大（减小）时，函数值也随着增大（减小），这时称函数在这个区间上是增函数（图3-8(1)).

如果在给定的区间上自变量增大（减小）时，函数值反而随着减小（增大），这时称函数在这个区间函数是减函数（图3-8(2)).

如果能够画出一个函数的图象，那么我们很容易判断这个函数在某个区间上的增减性，下面我们来讨论，如何由一个函数的解析式来判断这个函数是増函数还是减函数．
    已知函数y=f(x)，在给定的区间上，它的图象如图3-8所示，在此图象上任意选取两点A(x1,y1),B(x2,y2),记△x=x2-x1,△y=f(x2)-f(x1)=y2-y1.

△x表示自变量x的增量，△y表示因变量y的增量．
    这时，对于属于这个区间上的任意两个不相等的值x1,x2,:

这个数是增函数的充要条件是＞0；

这个数是增函数的充要条件是＜0.

如果一个函数y=f(x）在某个区间上是增函数或者是减函数，就说这个函数在这个区间上具有（严格的）单调性.这个区间就称为这个函数的单调区间．函数的单调区间，一般是指保持函数单调性的最大区间．
    由此我们得到，由一个函数的解析式判断一个函数是增函数还是减函数的步骤：        

S1取△x，计算△y；

S2计算，

当k＞0时，函数y=f(x)在这个区间上是增函数（图3-8(1))；

当k＜0时，函数y=f(x)在这个区间上是减函数（图3-8(2)).

分组讨论，尝试分析情境中函数f(x）反映的问题，概括理解增函数、减函数、函数单调区间的概念，探索判断函数单调性的方法

想一想：到回忆正比例函数的图像，y=3x是增函数还是减函数？

尝试归纳总结判断一给定函数单调性的方法与步骤

通过分组讨论方法，让学生自行理解增函数、减函数、函数单调区间的概念，探索判断函数单调性的方法，将实际问题数学化，提高学生学习自主性，使学习效率更高效

活动三：

巩固练习

素质提升

例 1.给出函数y=f(x)在［-1,4]上的图象，如图3-9所示．根据图象说出这个函数在哪些区间上是增函数？哪些区间上是减函数？
解  在区间［-1,0］和［2,3]上是减函数，在区间［0,1］和［3,4]上是增函数．

例2 证明函数f(x)=3x+2在（-,+）上是增函数.

证明  设x1,x2,是任意两个不相等的实数，则

△x =x2-x1,

△y =f(x2)-f(x1)=(3x1+2)-(3x2+2)

=3(x2-x1).

因此，函数f(x)=3x+2在（-,+）上是增函数.

例3  证明函数在区间（0,+）上是减函数.

证明  设x1,x2,是区间（0,+）上的任意两个不相等的实数，则

△x =x2-x1,

△y =f(x2)-f(x1)

=

因此，函数在区间（0,+）上是减函数.

分组讨论，限时完成，学生上台黑板作答，并进行讲解

学习课后内容，常识通过信息技术手段，利用计算机软件迅速作出例题中函数的图像，并与自己作出的函数图像比较

鼓励学生勇于展示自己，提高学生对知识的准确认识，调动学生的课堂气氛与学习的积极性，培养学生对数学的热爱，巩固学生对本节课知识的掌握，纠正学习过程中的偏差

引导学生通过“拓展延伸”了解物理中的变化率，拓展学生函数单调范围性应用

活动四：

课堂小结作业布置

（一）课堂小结

（二）作业布置

完成课本中P78  ——  A组1. /2.

B组1.              

活动五：

板书设计

3.1.3 函数的单调性

一、增函数                                     例题                 小结  

二、减函数                                     练习                 作业

三、函数的单调性和单调区间

活动六：

教学反思

（留白）

教学反思包括5个方面，教学目标、教学内容、教学实施、教学评价、教学效果。所谓教学反思，是指教师对教育教学实践的再认识、再思考，并以此来总结经验教训，进一步提高教育教学水平。教学反思一直以来是教师提高个人业务水平的一种有效手段，教育上有成就的大家一直非常重视之。