江苏省盐城市大丰区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-

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江苏省盐城市大丰区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）
1．（2022秋•大丰区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点横坐标、纵坐标的对应值如表：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
﹣3
﹣4
﹣3
0
5
…
（1）画出函数图象，并求出二次函数的解析式；
（2）当x　 　时，y随x的增大而减小；
（3）当﹣1≤x≤4时，y的取值范围为 　 　．

二．抛物线与x轴的交点（共1小题）
2．（2021秋•大丰区期末）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）将y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式：　 　；
（2）这个二次函数图象与x轴交点坐标为 　 　；
（3）这个二次函数图象的最低点的坐标为 　 　；
（4）当y＜0时，x的取值范围是 　 　．
三．二次函数的应用（共2小题）
3．（2020秋•盐城期末）在2020年新冠肺炎抗疫期间，萌萌决定在淘宝上销售一批口罩，经市场调查，某类型口罩进价每袋为20元，当售价每袋为30元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少5袋；
（1）直接写出萌萌销售该类型口罩销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的函数关系式；每天所得销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）若每天销售量不少于100袋，且每袋口罩的销售利润至少为17元，则销售单价为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？
4．（2021秋•大丰区期末）某水果超市经销一种高档水果，进货价每千克40元．
（1）若按售价为每千克50元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，超市决定采取适当的涨价措施，但超市规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该超市希望每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？
（2）在（1）的基础上，利用函数关系式求出每千克水果涨价多少元时，超市每天可获得最大利润？最大利润是多少？
四．二次函数综合题（共2小题）
5．（2021秋•大丰区期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣6x+6与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．
（1）抛物线解析式为 　 　；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，MN⊥x轴交BC于点N，当点M运动到某一位置时，线段MN的长度最大，求此时点M的坐标及线段MN的长度；
（3）如图2，以B为圆心、2为半径的⊙B与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若点P是⊙B上一动点，连接PA，以PA为腰作等腰Rt△PAD，使∠PAD＝90°（P、A、D三点为逆时针顺序），连接FD．
①将线段AB绕点A顺时针旋转90°，请直接写出B点的对应点B′的坐标；
②求FD长度的取值范围．

6．（2022秋•大丰区期末）【概念学习】在平面直角坐标系xOy中，对于已知的点M（x1，y1）和图形F，给出如下定义：如果图形F上存在一点N（x2，y2），使得当x1＝x2时，MN≤2，则称点M为图形F的一个“垂近点”．

（1）【初步理解】若图形F为线段AB，A（﹣3，2），B（3，2），在点M1（﹣3，﹣1）、M2（﹣1，3.5）、M3（1，0）、M4（4，3.5）中，是线段AB的“垂近点”的为 　 　；
（2）【知识应用】若图形F为以坐标原点O为圆心，2为半径的圆，直线y＝x+2b与x轴交于点C、与y轴交于点D，如果线段CD上的点都是⊙O的“垂近点”，求b的取值范围；
（3）若图形F为抛物线y＝﹣4，以点P（a，0）为中心，半径为的四边形ABCD，AB∥CD∥x轴，AD∥BC∥y轴，如果正四边形ABCD上存在“垂近点”，直接写出a的取值范围．

五．三角形综合题（共1小题）
7．（2022秋•大丰区期末）抛物线y＝﹣x2+2x+8与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点M是抛物线在x轴上方部分一动点，过点M作直线MH⊥y轴于H．

（1）如图1，当HM＝2时，求△ABM的面积；
（2）如图2，若△MCO是以CO为底的等腰三角形，求点M的坐标．

六．直线与圆的位置关系（共1小题）
8．（2022秋•大丰区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，DA平分∠BDE，且AE⊥CD的延长线于点E．
（1）判断直线AE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AE＝3，CD＝8，求⊙O的半径和AD的长．

七．切线的判定与性质（共1小题）
9．（2021秋•大丰区期末）如图，AB、AC分别是半⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作半⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC并延长与AB的延长线交于点F．
（1）求证：PC是半⊙O的切线；
（2）若∠CAB＝30°，AB＝6，求由劣弧AC、线段AC所围成图形的面积S．

八．圆的综合题（共3小题）
10．（2020秋•盐城期末）如图，已知点B的坐标为（7，10），点A的坐标为（7，6），点P为⊙A上一动点，PB的延长线交⊙A于点N，直线CD⊥AP于点C，交PN于点D，交⊙A于E，F两点，且PC：CA＝1：4．
（1）当点P运动使得点E为劣弧的中点时，求证：DF＝DN；
（2）在（1）的条件下，直接写出CP：DP的值为　 　．
（3）设⊙A的半径为5，当△APD的面积取得最大值时，求点P的坐标．

11．（2021秋•大丰区期末）【概念提出】圆心到弦的距离叫做该弦的弦心距．
【数学理解】
如图①，在⊙O中，AB是弦，OP⊥AB，垂足为P，则OP的长是弦AB的弦心距．
（1）若⊙O的半径为5，OP的长为3，则AB的长为 　 　．
（2）若⊙O的半径确定，下列关于AB的长随着OP的长的变化而变化的结论：
①AB的长随着OP的长的增大而增大；②AB的长随着OP的长的增大而减小；③AB的长与OP的长无关．
其中所有正确结论的序号是 　 　．
【问题解决】
（3）若弦心距等于该弦长的一半，则这条弦所对的圆心角的度数为 　 　°．
（4）已知如图②给定的线段EF和⊙O，点Q是⊙O内一定点．过点Q作弦AB，满足AB＝EF，请问这样的弦可以作 　 　条．

12．（2021秋•大丰区期末）如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，BD分别交y轴和⊙P于E、F两点，连接AC、FC，AC与BD相交于点G．
（1）求证：∠ACF＝∠ADB；
（2）求证：CF＝DF；
（3）∠DBC＝　 　°；
（4）若OB＝3，OA＝6，则△GDC的面积为 　 　．

九．作图—应用与设计作图（共1小题）
13．（2022秋•大丰区期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C都在格点上．
（1）用无刻度的直尺作出△ABC外接圆的圆心O；
（2）用无刻度的直尺作▱ACDO，并证明CD为⊙O的切线．

一十．相似三角形的判定与性质（共1小题）
14．（2020秋•盐城期末）如图，已知△ABC，AB＝3，BC＝8，且∠ABC＝2∠C，为了求边AC的长，小慧想出了一个办法，将边BC反向延长至点D，使DB＝AB，连接AD；
（1）求证：△DBA∽△DAC；
（2）求边AC的长．

一十一．相似三角形的应用（共1小题）
15．（2020秋•盐城期末）如图，小明想测量河对岸建筑物AB的高度，在地面上C处放置了一块平面镜，然后从C点向后退了2.4米至D处，小明的眼睛E恰好看到了镜中建筑物A的像，在D处做好标记，将平面镜移至D处，小明再次从D点后退2.52米至F处，眼睛G恰好又看到了建筑物顶端A的像，已知小明眼睛距地面的高度ED，GF均为1.6米，求建筑物AB的高度．（注：图中的左侧α，β为入射角，右侧的α，β为反射角）

一十二．相似形综合题（共1小题）
16．（2020秋•盐城期末）阅读理解：
【问题引入】如图1，已知在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ABC＝∠DEF＝90°，S△ABC＝BC•AB，S△DEF＝EF•DE，故有，小敏提出疑问：若将条件∠ABC＝∠DEF＝90°，改为∠ABC+∠DEF＝180°，两三角形变为非直角三角形，如图2，则还成立吗？
【深入探究】于是，小敏过点A作BC边上的高AM，过点D作EF边上的高DN，试在此提示下，将小敏提出的问题的探究过程写出来．
【初步应用】将图1中的B、E两直角顶点重合，连接AD、CF，如图3，若AB：BC＝：1，DB：BF＝2：3，求的值．
【迁移拓展】将图2中的B、E两顶点重合，如图4，仍有∠ABC+∠DBF＝180°，在AC上取一点P，使∠ABP＝∠D，在DF上取一点Q，使∠DBQ＝∠A，易见△ABP∽△BDQ．
（1）求证：△CPB∽△BQF；
（2）若AB：BD＝3：2，BC：BF＝5：4，求的值．

一十三．众数（共1小题）
17．（2022秋•大丰区期末）八年级甲班和乙班各推选10名同学进行投篮比赛，按照比赛规则，每人各投了10个球；将两班选手的进球数绘制成如下尚不完整的统计图表：
进球数/个
10
9
8
7
4
3
乙班人数/个
1
1
2
4
1
1


平均成绩
中位数
众数
甲班
7
7
c
乙班
a
b
7

（1）表格中b＝　 　，c＝　 　并求a的值；
（2）如果要从这两个班中选出一个班代表年级参加学校的投篮比赛，争取夺得总进球数团体第一名，你认为应该选择哪个班？如果要争取个人进球数进入学校前三名，你认为应该选择哪个，请说明理由．
一十四．方差（共2小题）
18．（2020秋•盐城期末）聪聪利用暑假到工厂进行社会实践活动，他在跟张师傅学加工某种机器零件，共加工9天，每天加工的机器零件个数如下：1，2，3，4，5，6，7，8，9．
（1）求聪聪这9天加工零件数的平均数；
（2）聪聪问张师傅加工的零件数，张师傅说：我每天加工的零件数是两位数，并且每天加工零件数的个位上数字都与你相同，这9天加工零件数的平均数比你多30但方差和你一样，听完张师傅的话，聪聪笑着说，师傅我知道了，根据上面的信息，请你直接写出张师傅每天加工的零件数．
19．（2021秋•大丰区期末）某学校从九年级同学中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试，每组20人，根据测试成绩绘制出统计表和如图所示的统计图（成绩均为整数，满分为10分）
甲组成绩统计表：
成绩
7
8
9
10
人数
1
9
5
5
根据上面的信息，解答下列问题：
（1）甲组的平均成绩为 　 　分，甲组成绩的中位数是 　 　，
乙组成绩统计图中m＝　 　，乙组成绩的众数是 　 　；
（2）根据图表信息，请你判断哪个小组的成绩更加稳定？只需要直接写出结论．

一十五．列表法与树状图法（共2小题）
20．（2020秋•盐城期末）把2颗相同小球放入一个2×2的正方形格子中，每个正方形格子只能放一颗小球，
（1）分析可能出现的所有摆放结果；
（2）求2颗小球既不同行也不同列的概率．

21．（2021秋•大丰区期末）九年级某班要召开一次“走近抗疫英雄，讲好中国故事”主题班会活动，李老师制作了编号为A、B、C、D的4张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）小明随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为B的概率为 　 　；
（2）小明从4张卡片中随机抽取1张（不放回），小丽再从余下的3张卡片中随机抽取1张，然后根据抽取的卡片讲述相关英雄的故事，求小明、小丽两人中恰好有一人讲述钟南山抗疫故事的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．


江苏省盐城市大丰区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）
1．（2022秋•大丰区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点横坐标、纵坐标的对应值如表：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
﹣3
﹣4
﹣3
0
5
…
（1）画出函数图象，并求出二次函数的解析式；
（2）当x　＜1　时，y随x的增大而减小；
（3）当﹣1≤x≤4时，y的取值范围为 　﹣4≤y≤5　．

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；
（2）＜1；
（3）﹣4≤y≤5．
【解答】解：（1）描点、连线，画出图形如图所示．
设二次函数的表达式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
∵二次函数经过点（3，0），
∴4a﹣4＝0，
∴a＝1，
∴二次函数的表达式为y＝（x﹣1）2﹣4，即y＝x2﹣2x﹣3；
（2）观察函数图象可知：当x＜1时，y随x的增大而减小；
故答案为：＜1；
（3）当﹣1≤x≤4时，y的取值范围为﹣4≤y≤5．
故答案为：﹣4≤y≤5．

二．抛物线与x轴的交点（共1小题）
2．（2021秋•大丰区期末）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）将y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式：　y＝（x﹣2）2﹣1　；
（2）这个二次函数图象与x轴交点坐标为 　（1，0），（3，0）　；
（3）这个二次函数图象的最低点的坐标为 　（2，﹣1）　；
（4）当y＜0时，x的取值范围是 　1＜x＜3　．
【答案】（1）y＝（x﹣2）2﹣1．
（2）（1，0），（3，0）．
（3）（2，﹣1）．
（4）1＜x＜3．
【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
故答案为：y＝（x﹣2）2﹣1．
（2）把y＝0代入y＝x2﹣4x+3得0＝x2﹣4x+3，
解得x＝1或x＝3，
∴抛物线与x轴交点坐标为（1，0），（3，0），
故答案为：（1，0），（3，0）．
（3）∵y＝（x﹣2）2﹣1．
∴抛物线顶点坐标为（2，﹣1）．
故答案为：（2，﹣1）．
（4）∵抛物线开口向上，抛物线与x轴交点坐标为（1，0），（3，0），
∴当1＜x＜3时，y＜0，
故答案为：1＜x＜3．
三．二次函数的应用（共2小题）
3．（2020秋•盐城期末）在2020年新冠肺炎抗疫期间，萌萌决定在淘宝上销售一批口罩，经市场调查，某类型口罩进价每袋为20元，当售价每袋为30元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少5袋；
（1）直接写出萌萌销售该类型口罩销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的函数关系式；每天所得销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）若每天销售量不少于100袋，且每袋口罩的销售利润至少为17元，则销售单价为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）y＝﹣5x+400，w＝﹣5x2+500x﹣8000；
（2）销售单价为50元时，利润最大，最大利润是4500元．
【解答】解：（1）根据题意得：
y＝250﹣5（x﹣30）
＝250﹣5x+150
＝﹣5x+400，
∴w＝（x﹣20）（﹣5x+400）
＝﹣5x2+500x﹣8000，
∴所求的函数关系式为y＝﹣5x+400，w＝﹣5x2+500x﹣8000；
（2）根据题意得：，
解得：37≤x≤60．
∵函数w＝﹣5x2+500x﹣8000的对称轴为x＝﹣＝50，
∴当x＝50时，w最大值＝4500．
∴销售单价为50元时，利润最大，最大利润是4500元．
4．（2021秋•大丰区期末）某水果超市经销一种高档水果，进货价每千克40元．
（1）若按售价为每千克50元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，超市决定采取适当的涨价措施，但超市规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该超市希望每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？
（2）在（1）的基础上，利用函数关系式求出每千克水果涨价多少元时，超市每天可获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）该超市希望每天盈利6000元，每千克应涨价5元；
（2）当每千克水果涨价7.5元时，超市每天可获得最大利润，最大利润是6125元．
【解答】解：（1）设每千克应涨价x元，
由题意得：（50﹣40+x）（500﹣20x）＝6000，
解得x1＝5，x2＝10，
∵超市规定每千克涨价不能超过8元，
∴x＝5，
答：该超市希望每天盈利6000元，每千克应涨价5元；
（2）设超市每天可获得利润为w元，
由题意可得：w＝（50﹣40+x）（500﹣20x）＝﹣20（x﹣）2+6125，
∵﹣20＜0，
∴当x＝＝7.5时，w有最大值，最大值为6125，
答：当每千克水果涨价7.5元时，超市每天可获得最大利润，最大利润是6125元．
四．二次函数综合题（共2小题）
5．（2021秋•大丰区期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣6x+6与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．
（1）抛物线解析式为 　y＝x2﹣7x+6　；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，MN⊥x轴交BC于点N，当点M运动到某一位置时，线段MN的长度最大，求此时点M的坐标及线段MN的长度；
（3）如图2，以B为圆心、2为半径的⊙B与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若点P是⊙B上一动点，连接PA，以PA为腰作等腰Rt△PAD，使∠PAD＝90°（P、A、D三点为逆时针顺序），连接FD．
①将线段AB绕点A顺时针旋转90°，请直接写出B点的对应点B′的坐标；
②求FD长度的取值范围．

【答案】（1）y＝x2﹣7x+6；
（2）当M运动到（3，﹣6）时，线段MN的长度最大为9；
（3）①B'（1，﹣5）；②﹣2≤DF≤+2．
【解答】解：（1）解：（1）直线AC：y＝﹣6x+6，
x＝0时，y＝6，
∴C（0，6），
y＝﹣5x+5＝0时，解得：x＝1，
∴A（1，0），
∵抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣7x+6，
故答案为：y＝x2﹣7x+6；

（2）当y＝x2﹣7x+6＝0时，
解得：x1＝1，x2＝6，
∴B（6，0），
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+6，
设M（m，m2﹣7m+6），则N为（m，﹣m+6），
∴MN＝﹣m+6﹣（m2﹣7m+6）＝﹣m2+6m＝﹣（m﹣3）2+9，
∴当M运动到（3，﹣6）时，线段MN的长度最大为9；

（3）①∵A（1，0），B（6，0），
∴AB＝6﹣1＝5，
将点B绕A点顺时针旋转90°到B'，连接AB'，PB，B'D，
∵∠B'AD+∠BAD＝90°，∠PAB+∠BAD＝90°，
∴∠B'AD＝∠PAB，
∵AB＝AB'，PA＝AD，
∴△ADB'≌△APB'（SAS），
∴BP＝B'D，
∵PB＝2，
∴B'D＝2，
∴D在以B'为圆心，2为半径的圆上运动，
∵B（6，0），A（1，0），
∴B'（1，﹣5）；
②∵BF＝2，
∴F（8，0），
∴B'F＝，
∴DF的最大值为+2，DF的最小值为﹣2，
∴﹣2≤DF≤+2．

6．（2022秋•大丰区期末）【概念学习】在平面直角坐标系xOy中，对于已知的点M（x1，y1）和图形F，给出如下定义：如果图形F上存在一点N（x2，y2），使得当x1＝x2时，MN≤2，则称点M为图形F的一个“垂近点”．

（1）【初步理解】若图形F为线段AB，A（﹣3，2），B（3，2），在点M1（﹣3，﹣1）、M2（﹣1，3.5）、M3（1，0）、M4（4，3.5）中，是线段AB的“垂近点”的为 　M2，M3　；
（2）【知识应用】若图形F为以坐标原点O为圆心，2为半径的圆，直线y＝x+2b与x轴交于点C、与y轴交于点D，如果线段CD上的点都是⊙O的“垂近点”，求b的取值范围；
（3）若图形F为抛物线y＝﹣4，以点P（a，0）为中心，半径为的四边形ABCD，AB∥CD∥x轴，AD∥BC∥y轴，如果正四边形ABCD上存在“垂近点”，直接写出a的取值范围．

【答案】（1）M2，M3；
（2）﹣1≤b≤1；
（3）或时，正方形上存在抛物线的“垂近点”．
【解答】解：（1）当x＝﹣3时，|2﹣（﹣1）|＝3＞2，M1（﹣3，﹣1）不是线段AB的“垂近点”，
当x＝﹣1时，|2﹣3.5|＝1.5＜2，M2（﹣1，3.5）是线段AB的“垂近点”，
当时，|2﹣0|＝2，M3（1，0）是线段AB的“垂近点”，
∵﹣3≤x≤3，
∴MM4（4，3.5）不是线段AB的“垂近点”，
故答案为：M2，M3；
（2）∵线段CD上任意一点都是EO的“垂近点”，
∴线段CD在是圆O的弦，
∵圆O的半径是2，
∴﹣2≤2b≤2；
∴﹣1≤b≤1；
（3）∵点P（a，0）是正方形的中心，可得正方形的边长为2，
∴A（a﹣1，﹣1），B（a+1，﹣1），C（a+1，1），D（a﹣1，1），
设正方形上点M是抛物线y＝﹣4的“垂近点”，抛物线上存在点N（xN，yN），使得当xM＝xN时，MN≤2，
当P点在y轴右侧时，a＞0，
如图1，当M点与D点重合时，，

∴，
解得或（舍），
如图2，当M点与B点重合时，，

∴，解得a＝1或a＝﹣3（舍），
∴时，正方形上存在抛物线的“垂近点”；
当P点在y轴的左侧时，a＜0，
如图3，当M点与C点重合时，，

∴，
解得或（舍），
如图4，当M点与A点重合时，，

∴，解得a＝﹣1或a＝3（舍），
∴时，正方形上存在抛物线的“垂近点”；
综上所述：或时，正方形上存在抛物线的“垂近点”．
五．三角形综合题（共1小题）
7．（2022秋•大丰区期末）抛物线y＝﹣x2+2x+8与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点M是抛物线在x轴上方部分一动点，过点M作直线MH⊥y轴于H．

（1）如图1，当HM＝2时，求△ABM的面积；
（2）如图2，若△MCO是以CO为底的等腰三角形，求点M的坐标．

【答案】（1）△ABM的面积为24；
（2）点M的坐标是（1+，4）或（1﹣，4）．
【解答】解：（1）当y＝0时，0＝﹣x2+2x+8，
解得x1＝4，x2＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（4，0），
∴AB＝6，
∵HM＝2，即M的横坐标为2，
∴y＝﹣4+4+8＝8，
∴M（2，8），
∴△ABM中，AB边上的高为8，
∴S△ABM＝AB×8＝×6×8＝24，
∴△ABM的面积为24；
（2）在y＝﹣x2+2x+8中，当x＝0时，y＝8，
∴C（0，8），
∴CO＝8，
∵△MCO是以CO为底的等腰三角形，
∴MC＝MO，
∵HM⊥CO，
∴CH＝HO＝4，
在y＝﹣x2+2x+8中，当y＝4时，﹣x2+2x+8＝4，
解得x＝1+或x＝1﹣，
∴点M的坐标是（1+，4）或（1﹣，4）．
六．直线与圆的位置关系（共1小题）
8．（2022秋•大丰区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，DA平分∠BDE，且AE⊥CD的延长线于点E．
（1）判断直线AE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AE＝3，CD＝8，求⊙O的半径和AD的长．

【答案】（1）直线AE与⊙O相切，理由见解析；（2）．
【解答】解（1）直线AE与⊙O相切，理由如下：
连接OA，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵DA平分∠EDB，
∴∠ADE＝∠ADO，
∴∠ADE＝∠OAD，
∴AO∥EC，
∵AE⊥EC，
∴AE⊥OA，
∵OA是⊙O的半径，
∴AE是⊙O的切线．
（2）解：作OH⊥CD于H，
∴DH＝DC＝×8＝4，
∵OA∥EH，∠AEH＝∠OHE＝90°，
∴四边形AEHO是矩形，
∴OH＝AE＝3，EH＝OA，
∴OD＝＝＝5，
∴⊙O的半径长是5，
∴DE＝EH﹣DH＝OA﹣DH＝5﹣4＝1，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∴∠AED＝∠BAD，
∵∠ADE＝∠ADB，
∴△AED∽△BAD，
∴AD：BD＝ED：AD，
∴AD：10＝1：AD，
∴AD＝，
∴AD的长是．


七．切线的判定与性质（共1小题）
9．（2021秋•大丰区期末）如图，AB、AC分别是半⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作半⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC并延长与AB的延长线交于点F．
（1）求证：PC是半⊙O的切线；
（2）若∠CAB＝30°，AB＝6，求由劣弧AC、线段AC所围成图形的面积S．

【答案】（1）证明过程见解答；
（2）．
【解答】（1）证明：连接OC，

∵PA是半⊙O的切线，A为切点，
∴∠OAP＝90°，
∵OD⊥AC，OD经过圆心O，
∴CD＝AD，
∴OP是AC的垂直平分线，
∴PC＝PA，
∵OC＝OA，OP＝OP，
∴△OCP≌△OAP（SSS），
∴∠OCP＝∠OAP＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，AB＝6，
∴OA＝OB＝3，
∵∠ADO＝90°，∠CAB＝30°，
∴OD＝OA＝，
∴AC＝2AD＝，
∴S△AOC＝AC•OD＝，
∵∠CAB＝30°，
∴∠COB＝2∠CAB＝60°，
∴∠AOC＝180°﹣60°＝120°，
∴S扇形AOC＝，
∴S＝S扇形AOC﹣S△AOC＝．
八．圆的综合题（共3小题）
10．（2020秋•盐城期末）如图，已知点B的坐标为（7，10），点A的坐标为（7，6），点P为⊙A上一动点，PB的延长线交⊙A于点N，直线CD⊥AP于点C，交PN于点D，交⊙A于E，F两点，且PC：CA＝1：4．
（1）当点P运动使得点E为劣弧的中点时，求证：DF＝DN；
（2）在（1）的条件下，直接写出CP：DP的值为　3：5　．
（3）设⊙A的半径为5，当△APD的面积取得最大值时，求点P的坐标．

【答案】（1）证明见解析部分．
（2）3：5．
（3）点P的坐标为（4，10），或（10，10）．
【解答】（1）证明：如图，连接NF，
∵CD⊥AP，
∴弧PE＝弧PF，
又∵点E为劣弧PN的中点，
∴弧PE＝弧NE，
∴弧EN＝弧PF，
∴∠PNF＝∠EFN，
∴DF＝DN．

（2）解：如图1，连接AE、AN，AE交PN于Q点，
∵弧PE＝弧NE，
∴AE⊥PN，
∵CD⊥AP，
∴∠DCP＝∠AQP＝90°，
∴∠QAP＝∠CDP，
∵PC：CA＝1：4，不妨设⊙A的半径为5k，则CA＝4k，AE＝5k，
在Rt△ACE中，EC＝＝＝3k，
∴sin∠CDP＝sin∠EAC，
∴＝＝＝．
故答案为：3：5．

（3）解：如图2，过点A作AQ⊥PB于Q，
∵⊙A的半径为5，PC：CA＝1：4，
∴PC＝1，
∵∠PCD＝∠PQA＝90°，
∴Rt△PCD∽Rt△PQA，
∴PD：PA＝PC：PQ，
∴PD＝＝，
当PQ最小时，PD最大，
∵AQ≤AB，
∴AQ＝AB时，AQ最大，此时AB⊥PB，
而PQ＝，
此时PQ最小，则PD最大，
又∵CD＝，
∴此时CD最大，
即AB⊥PB时，CD最大，如图3，
而S△APD＝AP•DC，
∴此时△APD的面积也达到最大，
∵点B的坐标为（7，10），点A的坐标为（7，6），
∴AB＝4，
∴PB＝＝3，
∴点P的坐标为（4，10），或（10，10）．



11．（2021秋•大丰区期末）【概念提出】圆心到弦的距离叫做该弦的弦心距．
【数学理解】
如图①，在⊙O中，AB是弦，OP⊥AB，垂足为P，则OP的长是弦AB的弦心距．
（1）若⊙O的半径为5，OP的长为3，则AB的长为 　8　．
（2）若⊙O的半径确定，下列关于AB的长随着OP的长的变化而变化的结论：
①AB的长随着OP的长的增大而增大；②AB的长随着OP的长的增大而减小；③AB的长与OP的长无关．
其中所有正确结论的序号是 　②　．
【问题解决】
（3）若弦心距等于该弦长的一半，则这条弦所对的圆心角的度数为 　90　°．
（4）已知如图②给定的线段EF和⊙O，点Q是⊙O内一定点．过点Q作弦AB，满足AB＝EF，请问这样的弦可以作 　2　条．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）连接OA，如图，

∵OP⊥AB，
∴AP＝BP＝，
在Rt△OAP中，由勾股定理得：AP＝＝4，
∴AB＝2AP＝8，
故答案为：8；
（2）设⊙O的半径为r（r＞0）（定值），OP＝x（x＞0），
由（1）知，AB＝2AP，
AP＝，
∴AB2＝（2AP）2＝4AP2
＝4（）2＝4（r2﹣x2）＝﹣4x2+4r2，
∵二次项﹣4x2的系数﹣4＜0，
∴x＞0时，AB2随x的增大而减小，
∵OP＞0，
∴AB2随x的增大而减小，
∴AB也随x的增大而减小，
即AB的长随OP的长增大而减小，
故正确结论的序号是②，
故答案为：②；
（3）连接OA，OB，

∵弦心距等于该弦长的一半，
∴OP＝AP，
∴∠AOP＝45°，
∴∠AOB＝2∠AOP＝90°，
故答案为：90；
（4）如图，作△PMF≌△OCB，
则AB＝EF，
根据圆的轴对称性可知，这样的弦可以作2条，

故答案为：2．
12．（2021秋•大丰区期末）如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，BD分别交y轴和⊙P于E、F两点，连接AC、FC，AC与BD相交于点G．
（1）求证：∠ACF＝∠ADB；
（2）求证：CF＝DF；
（3）∠DBC＝　45　°；
（4）若OB＝3，OA＝6，则△GDC的面积为 　15　．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）45；（4）15．
【解答】（1）证明：连接AB，

∵OP⊥BC，
∴BO＝CO，
∴AB＝AC，
又∵AC＝AD，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
又∵∠ABD＝∠ACF，
∴∠ACF＝∠ADB；
（2）证明：∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∵∠ACF＝∠ADF，
∵∠ACD﹣∠ACF＝∠ADC﹣∠ADF，
即∠FCD＝∠FDC，
∴CF＝DF；
（3）解：连接AF，
由（2）知CF＝DF，
则点F在CD的垂直平分线上，
∵AC＝AD，
∴点A在CD的垂直平分线上，
∴AF是CD的垂直平分线，
∴AF平分∠CAD，
∴∠CAF＝45°，
∴∠CBD＝45°，
故答案为：45；
（4）解：作CH⊥BD于H，

∵OB＝OC＝3，∠DBC＝45°，
∴CH＝BH＝3，
∵OA＝6，OC＝3，
∴AC＝3，
∴CD＝AC＝3，
∴DH＝，
∴DB＝BH+DH＝9，
∵∠ACD＝∠DBC，∠CDG＝∠BDC，
∴△DCG∽△DBC，
∴DC2＝DG•DB，
∴（3）2＝DG•9，
∴DG＝5，
∴△GDC的面积为＝15，
故答案为：15．
九．作图—应用与设计作图（共1小题）
13．（2022秋•大丰区期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C都在格点上．
（1）用无刻度的直尺作出△ABC外接圆的圆心O；
（2）用无刻度的直尺作▱ACDO，并证明CD为⊙O的切线．

【答案】（1）作图见解析部分．
（2）证明见解析部分．
【解答】解：（1）如图1中，点O即为所求．


（2）如图2中，平行四边形ACDO即为所求．

连接OC．∵△OCD是等腰直角三角形，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
一十．相似三角形的判定与性质（共1小题）
14．（2020秋•盐城期末）如图，已知△ABC，AB＝3，BC＝8，且∠ABC＝2∠C，为了求边AC的长，小慧想出了一个办法，将边BC反向延长至点D，使DB＝AB，连接AD；
（1）求证：△DBA∽△DAC；
（2）求边AC的长．

【答案】（1）证明过程见解析；
（2）AC＝．
【解答】解：（1）证明：∵DB＝AB，
∴∠D＝∠DAB＝∠ABC，
∵∠ABC＝2∠C，
∴∠D＝∠DAB＝∠C，
∴DA＝AC，
∵∠D＝∠D，∠DAB＝∠C，
∴△DBA∽△DAC；
（2）∵AB＝3，BC＝8，DB＝AB，
∴DB＝3，CD＝BC+DB＝11，
∵△DBA∽△DAC，
∴DB：DA＝DA：DC，
∴3：DA＝DA：11，
解得DA＝，
∵DA＝AC，
∴AC＝．
一十一．相似三角形的应用（共1小题）
15．（2020秋•盐城期末）如图，小明想测量河对岸建筑物AB的高度，在地面上C处放置了一块平面镜，然后从C点向后退了2.4米至D处，小明的眼睛E恰好看到了镜中建筑物A的像，在D处做好标记，将平面镜移至D处，小明再次从D点后退2.52米至F处，眼睛G恰好又看到了建筑物顶端A的像，已知小明眼睛距地面的高度ED，GF均为1.6米，求建筑物AB的高度．（注：图中的左侧α，β为入射角，右侧的α，β为反射角）

【答案】建筑物AB的高度为32m．
【解答】解：设AB为xm，BC为ym，
根据题意知，△ABC∽△DEC，有＝①．
△ABD∽△GFD，有＝②．
联立①②，得x＝32．
答：建筑物AB的高度为32m．

一十二．相似形综合题（共1小题）
16．（2020秋•盐城期末）阅读理解：
【问题引入】如图1，已知在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ABC＝∠DEF＝90°，S△ABC＝BC•AB，S△DEF＝EF•DE，故有，小敏提出疑问：若将条件∠ABC＝∠DEF＝90°，改为∠ABC+∠DEF＝180°，两三角形变为非直角三角形，如图2，则还成立吗？
【深入探究】于是，小敏过点A作BC边上的高AM，过点D作EF边上的高DN，试在此提示下，将小敏提出的问题的探究过程写出来．
【初步应用】将图1中的B、E两直角顶点重合，连接AD、CF，如图3，若AB：BC＝：1，DB：BF＝2：3，求的值．
【迁移拓展】将图2中的B、E两顶点重合，如图4，仍有∠ABC+∠DBF＝180°，在AC上取一点P，使∠ABP＝∠D，在DF上取一点Q，使∠DBQ＝∠A，易见△ABP∽△BDQ．
（1）求证：△CPB∽△BQF；
（2）若AB：BD＝3：2，BC：BF＝5：4，求的值．

【答案】【深入探究】结论成立；
【初步应用】；
【迁移拓展】（1）证明见解答；
（2）．
【解答】解：【深入探究】∵∠ABC+∠DEF＝180°，∠ABC+∠ABM＝180°，
∴∠ABM＝∠DEF，
∵∠M＝∠DNE＝90°，
∴△ABM∽△DEN，
∴，
∴，
即结论成立；
【初步应用】∵∠ABC＝∠DBF＝90°，
∴∠ABD+∠CBF＝180°，
由探究知：，
【迁移拓展】（1）∵∠ABP＝∠D，∠A＝∠DBQ，
∴∠CPB＝∠BQF，
∵∠ABC+∠DBF＝180°，
∵∠ABC+∠A+∠C＝180°，
∴∠A+∠C＝∠DBF，
∵∠A＝∠DBQ，
∴∠C＝∠QBF，
∵∠CPB＝∠BQF，
∴△CPB∽△BQF；
（2）∵△ABP∽△BDQ，
∴，
∵△CPB∽△BQF，
∴，
∴．
一十三．众数（共1小题）
17．（2022秋•大丰区期末）八年级甲班和乙班各推选10名同学进行投篮比赛，按照比赛规则，每人各投了10个球；将两班选手的进球数绘制成如下尚不完整的统计图表：
进球数/个
10
9
8
7
4
3
乙班人数/个
1
1
2
4
1
1


平均成绩
中位数
众数
甲班
7
7
c
乙班
a
b
7

（1）表格中b＝　7　，c＝　7　并求a的值；
（2）如果要从这两个班中选出一个班代表年级参加学校的投篮比赛，争取夺得总进球数团体第一名，你认为应该选择哪个班？如果要争取个人进球数进入学校前三名，你认为应该选择哪个，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）a＝乙＝＝7个，乙班中进球数从小到大排列后处在第5、6位的数都是7个，因此乙班进球数的中位数是7个，甲班进球数出现次数最多的是7个，共有4人，因此甲班进球数的众数为7个，
故答案为：7，7，a的值为7．
（2）要想争取夺得总进球数团体第一名，选择甲班较好，甲班的平均数虽然与乙班相同，但甲班的极差为9﹣5＝4，而乙班的极差为10﹣3＝7，数据的离散程度较大，发挥不稳定，因此甲班较好；要争取个人进球数进入学校前三名，则选择乙班，由出现高分的可能性，个人成绩在9分以上的人数较多．
一十四．方差（共2小题）
18．（2020秋•盐城期末）聪聪利用暑假到工厂进行社会实践活动，他在跟张师傅学加工某种机器零件，共加工9天，每天加工的机器零件个数如下：1，2，3，4，5，6，7，8，9．
（1）求聪聪这9天加工零件数的平均数；
（2）聪聪问张师傅加工的零件数，张师傅说：我每天加工的零件数是两位数，并且每天加工零件数的个位上数字都与你相同，这9天加工零件数的平均数比你多30但方差和你一样，听完张师傅的话，聪聪笑着说，师傅我知道了，根据上面的信息，请你直接写出张师傅每天加工的零件数．
【答案】（1）5；（2）张师傅每天加工的零件个数为：31、32、33、34、35、36、37、38、39．
【解答】解：（1）聪聪这9天加工零件数的平均数＝5；
（2）∵每天加工零件数的个位上数字都与聪聪相同，这9天加工零件数的平均数比聪聪多30，且方差和聪聪一样，
∴张师傅每天加工的零件个数为：31、32、33、34、35、36、37、38、39．
19．（2021秋•大丰区期末）某学校从九年级同学中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试，每组20人，根据测试成绩绘制出统计表和如图所示的统计图（成绩均为整数，满分为10分）
甲组成绩统计表：
成绩
7
8
9
10
人数
1
9
5
5
根据上面的信息，解答下列问题：
（1）甲组的平均成绩为 　8.7　分，甲组成绩的中位数是 　8.5分　，
乙组成绩统计图中m＝　3　，乙组成绩的众数是 　8分　；
（2）根据图表信息，请你判断哪个小组的成绩更加稳定？只需要直接写出结论．

【答案】（1）8.7，8.5分，3，8分；
（2）乙组的成绩更加稳定，理由见解答．
【解答】解：（1）甲组的平均成绩为＝8.7（分），甲组成绩的中位数是＝8.5（分），
乙组成绩统计图中m＝20﹣（2+9+6）＝3，乙组成绩的众数是8分，
故答案为：8.7，8.5分，3，8分；

（2）乙组的成绩更加稳定，
甲组的方差为×[（7﹣8.7）2+9×（8﹣8.7）2+5×（9﹣8.7）2+5×（10﹣8.7）2]＝0.81，
乙组平均成绩是：（2×7+9×8+6×9+3×10）＝8.5（分），
乙组的方差是：×[2×（7﹣8.5）2+9×（8﹣8.5）2+6×（9﹣8.5）2+3×（10﹣8.5）2]＝0.75；
∵S乙2＜S甲2，
∴乙组的成绩更加稳定．
一十五．列表法与树状图法（共2小题）
20．（2020秋•盐城期末）把2颗相同小球放入一个2×2的正方形格子中，每个正方形格子只能放一颗小球，
（1）分析可能出现的所有摆放结果；
（2）求2颗小球既不同行也不同列的概率．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）在4个方格中标上字母A、B、C、D，如图：

画树状图如下：

共有12个等可能的情况，可能出现的所有摆放结果有6个：AB（BA）、AC（CA）、AD（DA）、BC（CB）、BD（DB）、CD（DC）；
（2）可能出现的所有摆放结果有6个，其中不同行且不同列的有AD、BC，2个，
∴2颗小球既不同行也不同列的概率为＝．
21．（2021秋•大丰区期末）九年级某班要召开一次“走近抗疫英雄，讲好中国故事”主题班会活动，李老师制作了编号为A、B、C、D的4张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）小明随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为B的概率为 　　；
（2）小明从4张卡片中随机抽取1张（不放回），小丽再从余下的3张卡片中随机抽取1张，然后根据抽取的卡片讲述相关英雄的故事，求小明、小丽两人中恰好有一人讲述钟南山抗疫故事的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）小明随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为B的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：

共有12种等可能的结果数，其中小明、小丽两人中恰好有一人讲述钟南山抗疫故事的有6种结果，
所以小明、小丽两人中恰好有一人讲述钟南山抗疫故事的．