初中数学人教版九年级上册24.1.1 圆同步测试题

这是一份初中数学人教版九年级上册24.1.1 圆同步测试题，文件包含九年级数学上册第09讲圆的有关性质一原卷版docx、九年级数学上册第09讲圆的有关性质一解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共39页， 欢迎下载使用。

第09讲 圆的有关性质（一）
(重点题型方法与技巧)

目录
类型一：圆的有关概念
类型二：垂径定理及其推论的有关计算与证明
类型三：利用垂径定理解决实际问题

类型一：圆的有关概念
圆中容易混淆的“两组基本概念”
1．弦与直径：
（1）弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的弦.
（2）直径是弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.
2．弧与半圆：
（1）圆上任意两点分圆成两段弧，圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条孤，每一条弧叫作半圆.
（2）半圆是弧，但弧不一定是半圆.
典型例题
例题1．（2022·福建师范大学附属中学初中部九年级阶段练习）下列结论正确的是（    ）
A．半径相等的两条弧是等弧 B．半圆是弧
C．半径是弦 D．弧是半圆
【答案】B
【详解】解：半径不是弦，没有与半径对应的弧，故A选项错误；
半圆是一种特殊的弧，故B选项正确；
半径不是弦，故C选项错误；
弧不一定是半圆，故D选项错误；
故选B．
点评：例题1考查圆的基本知识，掌握弧、弦、半圆的定义是解题的关键．
例题2．（2022·广东·揭阳市实验中学模拟预测）如图，在⊙O中，弦AB等于⊙O的半径，OC⊥AB交⊙O于点C，则∠AOC等于（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵弦AB等于⊙O的半径，
∴OA=OB=AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵OC⊥AB，

故选：D
点评：例题2主要考查了圆的基本性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握圆的基本性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．
例题3．（2021·湖南·长沙县安沙镇杨梓中学九年级期中）如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】解：根据弦的定义可知，AB、CD和BD都是圆的弦，所以⊙O中的弦的条数为3，
故选：B．
点评：例题3考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫圆的弦．
例题4．（2021·江苏省锡山高级中学实验学校九年级阶段练习）如图，以的边BC为直径的分别交AB、AC于点D、E，连接OD、OE，若∠A＝65°，则∠DOE＝_______．弧BD与弧CE的度数和为_______°．

【答案】     50°##50度     130°##130度
【详解】解：∵∠A=65°，
∴∠B+∠C=180°-65°=115°，
∵OB=OD，OE=OC，
∴
∴∠ODB+∠OEC=115°，
∴∠BOD+∠COE=360°-230°=130°，
∴弧BD与弧CE的度数和为
∴∠DOE=180°-130°=50°，
故答案为：50°，130°．
点评：例题4考查的是三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180度是解题的关键．
例题5．（2022·江苏·九年级课时练习）如图，AB是⊙O直径，弦CD交AB于点E，OE＝DE，∠BOD＝α，求∠AOC（用含α的式子表示）．

【答案】∠AOC=3α
【详解】解：∵OE=DE，
∴∠D=∠BOD=α，
∵∠CEO=∠D+∠BOD，
∴∠CEO=2α，
∵OC=OD，
∴∠C=∠D=α，
∵∠AOC=∠C+∠CEO，
∴∠AOC=3α．
点评：例题5考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆心角、弧、弦的关系．利用等腰三角形的性质得到∠D=∠BOD=α，利用三角形外角性质得到∠CEO=2α，由于OC=OD，则∠C=∠D=α，然后根据三角形外角性质得到∠AOC=3α．
同类题型演练
1．（2022·全国·九年级单元测试）下列说法正确的是（    ）
A．过圆心的线段是直径 B．面积相等的圆是等圆
C．两个半圆是等弧 D．相等的圆心角所对的弧相等
【答案】B
【详解】解：A.过圆心且两个端点在圆上的线段是直径，故该选项说法错误；
B. 面积相等的圆，则半径相等，是等圆，故该选项说法正确；
C. 同圆或等圆中两个半圆是等弧，故该选项说法错误；
D. 同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故说法说法错误；
故选：B．
2．（2022·西藏·中考真题）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，，OC＝OD，则∠ABD的度数为（　　）

A．90° B．95° C．100° D．105°
【答案】D
【详解】如图：连接OB，

∴OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB．
∵OC＝OD，
∴OC＝OB．
∵OC⊥AB，
∴,
∴∠OBC＝30°．
∵，
∴∠BOD＝∠OBC＝30°，
∴∠OBD＝∠ODB＝75°，
∴∠ABD＝∠OBC+∠OBD=30°+75°＝105°．
故选D．
3．（2022·全国·九年级专题练习）如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有(   )

A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【答案】B
【详解】解：图中的弦有AB，BC，CE共三条，
故选B．
4．（2021·湖北·通山县振新学校九年级阶段练习）如图，是的直径，点、在的异侧，连接、、，若，且ADOC，则的度数为__．

【答案】##40度
【详解】解：，
，
又，
，
．
故答案为：．
5．（2022·江苏·九年级单元测试）如图，已知，以点A为圆心，2为半径作，点C为上一点，以为边作等边，则的最大值为__________．

【答案】8
【详解】：如图，以圆的半径AC为边，作等边三角形ACE交于圆上一点E，连接EB．
∵ACE和BCD均为等边三角形
∴AC=CE=AE=2，DC=BC
∠DCB=∠ACE=60
∴∠DCB+∠BCA=∠ACE+∠BCA
∴∠DCA=∠BCE
在DCA和BCE中，

∴DCABCE（SAS）
∴AD=EB
在ABE中，
AB-AE≤EB≤AB+AE
∵AB=6，AE=AC=2
∴4≤EB≤8
∴4≤AD≤8
∴AD的最大值为8．
故答案为：8．

6．（2022·江苏·九年级课时练习）已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若，，求∠C的度数．

【答案】
【详解】解：连接，

，
，
又，
，
，

．
类型二：垂径定理及其推论的有关计算与证明
垂径定理应用中常作的辅助线：
（1）若已知圆心和弦，则连接圆心和弦的一个端点，即“连半径”，并作垂直于弦的直径，构造直角三角形；
（2）若已知圆心和弦（弧）的中点，则连接圆心和弦（弧）的中点，并延长使其与圆相交，得圆的直径，再“连半径”，构造直角三角形.
典型例题
例题1．（2022·福建师范大学附属中学初中部九年级阶段练习）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB＝8cm，OC⊥AB于点C，则OC＝（    ）

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】A
【详解】连接
∴
∵
∴，
∴在中，
∴
∴．
故选：A．

点评：例题1考查圆的知识，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理的运用．
例题2．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，的外接圆半径为5，其圆心O恰好在中线上，若，则的面积为（    ）

A．36 B．32 C．24 D．18
【答案】B
【详解】解：如图所示，连接OA，
∵△ABC的外接圆是△ABC三边的垂直平分线的交点，且外接圆圆心在中线CD上，
∴CD垂直平分AB，
∴∠ADC=90°，，
设AD=x，则CD=2x，
∴OD=CD-OC=2x-5，
在Rt△OAD中，，
∴，
解得或（舍去），
∴AB=CD=8，
∴，
故选B．

点评：例题2主要考查了三角形外接圆的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，三角形面积，推出CD垂直平分AB是解题的关键．如图所示，连接OA，先推出CD垂直平分AB，得到∠ADC=90°，，设AD=x，则CD=2x，OD=CD-OC=2x-5，在Rt△OAD中，由，得到，由此求解即可．
例题3．（2021·内蒙古·通辽市科尔沁区第七中学九年级阶段练习）已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，ABCD，AB＝6cm，CD＝8cm，则弦AB和CD之间的距离是_____cm．
【答案】7或1##1或7
【详解】解：分两种情况考虑：

当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，
过O作OE⊥AB，交AB于点E，交CD于点F，连接OA，OC，
∵ABCD，
∴OE⊥CD，
∴E、F分别为AB、CD的中点，
∴AE＝BE＝AB＝3cm，CF＝DF＝CD＝4cm，
在Rt△COF中，OC＝10÷2＝5cm，CF＝4cm，
根据勾股定理得：OF＝3cm，
在Rt△AOE中，OA＝10÷2＝5cm，AE＝3cm，
根据勾股定理得：OE＝4cm，
则EF＝OE﹣OF＝4cm﹣3cm＝1cm；
当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理可得EF＝4cm+3cm＝7cm，
综上，弦AB与CD的距离为7cm或1cm．
故答案为：7或1．
点评：例题3考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，过O作OE⊥CD，交CD于点F，交AB于点E，连接OA，OC，由ABCD，得到OE⊥AB，利用垂径定理得到E与F分别为CD与AB的中点，在直角三角形AOF中，利用勾股定理求出OF的长，在三角形COE中，利用勾股定理求出OE的长，由OE−OF即可求出EF的长；当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理由OE＋OF求出EF的长即可．
例题4．（2022·浙江·九年级单元测试）如图，在中，弦于点，在圆上，，，则的半径__．

【答案】5
【详解】解：设，
，是半径，
，
在中，，
，
，
故答案为：5．
点评：例题4考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
例题5．（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校九年级）如图，在⊙O中，直径AB交弦CD于点E，OF⊥CD，垂足为F，AE=4，BE=6，OF=3．求CD的长．

【答案】8
【详解】连接，

∵AE=4，BE=6，
∴，
∴，
∵OF⊥CD，OF=3，
∴中，，，
∴
点评：例题5考查了垂径定理和勾股定理．熟练掌握垂径定理是解题的关键．
同类题型演练
1．（2022·江苏·九年级单元测试）如图，在⊙O中，AB是弦，半径于点D，若OC＝10，AB＝16，则CD的长为（    ）

A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【详解】解：连接OA，如图，

∵OC⊥AB，
∴AD=BD=AB=
在Rt△OAD中，OD=
∴CD=OC-OD=10-6=4．
故选C．
2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为(   )

A．36 B．24 C．18 D．72
【答案】A
【详解】解：如图，连接OC，

∵AB＝12，BE＝3，
∴OB＝OC＝6，OE＝3，
∵AB⊥CD，
∴在Rt△COE中，，
∴CD＝2CE＝6，
∴四边形ACBD的面积＝．
故选：A．
3．（2022·全国·九年级课时练习）已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为（    ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【详解】连接AC，AO，

∵圆O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM==3cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8cm，
∴AC=cm；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5−3=2cm，
在Rt△AMC中，AC=cm．
故选C．
4．（2022·全国·九年级单元测试）如图，中，弦，已知的半径为，，，那么与间的距离是________．

【答案】7
【详解】过O点作OM⊥AB于M点，延长MO交CD于点N，连接AO、CO，如图，

∵，OM⊥AB，
∴OM⊥CD，即ON⊥CD，
∴AM=MB=AB，CN=ND=CD，
∵AB=6，CD=8，
∴AM=3，CN=4，
∵⊙O的半径为5，
∴AO=CO=5，
∵OM⊥AB，即ON⊥CD，
∴在Rt△AMO和Rt△COD中，利用勾股定理可求得MO=4，NO=3，
∵MN⊥AB，，
∴AB与CD的距离即为线段MN的长，
∴MN=OM+ON=4+3=7，
故答案为：7．
5．（2021·河北·唐山市友谊中学九年级阶段练习）如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE=3，BE=7，且AB=CD．则圆心O到CD的距离是________．

【答案】2
【详解】解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N．则四边形OMEN是矩形．
∵OM⊥AB于M，
∴AM=MB=AB=（AE+BE）=（3+7）=5．
∴EM=AM-AE=5-3=2．
∴ON=EM=2．

故答案是：2．
6．（2022·全国·九年级专题练习）如图，是的直径，平分弦，交于点，，，求的长．

【答案】
【详解】解：∵是的直径，平分弦，
∴，，
∵，，
在中，
，，，
∴．
故的长是．
7．（2022·全国·九年级课时练习）在《折叠圆形纸片》综合实践课上，小东同学展示了如下的操作及问题：

(1)如图1，的半径为4cm，通过折叠圆形纸片，使得劣弧AB沿弦AB折叠后恰好过圆心，求AB长；
(2)如图2，弦AB，垂足为点C，劣弧AB沿弦AB折叠后经过的中点D，，求的半径．
【答案】(1)cm
(2)cm
【详解】（1）解：如图1，作交于，交于，连接

由题意知，，
在中，由勾股定理得
∴
∴的长为．
（2）解：如图2，延长交于，连接，设半径为

由题意知，由折叠和中点的性质可知，
在中，由勾股定理得，即
解得：，（不合题意，舍去）
∴半径的长为．
类型三：利用垂径定理解决实际问题
利用垂径定理解答弓形问题时，常通过作辅助线构造直角三角形，然后利用勾股定理求得相关线段的长，从而解决问题.
典型例题
例题1．（2021·黑龙江·塔河县第一中学校九年级期中）如图是一圆形水管的截面图，已知⊙O的半径OA＝13m，水面宽AB＝24m，则水的深度CD是（    ）

A．6m B．6.5m C．7m D．8m
【答案】D
【详解】解：由题意，AB是⊙O的弦，OD是⊙O的半径，，
∴，
在中，OA＝13m，m，
∴，
∴，
故选D．
点评：例题1考查垂径定理和勾股定理，利用垂径定理求出AC是解题的关键．
例题2．（2022·全国·九年级课时练习）我国古代数学名著《九章算术》中有一个经典的“圆材埋壁”问题： “今有圆材埋壁中，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何? "意思是： 如图，CD是⊙O的直径， 弦 AB⊥CD于P，CP=1寸，AB=10寸，则直径CD的长是  （    ）寸

A．20 B．23 C．26 D．30
【答案】C
【详解】解：连接OA，

∵AB⊥CD，且AB=10寸，
∴AP=BP=5寸，
设圆O的半径OA的长为x，则OC=OD=x，
∵CP=1，
∴OP=x-1，
在直角三角形AOP中，根据勾股定理得：
x2-（x-1）2=52，化简得：x2-x2+2x-1=25，
即2x=26，
∴CD=26（寸）．
故选：C．
点评：例题2考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是关键．连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DP垂直AB得到点P为AB的中点，由AB=6可求出AP的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OP，根据勾股定理建立关于x的方程，解方程直接可得2x的值，即为圆的直径．
例题3．（2022·江苏·九年级课时练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为______m．

【答案】4
【详解】解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，

∴AE=BE=AB=×16=8，
在Rt△AEO中，OE=，
∴ED=OD-OE=10-6=4（m），
故答案为：4
点评：例题3考查了垂径定理的应用，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，能熟练应用垂径定理是解决问题的关键．过O点作半径OD⊥AB于E，如图，由垂径定理得到AE=BE=8，再利用勾股定理计算出OE，然后即可计算出DE的长．
例题4．（2021·甘肃·金昌市第五中学九年级阶段练习）尺规作图: 找出下图残破的圆的圆心.不写作法，请保留作图痕迹．

【答案】见解析
【详解】解：如图所示，在这个破损的圆上任取A、B、C三点，分别作线段AB和线段AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O．

点评：例题4主要考查了垂径定理，线段垂直平分线的尺规作图，解题的关键在于能够熟练掌握垂径定理．在这个破损的圆上任取A、B、C三点，分别作线段AB和线段AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O．
例题5．（2022·全国·九年级专题练习）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN＝2m时，试求：
（1）拱桥所在的圆的半径；
（2）通过计算说明是否需要采取紧急措施．

【答案】（1）拱桥所在的圆的半径为17m；（2）不需要采取紧急措施，理由见解析．
【详解】解答：解：（1）设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，
设半径为xm，
则OA＝OA′＝OP，
由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，
∵AB＝30m，
∴AM＝AB＝15（m），
在Rt△AOM中，OM＝OP﹣PM＝（x﹣9）m，
由勾股定理可得：AO2＝OM2+AM2，
即x2＝（x﹣9）2+152，
解得：x＝17，
即拱桥所在的圆的半径为17m；
（2）∵OP＝17m，
∴ON＝OP﹣PN＝17﹣2＝15（m），
在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N＝＝8（m），
∴A′B′＝2A'N＝16米＞15m，
∴不需要采取紧急措施．

点评：例题5主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，准确计算是解题的关键．
（1）由垂径定理可知AM＝BM、A′N＝B′N，再在Rt△AOM中，由勾股定理得出方程，即可求出半径；
（2）求出ON＝OP﹣PN＝15（m），再由勾股定理可得A′N＝8（m），则A′B′＝2A'N＝16米＞15m，即可得出结论．
同类题型演练
1．（2022·浙江衢州·一模）一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，则截面圆心O到水面的距离为（    ）

A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
【答案】B
【详解】解：如图，过点O作，

∴，
在中，由勾股定理得：.
故选：B.
2．（2022·江苏·九年级专题练习）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用现在的数学语言表述是：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE为1寸，AB为10寸，求直径CD的长．依题意，CD长为（    ）

A．寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸
【答案】D
【详解】解：连结AO，
∵ CD为直径，CD⊥AB，
∴ ．
设⊙O半径为R，则OE＝R－1．
Rt△AOE中，OA2＝AE2+OE2，
∴ R2＝52+(R-1)2，∴  R＝13，
∴  CD＝2R＝26(寸)．
故选：D
3．（2021·河南许昌·九年级期中）如图拱桥可以近似地看作直径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，这些钢索中最长的一根的长度为25m，那么其正下方的路面AB的长度为（　　）

A．100m B．130m C．150m D．180m
【答案】C
【详解】解：设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交于D，连接OA，如图所示：

则OA=OD=×250=125（m），AC=BC，CD=25，
∴OC=100，
∴AC==75（m），
∴AB=2AC=150（m），
即路面AB的长度为150m，
故选：C．
4．（2022·浙江台州·九年级期末）把一个球放入长方体纸盒，球的一部分露出盒外，球与纸盒内壁都刚好相切，其截面如图所示，若露出部分的高度为6cm，AF=DE=3cm，则这个球的半径是_____cm．

【答案】15
【详解】解：过作于，交于，连接，

，
，
设半径为，则，，，
根据勾股定理得，，
解得：或3（舍，
答：这个球的半径为．
故答案为：15．
5．（2022·四川自贡·九年级专题练习）妈妈不慎把家里的圆形玻璃打碎了，小明带如图的玻璃碎片到商店购买与原来大小一样的圆形玻璃，粗心的工作人员弄乱了操作步骤：
①连接AB和BC；
②以点O为圆心，OA为半径作⊙O；
③在玻璃碎片的圆弧上任意找不在同一直线上的三点A，B，C；
④分别作出AB和BC的垂直平分线，并且相交于点O；
聪明的小明迅速帮助工作人员排好了顺序．
正确的操作步骤是 _______．

【答案】③①④②
【详解】解：正确操作步骤是：③在玻璃碎片的圆弧上任意找不在同一直线上的三点A，B，C；①连接AB和BC；④分别作出AB和BC的垂直平分线，并且相交于点O；②以点O为圆心，OA为半径作⊙O；
则正确操作步骤的排列序号为：③①④②．
故答案为：③①④②．
6．（2021·吉林松原·九年级期末）如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的点A、B、C．
（1）试确定所在圆的圆心O；
（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC＝10厘米，腰AB＝6厘米，求圆片的半径R．（结果保留根号）

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】解：（1）作DO⊥AB，且 平分AB，DO必过圆心，作EO⊥AC，且EO平分AC，EO必过圆心，DO、EO交点必为圆心；

（2）如图，

设半径为r．连接OA，
因为BA＝AC，
所以AO⊥BC．
所以CD＝ BC ＝×10＝5，
所以AD＝＝．
在 根据勾股定理得，
（r﹣）2＋52＝r2，
解得：r＝．
7．（2022·上海奉贤·二模）图1是某种型号圆形车载手机支架，由圆形钢轨、滑动杆、支撑杆组成．图2是它的正面示意图，滑动杆的两端都在圆O上，A、B两端可沿圆形钢轨滑动，支撑杆的底端C固定在圆O上，另一端D是滑动杆的中点，（即当支架水平放置时直线平行于水平线，支撑杆垂直于水平线），通过滑动A、B可以调节的高度．当经过圆心O时，它的宽度达到最大值，在支架水平放置的状态下：

(1)当滑动杆的宽度从10厘米向上升高调整到6厘米时，求此时支撑杆的高度．
(2)如图3，当某手机被支架锁住时，锁住高度与手机宽度恰好相等（），求该手机的宽度．
【答案】(1)支撑杆的高度为9cm．
(2)手机的宽度为8cm．
【详解】（1）解：如图，连结OA，由题意可得：的直径为10，

即




所以此时支撑杆的高度为9cm．
（2）解：如图，记圆心为O，连结OA，

由题意可得：
∴四边形为正方形，



设
则


由勾股定理可得：
解得
经检验不符合题意，舍去，取
（cm），
即手机的宽度为8cm．