北滘中学2022-2023学年下学期末高二数学模拟试题 解析版

                2022-2023 学年度第二学期高二数学模拟试题

本试卷共 22 题,满分150 分,考试时间长120 分钟

姓名          班别        分数 

一、 单项选择题（每题5分，共40分）

1．函数的导数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用复合函数进行求导，即可得到答案；

【详解】，令，则，

从而 .

故选：D.

2.等差数列的首项为1，公差不为0.若，，成等比数列，则的通项公式为（    ）

A． B． C． D．

【解析】因为，，成等比数列，则

即，将代入计算

可得或（舍）

则通项公式为

故选:A.

3．如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（    ）

A．在区间上，是增函数

B．当时，取到极小值

C．在区间上，是减函数

D．在区间上，是增函数

【答案】D

【分析】对于ACD,根据导数的正负和原函数单调性之间的联系进行判断即可;

对于B，根据极值点处左右两边的单调性进行判断.

【详解】由导函数图象知，在时，，递减，A错；时，取得极大值（函数是先增后减），B错；时，，递增，C错；时，，递增，D正确．

故选：D.

4.  某班班会准备从含甲、乙的名学生中选取人发言，要求甲、乙人中至少有一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序相邻，那么不同的发言顺序有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

【答案】

C 

【解析】

【分析】

本题考查了排列、组合知识的应用问题，利用加法原理，正确分类是关键．

根据题意分甲、乙其中一人参加和甲乙两人都参加两种情况，再由加法原理计算可得答案．

【解答】

解：根据题意，分种情况讨论，

若甲乙其中一人参加，则有种情况；

若甲乙两人都参加，有种情况；

则不同的发言顺序种数种．

故答案选：．  

5．已知、分别为随机事件、的对立事件，，，则下列等式错误的是（    ）

A． B．

C．若、独立，则 D．若、互斥，则

5．D

【分析】结合互斥事件、对立事件的定义，根据条件概率公式判断.

【详解】由，

故选项A错误，选项B正确；

若、独立，则,

，故C正确；

若、互斥，则，

，D正确.

故选：D

6．市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为，且三家工厂的次品率分别为，则市场上该品牌产品的次品率为（    ）

A．0.01 B．0.02 C．0.03 D．0.05

【答案】B

【分析】利用全概率公式求解即可.

【详解】设分别表示买到一件甲、乙、丙的产品；表示买到一件次品，

由题意有，

由全概率公式，得

.

故选：B.

7． 数列满足，，则（    ）

A． B． C． D．

7. 【详解】由得：，

；

设，

则，

，

，

，即，

.

故选：B.

8．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】令，，利用导数说明函数的单调性，即可得到，，从而判断、的关系，再令，利用导数说明，，即可判断、的关系，即可得解.

【详解】解：令，，则，

所以在上单调递增，又，所以，，

即，，

所以，即，

令，则，当时，即在上单调递减，又，

所以当时，即，所以，即，

综上可得.

故选：C

二、多项选择题（4小题，每题5分，共20分，漏选得2分，错选得0分）

9. 某种产品的价格单位：元与需求量单位：之间的对应数据如表所示：根据表中的数据可得回归直线方程，则以下正确的是(    )

A. 相关系数

B.

C. 若该产品价格为元，则日需求量大约为

D. 第四个样本点对应的残差为

【答案】

BCD 

【解析】

【分析】

本题考查线性回归方程的性质与实际意义，需要注意回归方程过样本中心点，属于中档题．

先根据回归直线必过样本中心 求出 ，从而判断选项A、，再根据回归直线方程即可求出预测值及第四个样本点对应的残差．

【解答】

解：对、：由表中的数据， ， ，

将 ， 代入 得 ，所以选项错误，选项正确；

对：由题意将 代入 得 ，所以日需求量大约为 ，所以选项正确；

对：第四个样本点对应的残差为 ，所以选项正确；

故选：．

10．已知函数，则（    ）

A．在处的切线为轴 B．是上的减函数

C．为的极值点 D．最小值为0

【答案】ACD

【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义可判断A；结合函数的单调性与导数的关系，判断B;根据导数的正负与函数极值的关系，判断C,继而判断D.

【详解】由题意知，故，

故在处的切线的斜率为，而，

故在处的切线方程为，即，

所以在处的切线为轴，A正确；

当时，，当时，，

故在上单调递减，在上单调递增，B错误；

由此可得为的极小值点，C正确；

由于在上只有一个极小值点，故函数的极小值也为函数的最小值，

最小值为，D正确，

故选：

11.已知数列，为的前项和，其中，，则下列结论正确的是（    ）

A．是等差数列 B．是等差数列

C． D．

11.【详解】设n为奇数，则是偶数，是奇数，则，①

，②

①+②得：，即，

所以的奇数项是首项为，公差为2的等差数列，

同理的偶数项是首项为，公差为2的等差数列，

故A，B正确；

所以

，

故C错误；

又，

∴，故D正确.

故选：ABD.

12.已知函数有两个极值点，且，则下列结论正确的是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】对于AB选项，函数有两个极值点，相当于函数的导函数有两个变号零点，即函数图像与直线有两个交点，由此可判断AB选项正误；

对于CD选项，由题有.则.

结合范围可判断CD选项正误.

【详解】函数有两个极值点，相当于函数的导函数有两个变号零点，即方程有两个根，因，则方程有根相当于图像与直线有两个交点.因，则在上单调递减，在上单调递增.结合时，，，

可做大致图像如下：

则由图可得，时，有两个极值点，故A正确；

又图可得，，，则B错误；

因，则，又因，

函数在上单调递增，则，故C错误；

因，则，令，

则，因，则在上单调递减，则，即，故D正确.

故选：AD

三、填空题（每题5分，共20分）

13.的展开式中的系数是__________.

【答案】-15

【分析】写出二项式的通项公式，求解即可.

【详解】，令得，

所以的系数为.

故答案为：-15.

14.某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到，则需调整生产工艺，使得σ至多为____________．（若，则；；）

【答案】/

【分析】根据题意，由正态分布曲线的性质，代入计算，即可得到结果.

【详解】依题可知，，再根据题意以及正态曲线的特征可知，

的解集，

由可得，所以，解得：，故σ至多为．

故答案为：．

15. 已知等比数列的前n项和，则______.

15. 【解析】因为当等比数列的公比时，，

又，故可得，解得，

故，则.

故答案为：.

16.人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.这种求方程根的方法，在科学界已被广泛采用，例如求方程的近似解，先用函数零点存在定理，令，，，得上存在零点，取，牛顿用公式反复迭代，以作为的近似解，迭代两次后计筫得到的近似解为______；

【答案】         

【分析】由牛顿法公式结合二分法的定义求解即可.

【详解】已知，则.

迭代1次后，，

迭代2次后，，

用二分法计算第1次，区间的中点为，，，

所以近似解在上；

用二分法计算第2次，区间的中点为，，，所以近似解在上，取其中点值，所求近似解为.

故答案为：；.

四、解答题（共6小题，共70分；第17题10分，其他题12分）

17.设函数.

（1）若曲线在点处与直线相切，求的值；

（2）在（1）的条件下求函数的单调区间与极值点.

【答案】（1）；（2）详见解析

【详解】【试题分析】（1）先对函数求导，再借助导数的几何意义建立方程组进行求解；（2）先对函数求导，再依据导数与函数单调性之间的关系进行分类求求出其单调区间和极值点：

 解：(1），

∵曲线在点处与直线相切，

∴；

（2）∵，

由，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

∴此时是的极大值点，是的极小值点.

18.已知等差数列的前项和为，其中，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和．

18. .解析】（1）由题设，，可得，又，所以公差，

所以，

所以的通项公式．

（2）由（1）知：，

令，

，

所以．

19．

19．【详解】（1）由题意，可取0，1，2，3，4.

,

，

，

，

，

则的分布列为：

.

（2）每一轮获得纪念章的概率为，

每一轮相互独立，则每一轮比赛可视为二项分布，

设10轮答题获得纪念章的数量为，则，

，.

由，得，

解得，又，得，则获得4枚纪念章的概率最大.

20.记数列的前n项和为，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设m为整数，且对任意，，求m的最小值．

【答案】（1）   

（2）7

【解析】

【分析】（1）由数列与的关系可得，再结合等比数列的通项可得解；

（2）利用错位相减法求出，结合范围即可得解.

【小问1详解】

因为，所以，

当时，，故，

且不满足上式，

故数列的通项公式为

【小问2详解】

设，则，

当时，，

故，

于是．

整理可得，所以，

又，所以符合题设条件的m的最小值为7．

21.  本小题分

某果园种植“糖心苹果”已有十余年，为了提高利润，该果园每年投入一定的资金，对种植､采摘､包装､宣传等环节进行改进.如图是2013年至2022年，该果园每年的投资金额（单位：万元）与年利润增量（单位：万元）的散点图：

该果园为了预测2023年投资金额为20万元时的年利润增量，建立了关于的两个回归模型；

模型①：由最小二乘公式可求得与的线性回归方程：；

模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，对投资金额做交换，令，则，且有，，，.

(1)根据所给的统计量，求模型②中关于的回归方程；

(2)根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测投资金额为20万元时的年利润增量（结果保留两位小数）.

附：，；

相关指数.

参考数据：，.

【答案】(1)；

(2)模型①的小于模型②，选择模型②；(万元).

【分析】(1)根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，计算即可；

(2)根据已知条件，结合相关系数公式，即可得两模型的相关指数的大小，并选择拟合效果好的模型，再将，代入计算即可得答案.

【详解】（1）解：由，，得，

所以 ，

，

所以，模型②中，关于的回归方程为；

（2）解：由表中的数据，有，

则，

所以模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好；

当时，模型②的年利润增量的预测值为：(万元).

22.已知函数.

(1)求函数的单调区间；

(2)对任意的、，当时都有，求实数的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）求出函数的定义域与导数，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；

（2）设，分析可知函数在上为增函数，则在上恒成立，结合参变量分离法可得出，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.

【详解】（1）解：函数定义域为，.

当时，对任意的，，所以，函数的减区间为，无增区间；

当时，由得，由得.

此时函数的增区间为，减区间为.

综上所述，当时，函数的减区间为，无增区间；

当时，函数的增区间为，减区间为.

（2）解：由，即.

令，

因为，则，所以，函数在上单调递增，

所以，在上恒成立，即在上恒成立，

只需，

设，，在单调递增，所以.

综上所述，实数的取值范围为.